2017年福州中考数学模拟试卷及答案(2)
17.，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=BD=3，CD=2，点E从点B出发沿线段BA的方向移动到点A停止，连接CE.若△ADE与△CDE的面积相等，则线段DE的长度是 .
【考点】相似三角形的判定与性质;平行线之间的距离;三角形的面积.
【分析】当△ADE与△CDE的面积相等时，DE∥AC，此时△BDE∽△BCA，利用相似三角形的对应边成比例进行解答即可.
【解答】解：在直角△ACD中，AD=3，CD=2，则由勾股定理知AC= = = .
∵依题意得，当DE∥AC时，△ADE与△CDE的面积相等，此时△BDE∽△BCA，
所以 = ，
因为AD=BD=3，CD=2，
所以 = ，
所以DE= .
故答案是： .
18.在平面直角坐标系中，已知点 A(3，0)，B(0，4)，将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，使点B在直线CD上，连接OD交AB于点M，直线CD的解析式为 y=﹣ x+4 .
【考点】坐标与图形变化﹣旋转.
【分析】由旋转的性质得到三角形BOA与三角形CDA全等，再由已知角相等，以及公共角，得到三角形AOM与三角形AOB相似，确定出OD与AB垂直，再由OA=DA，利用三线合一得到AB为角平分线，M为OD中点，利用SAS得到三角形AOB与三角形ABD全等，得出AD垂直于BC，进而确定出B，D，C三点共线，求出直线OD解析式，与直线AB解析式联立求出M坐标，确定出D坐标，设直线CD解析式为y=mx+n，把B与D坐标代入求出m与n的值，即可确定出解析式.
【解答】解：∵△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，
∴△BOA≌△CDA，
∵∠DOA=∠OBA，∠OAM=∠BAO，
∴△AOM∽△ABO，
∴∠AMO=∠AOB=90°，
∴OD⊥AB，
∵AO=AD，
∴∠OAM=∠DAM，
在△AOB和△ABD中，
，
∴△AOB≌△ABD(SAS)，
∴OM=DM，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴B，D，C三点共线，
设直线AB解析式为y=kx+b，
把A与B坐标代入得： ，
解得： ，
∴直线AB解析式为y=﹣ x+4，
∴直线OD解析式为y= x，
联立得： ，
解得： ，即M( ， )，
∵M为线段OD的中点，
∴D( ， )，
设直线CD解析式为y=mx+n，
把B与D坐标代入得： ，
解得：m=﹣ ，n=4，
则直线CD解析式为y=﹣ x+4.
故答案为：y=﹣ .
三、解答题(本大题共7小题，共66分)
19.解方程：
(1)2x2﹣4x﹣1=0(配方法)
(2)(x+1)2=6x+6.
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法;解一元二次方程﹣配方法.
【分析】(1)先把方程整理为x2﹣2x= ，然后利用配方法解方程;
(2)先把方程变形为(x+1)2﹣6(x+1)=0，然后利用因式分解法解方程.
【解答】解：(1)x2﹣2x= ，
x2﹣2x+1= ，
(x﹣1)2= ，
x﹣1=± =± ，
所以x1=1+ ，x2=1﹣ ;
(2)(x+1)2﹣6(x+1)=0，
(x+1)(x+1﹣6)=0，
x+1=0或x+1﹣6=0，
所以x1=﹣1，x2=5.
20.某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB的高，他们来到与建筑物AB在同一平地且相距12米的建筑物CD上的C处观察，测得某建筑物顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°.求建筑物AB的高(精确到1米).(可供选用的数据： ≈1.4， ≈1.7).
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.
【分析】过点C作AB 的垂线，垂足为E，根据题意可得出四边形CDBE是矩形，再由CD=12m，∠ECB=45°可知BE=CE=12m，由AE=CE•tan30°得出AE的长，进而可得出结论.
【解答】解：过点C作AB 的垂线，垂足为E，
∵CD⊥BD，AB⊥BD，
∴四边形CDBE是矩形，
∵CD=12m，∠ECB=45°，
∴BE=CE=12m，
∴AE=CE•tan30°=12× =4 (m)，
∴AB=4 +12≈19(m).
答：建筑物AB的高为19米.
21.(1)(1)，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CAE=∠B，试说明AE与⊙O相切于点A.
(2)在图(2)中，若AB为非直径的弦，∠CAE=∠B，AE还与⊙O相切于点A吗?请说明理由.
【考点】切线的判定.
【分析】(1)根据圆周角定理由AB为直径得∠ACB=90°，所以∠B+∠BAC=90°，由于∠CAE=∠B，则∠CAE+∠BAC=90°，所以OA⊥AE，则可根据切线的判定定理得到AE与⊙O相切于点A;
(2)作直径AD，根据圆周角定理得到∠B=∠D，则可与(1)中的证明方法一样得到AE与⊙O相切于点A.
【解答】证明：(1)∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
而∠CAE=∠B，
∴∠CAE+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE与⊙O相切于点A;
(2)AE还与⊙O相切于点A.理由如下：
作直径AD，2，
∴∠D+∠DAC=90°，
∵∠B=∠D，
而∠CAE=∠B，
∴∠CAE+∠DAC=90°，即∠DAE=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE与⊙O相切于点A.
22.一个不透明的口袋中有3个小球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球除数字外其他都相同，甲先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回;乙再从口袋中随机摸出一个小球记下数字，用画树状图(或列表)的方法，求摸出的两个小球上的数字之和为偶数的概率.
【考点】列表法与树状图法.
