2017年抚顺中考数学练习试题及答案(2)
【考点】旋转的性质;全等三角形的判定;菱形的判定;正方形的性质.
【分析】首先证明△ADE≌△GDE，再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE的度数，推出AE=EG=FG=AF，由此可以一一判断.
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在RT△ADE和RT△GDE中，
，
∴AED≌△GED，故②正确，
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF，同理△AEF≌△GEF，可得EG=GF，
∴AE=EG=GF=FA，
∴四边形AEGF是菱形，故①正确，
∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③正确.
∵AE=FG=EG=BG，BE= AE，
∴BE>AE，
∴AE< ，
∴CB+FG<1.5，故④错误.
故答案为①②③.
三、解答题(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15.计算：|﹣3|+ tan30°﹣ ﹣0.
【考点】实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值.
【分析】根据实数的运算方法，零指数幂的求法，以及特殊角的三角函数值，求出|﹣3|+ tan30°﹣ ﹣0的值是多少即可.
【解答】解：|﹣3|+ tan30°﹣ ﹣0
=3+ × ﹣2 ﹣1
=3+1﹣2 ﹣1
=3﹣2
16.先化简，再求值：( ﹣x﹣1)÷ ，选一个你喜欢的数代入求值.
【考点】分式的化简求值.
【分析】首先把括号内的分式约分，然后通分相加，把除法转化为乘法，计算乘法即可化简，然后化简x的值，代入求解即可.
【解答】解：原式=[ ﹣(x+1)]•
=[ ﹣(x+1)]•
= •
=1﹣(x﹣1)
=2﹣x.
当x=0时，原式=2.
四、解答题(本小题共2小题，每小题8分，共16分)
17.，在平面直角坐标系中，直角△ABC的三个顶点分别是：A(﹣3，1)，B(0，3)，C(0，1)
(1)将△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°，画出旋转后对应的△A1B1C1;
(2)分别连结AB1，BA1后，求四边形ABA1B1的面积.
【考点】作图﹣旋转变换;扇形面积的计算.
【分析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1;
(3)利用两个梯形的面积和减去一个三角形的面积计算四边形ABA1B1的面积.
【解答】解：(1)，△A1B1C1为所作;
(2)，四边形ABA1B1的面积= (1+3)×3+ ×(1+3)×3﹣ ×1×6=9.
18.观察下列关于自然数的等式：
(1)32﹣4×12=5 (1)
(2)52﹣4×22=9 (2)
(3)72﹣4×32=13 (3)
…
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第五个等式：112﹣4× 5 2= 21 ;
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性.
【考点】整式的混合运算;规律型：数字的变化类.
【分析】(1)根据前三个找出规律，写出第五个等式;
(2)用字母表示变化规律，根据完全平方公式计算，即可证明.
【解答】解：(1)112﹣4×52=21，
故答案为：5;21;
(2)第n个等式为：(2n+1)2﹣4n2=4n+1，
证明：(2n+1)2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1.
五、解答题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)
19.南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20(1+ )海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A处的渔监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离.
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题.
【分析】作AD⊥BC，垂足为D，设CD=x，利用解直角三角形的知识，可得出AD，继而可得出BD，结合题意BC=CD+BD可得出方程，解出x的值后即可得出答案.
【解答】解：，作AD⊥BC，垂足为D，
由题意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°.
设CD=x，在Rt△ACD中，可得AD=x，
在Rt△ABD中，可得BD= x，
又∵BC=20(1+ )，CD+BD=BC，
即x+ x=20(1+ )，
解得：x=20，
∴AC= x=20 (海里).
答：A、C之间的距离为20 海里.
20.已知，，一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y= (n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点C.CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=6.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)求两函数图象的另一个交点坐标;
(3)直接写出不等式;kx+b≤ 的解集.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)先求出A、B、C坐标，再利用待定系数法确定函数解析式.
(2)两个函数的解析式作为方程组，解方程组即可解决问题.
(3)根据图象一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即可解决问题，注意等号.
【解答】解：(1)∵OB=2OA=3OD=6，
∴OB=6，OA=3，OD=2，
∵CD⊥OA，
∴DC∥OB，
∴ = ，
∴ = ，
∴CD=10，
∴点C坐标(﹣2，10)，B(0，6)，A(3，0)，
∴ 解得 ，
∴一次函数为y=﹣2x+6.
∵反比例函数y= 经过点C(﹣2，10)，
∴n=﹣20，
∴反比例函数解析式为y=﹣ .
(2)由 解得 或 ，
故另一个交点坐标为(5，﹣4).
(3)由图象可知kx+b≤ 的解集：﹣2≤x<0或x≥5.
六、解答题(本题满分12分)
21.某校在践行“社会主义核心价值观”演讲比赛中，对名列前20名的选手的综合分数m进行分组统计，结果如表所示：
组号 分组 频数
一 6≤m<7 2
二 7≤m<8 7
三 8≤m<9 a
四 9≤m≤10 2
(1)求a的值;
(2)若用扇形图来描述，求分数在8≤m<9内所对应的扇形图的圆心角大小;
(3)将在第一组内的两名选手记为：A1、A2，在第四组内的两名选手记为：B1、B2，从第一组和第四组中随机选取2名选手进行调研座谈，求第一组至少有1名选手被选中的概率(用树状图或列表法列出所有可能结果).
