高三理科数学备考试卷附答案(2)
高三理科数学备考试卷解答题
解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤
17.(12分)(2015•银川校级一模)△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 =(2sinB，﹣ )， =(cos2B，2cos2 ﹣1)且 ∥ .
(Ⅰ)求锐角B的大小;
(Ⅱ)如果b=2，求△ABC的面积S△ABC的最大值.
【考点】： 解三角形;平面向量共线(平行)的坐标表示;三角函数中的恒等变换应用.
【专题】： 计算题.
【分析】： (Ⅰ)由两向量的坐标及两向量平行，利用平面向量平行时满足的条件列出关系式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简，求出tan2B的值，由B为锐角，得到2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数;
(Ⅱ)由B的度数求出sinB及cosB的值，进而由b及cosB的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式化简求出ac的最大值，再由ac的最大值及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值.
【解析】： 解：(Ⅰ)∵ =(2sinB，﹣ )， =(cos2B，2cos2 ﹣1)且 ∥ ，
∴2sinB(2cos2 ﹣1)=﹣ cos2B，
∴2sinBcosB=﹣ cos2B，即sin2B=﹣ cos2B，
∴tan2B=﹣ ，
又B为锐角，∴2B∈(0，π)，
∴2B= ，
则B= ;…(6分)
(Ⅱ)当B= ，b=2，
由余弦定理cosB= 得：a2+c2﹣ac﹣4=0，
当B= ，b=2，
由余弦定理cosB= 得：a2+c2+ac﹣4=0，
又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4(当且仅当a=c=2时等号成立)，
∴S△ABC= acsinB= ac≤ (当且仅当a=c=2时等号成立)，
则S△ABC的最大值为 .…(12分)
【点评】： 此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，余弦定理，基本不等式的运用，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键.
18.(12分)(2015•银川校级一模)如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB= .
(1)证明：平面ADE⊥平面ACD;
(2)当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值.
【考点】： 与二面角有关的立体几何综合题;平面与平面垂直的判定.
【专题】： 空间角.
【分析】： (Ⅰ)由已知条件推导出BC⊥平面ACD，BC∥DE，由此证明DE⊥平面ACD，从而得到平面ADE⊥平面ACD.
(Ⅱ)依题意推导出当且仅当 时三棱锥C﹣ADE体积最大，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的余弦值.
【解析】： (Ⅰ)证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC…(1分)，
∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…(2分)，
∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD…(3分)
∵CD∥BE，CD=BE，∴BCDE是平行四边形，BC∥DE，
∴DE⊥平面ACD…(4分)，
∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD…(5分)
(Ⅱ)依题意， …(6分)，
由(Ⅰ)知
=
=
，
当且仅当 时等号成立 …(8分)
如图所示，建立空间直角坐标系，
则D(0，0，1)， ， ，
∴ ， ，
， …(9分)
设面DAE的法向量为 ，
，即 ，∴ ，…(10分)
设面ABE的法向量为 ，
，即 ，∴ ，
∴ …(12分)
∵ 与二面角D﹣AE﹣B的平面角互补，
∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为 . …(13分)
【点评】： 本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.
19.(12分)(2014•安徽模拟)前不久，省社科院发布了2013年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”.随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：
(Ⅰ)指出这组数据的众数和中位数;
(Ⅱ)若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率;
(Ⅲ)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望.
【考点】： 离散型随机变量的期望与方差;茎叶图.
【专题】： 概率与统计.
【分析】： (1)根据所给的茎叶图看出16个数据，找出众数和中位数，中位数需要按照从小到大的顺序排列得到结论.
(2)由题意知本题是一个古典概型，至多有1人是“极幸福”包括有一个人是极幸福和有零个人是极幸福，根据古典概型公式得到结果.
(3)由于从该社区任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”学生的人数，得到变量的可能取值是0、1、2、3，结合变量对应的事件，算出概率，写出分布列和期望.