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的两个小球上的数字之和为偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，摸出的两个小球上的数字之和为偶数的有5种情况，
∴摸出的两个小球上的数字之和为偶数的概率为： .
23.，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任取一点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F.
(1)若点F与B重合，求CE的长;
(2)若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长.
【考点】相似三角形的判定与性质;矩形的判定与性质;梯形.
【分析】(1)根据题意画出图形，得出矩形ABEC求出BE，即可求出CE;
(2)过D作DM⊥BC于M，得出四边形ABMD是矩形，推出AD=BM=9，AB=DM=7，CM=12﹣9=3，设AF=CE=a，则BF=7﹣a，EM=a﹣3，BE=12﹣a，求出∠BFE=∠DEM，∠B=∠DME，证△FBE∽△EMD，得出比例式 = ，求出a即可.
【解答】解：(1)当F和B重合时，
∵EF⊥DE，
∵DE⊥BC，
∵∠B=90°，
∴AB⊥BC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AD=EF=9，
∴CE=BC﹣EF=12﹣9=3;
(2)过D作DM⊥BC于M，
∵∠B=90°，
∴AB⊥BC，
∴DM∥AB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABMD是矩形，
∴AD=BM=9，AB=DM=7，CM=12﹣9=3，
设AF=CE=a，则BF=7﹣a，EM=a﹣3，BE=12﹣a，
∵∠FEC=∠B=∠DMB=90°，
∴∠FEB+∠DEM=90°，∠BFE+∠FEB=90°，
∴∠BFE=∠DEM，
∵∠B=∠DME，
∴△FBE∽△EMD，
∴ = ，
∴ = ，
a=5，a=17，
∵点F在线段AB上，AB=7，
∴AF=CE=17(舍去)，
即CE=5.
24.，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，反比例函数y= (x>0)经过边OB的中点C和AE中点D，已知等边△OAB的边长为8.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求等边△AFE的周长.
【考点】待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数图象上点的坐标特征;等边三角形的性质.
【分析】(1)过C作CM⊥OA，根据锐角三角函数的定义求出CM及OM的长，代入反比例函数的解析式即可得出结论;
(2)过点D作DH⊥AF，垂足为点H，设AH=a(a>0).在Rt△DAH中，根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半可得出AD=2AH=2a，由勾股定理得出DH的长，再根据点D在第一象限，可得出D点坐标，再由点D在反比例函数y= 的图象上，可以把把x=8+a，y= a代入反比例函数解析式求出a的值，再根据点D是AE中点即可得出结论.
【解答】解：(1)过C作CM⊥OA，
∵△OAB为边长为8的等边三角形，C为OB中点，
∴OC=4，∠BOA=60°，
在Rt△OCM中，CM=OC•sin60°=2 ，OM=OC•cos60°=2，
∴C(2，2 )，
代入反比例解析式得：k=4 ，
则反比例解析式为y= ;
(2)过点D作DH⊥AF，垂足为点H，设AH=a(a>0).
在Rt△DAH中，
∵∠DAH=60°，
∴∠ADH=30°.
∴AD=2AH=2a，
由勾股定理得：DH= a.
∵点D在第一象限，
∴点D的坐标为(8+a， a).
∵点D在反比例函数y= 的图象上，
∴把x=8+a，y= a代入反比例函数解析式，
解得 a=2 ﹣4 (a=﹣2 ﹣4<0不符题意，舍去).
∵点D是AE中点，
∴等边△AFE的边长为8 ﹣16，
∴△AEF的周长=24 ﹣48.
25.在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC放置，点A、C的坐标分别是(0，4)、(﹣1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.
(1)若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式;
(2)在(1)的情况下，点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大?最大面积是多少?并求出此时M的坐标;
(3)在(1)的情况下，若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是(0，4)，可求得点A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A′的抛物线的解析式;
(2)首先连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式，再设点M的坐标为：(x，﹣x2+3x+4)，继而可得△AMA′的面积，继而求得答案;
(3)分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案.
【解答】解：(1)∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是(0，4)，
∴点A′的坐标为：(4，0)，
∵点A、C的坐标分别是(0，4)、(﹣1，0)，抛物线经过点C、A、A′，
设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，
∴ ，
解得： ，
∴此抛物线的解析式为：y=﹣x2+3x+4;
(2)连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，
∴ ，
解得： ，
∴直线AA′的解析式为：y=﹣x+4，
设点M的坐标为：(x，﹣x2+3x+4)，
则S△AMA′= ×4×[﹣x2+3x+4﹣(﹣x+4)]=﹣2x2+8x=﹣2(x﹣2)2+8，
∴当x=2时，△AMA′的面积最大，最大值S△AMA′=8，
∴M的坐标为：(2，6);
(3)设点P的坐标为(x，﹣x2+3x+4)，当P，N，B，Q构成平行四边形时，
∵平行四边形ABOC中，点A、C的坐标分别是(0，4)、(﹣1，0)，
∴点B的坐标为(1，4)，
∵点Q坐标为(1，0)，P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，
①当BQ为边时，PN∥BQ，PN=BQ，
∵BQ=4，
∴﹣x2+3x+4=±4，
当﹣x2+3x+4=4时，解得：x1=0，x2=3，
∴P1(0，4)，P2(3，4);
当﹣x2+3x+4=﹣4时，解得：x3= ，x4= ，
∴P3( ，﹣4)，P4( ，﹣4);
②当BQ为对角线时，BP∥QN，BP=QN，此时P与P1，P2重合;
综上可得：点P的坐标为：P1(0，4)，P2(3，4)，P3( ，﹣4)，P4( ，﹣4);
2，当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为：(0，0)或(3，0).
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