【考点】列表法与树状图法;频数(率)分布表;扇形统计图.
【分析】(1)根据被调查人数为20和表格中的数据可以求得a的值;
(2)根据表格中的数据可以得到分数在8≤m<9内所对应的扇形图的圆心角大;
(3)根据题意可以写出所有的可能性，从而可以得到第一组至少有1名选手被选中的概率.
【解答】解：(1)由题意可得，
a=20﹣2﹣7﹣2=9，
即a的值是9;
(2)由题意可得，
分数在8≤m<9内所对应的扇形图的圆心角为：360°× =162°;
(3)由题意可得，所有的可能性如下图所示，
故第一组至少有1名选手被选中的概率是： = ，
即第一组至少有1名选手被选中的概率是 .
七、解答题(本题满分12分)
22.，以△ABC的BC边上一点O为圆心，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB=BF.
(1)求证：AB是⊙O的切线;
(2)若CF=4，DF= ，求⊙O的半径r及sinB.
【考点】切线的判定.
【分析】(1)连接OA、OD，，根据垂径定理得OD⊥BC，则∠D+∠OFD=90°，再由AB=BF，OA=OD得到∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，加上∠BFA=∠OFD，所以∠OAD+∠BAF=90°，则OA⊥AB，然后根据切线的判定定理即可得到AB是⊙O切线;
(2)先表示出OF=4﹣r，OD=r，在Rt△DOF中利用勾股定理得r2+(4﹣r)2=( )2，解方程得到r的值，那么OA=3，OF=CF﹣OC=4﹣3=1，BO=BF+FO=AB+1.
然后在Rt△AOB中利用勾股定理得AB2+OA2=OB2，即AB2+32=(AB+1)2，解方程得到AB=4的值，再根据三角函数定义求出sinB.
【解答】(1)证明：连接OA、OD，，
∵点D为CE的下半圆弧的中点，
∴OD⊥BC，
∴∠EOD=90°，
∵AB=BF，OA=OD，
∴∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，
而∠BFA=∠OFD，
∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠BFA=90°，即∠OAB=90°，
∴OA⊥AB，
∴AB是⊙O切线;
(2)解：OF=CF﹣OC=4﹣r，OD=r，DF= ，
在Rt△DOF中，OD2+OF2=DF2，即r2+(4﹣r)2=( )2，
解得r1=3，r2=1(舍去);
∴半径r=3，
∴OA=3，OF=CF﹣OC=4﹣3=1，BO=BF+FO=AB+1.
在Rt△AOB中，AB2+OA2=OB2，
∴AB2+32=(AB+1)2，
∴AB=4，OB=5，
∴sinB= = .
八、解答题(本题满分14分)
23.，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是(3，0)，点C的坐标是(0，﹣3)，动点P在抛物线上.
(1)b= ﹣2 ，c= ﹣3 ，点B的坐标为 (﹣1，0) ;(直接填写结果)
(2)是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在，说明理由;
(3)过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线.垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，然后令y=0可求得点B的坐标;
(2)分别过点C和点A作AC的垂线，将抛物线与P1，P2两点先求得AC的解析式，然后可求得P1C和P2A的解析式，最后再求得P1C和P2A与抛物线的交点坐标即可;
(3)连接OD.先证明四边形OEDF为矩形，从而得到OD=EF，然后根据垂线段最短可求得点D的纵坐标，从而得到点P的纵坐标，然后由抛物线的解析式可求得点P的坐标.
【解答】解：(1)∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得： ，解得：b=﹣2，c=﹣3.
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3.
∵令x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3.
∴点B的坐标为(﹣1，0).
故答案为：﹣2;﹣3;(﹣1，0).
(2)存在.
理由：所示：
①当∠ACP1=90°.
由(1)可知点A的坐标为(3，0).
设AC的解析式为y=kx﹣3.
∵将点A的坐标代入得3k﹣3=0，解得k=1，
∴直线AC的解析式为y=x﹣3.
∴直线CP1的解析式为y=﹣x﹣3.
∵将y=﹣x﹣3与y=x2﹣2x﹣3联立解得x1=1，x2=0(舍去)，
∴点P1的坐标为(1，﹣4).
②当∠P2AC=90°时.
设AP2的解析式为y=﹣x+b.
∵将x=3，y=0代入得：﹣3+b=0，解得b=3.
∴直线AP2的解析式为y=﹣x+3.
∵将y=﹣x+3与y=x2﹣2x﹣3联立解得x1=﹣2，x2=3(舍去)，
∴点P2的坐标为(﹣2，5).
综上所述，P的坐标是(1，﹣4)或(﹣2，5).
(3)2所示：连接OD.
由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF.
根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短.
由(1)可知，在Rt△AOC中，
∵OC=OA=3，OD⊥AC，
∴D是AC的中点.
又∵DF∥OC，
∴ .
∴点P的纵坐标是 .
∴ ，解得： .
∴当EF最短时，点P的坐标是：( ， )或( ， ).
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