【解析】： 解：(Ⅰ)众数：8.6;中位数：8.75;
(Ⅱ)设Ai表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则 ;
(Ⅲ)ξ的可能取值为0，1，2，3.
; ;
; .
则ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
所以Eξ= .
另解：ξ的可能取值为0，1，2，3.
则ξ～B(3， )， .所以Eξ= .
【点评】： 本题是一个统计综合题，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，题目分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题，考查最基本的知识点.
20.(12分)(2009•河北区二模)已知A，B，C是椭圆m： + =1(a>b>0)上的三点，其中点A的坐标为(2 ，0)，BC过椭圆m的中心，且 ，且| |=2| |.
(1)求椭圆m的方程;
(2)过点M(0，t)的直线l(斜率存在时)与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且| |=| |.求实数t的取值范围.
【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题;向量在几何中的应用.
【分析】： (1)如图， 点A是椭圆m的右顶点，∴a=2 ;由 • =0，得AC⊥BC;由 =2 和椭圆的对称性，得 = ;这样，可以得出点C的坐标，把C点的坐标代入椭圆标准方程，可求得.
(2)如图， 过点M的直线l，与椭圆m交于两点P，Q;当斜率k=0时，点M在椭圆内，则﹣2
由①②可得t的范围.
【解析】： 解(1)如图所示，
∵ =2 ，且BC过点O(0，0)，则 ;
又 • =0，∴∠OCA=90°，且A(2 ，0)，则点C ，
由a= ，可设椭圆的方程m： ;
将C点坐标代入方程m，得 ，解得c2=8，b2=4;
∴椭圆m的方程为： ;
(2)如图所示，
由题意，知D(0，﹣2)，∵M(0，t)，
∴1°当k=0时，显然﹣2
2°当k≠0时，设l：y=kx+t，则
，消去y，得(1+3k2)x2+6ktx+3t2﹣12=0;
由△>0，可得t2<4+12k2 ①
设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且PQ的中点为H(x0，y0);
则x0= =﹣ ，y0=kx0+t= ，∴H ;
由 ，∴DH⊥PQ，则kDH=﹣ ，∴ =﹣ ;
∴t=1+3k2 ②
∴t>1，将①代入②，得1
综上，得t∈(﹣2，4).
【点评】： 本题考查了直线与椭圆知识的综合应用，以及向量在解析几何中的应用;用数形结合的方法比较容易理清思路，解得结果.
21.(12分)(2015•宿州一模)已知函数f(x)=lnx﹣kx+1(k∈R)
(Ⅰ)当k=1时，求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)≤0恒成立，试确定实数k的取值范围;
(Ⅲ)证明： + + +…+ < (n∈N*且n>1)
【考点】： 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
【专题】： 导数的综合应用.
【分析】： (Ⅰ)由函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)= .能求出函数f(x)的单调区间.
(Ⅱ)由(1)知k≤0时，f(x)在(0，+∞)上是增函数，而f(1)=1﹣k>0，f(x)≤0不成立，故k>0，又由(1)知f(x)的最大值为f( )，由此能确定实数k的取值范围.
(Ⅲ)由(2)知，当k=1时，有f(x)≤0在(0，+∞)恒成立，且f(x)在(1，+∞)上是减函数，f(1)=0，即lnx
【解析】： 解：(Ⅰ)易知f(x)的定义域为(0，+∞)，
又f′(x)=
当0
当x>1时，f′(x)<0
∴f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，+∞)上是减函数.
(Ⅱ)当k≤0时，f(1)=1﹣k>0，不成立，
故只考虑k>0的情况
又f′(x)=
当k>0时，当0
当 时，f′(x)<0
在 上是增函数，在 时减函数，
此时
要使f(x)≤0恒成立，只要﹣lnk≤0 即可
解得：k≥1.
(Ⅲ)当k=1时，
有f(x)≤0在(0，+∞)恒成立，
且f(x)在(1，+∞)上是减函数，f(1)=0，
即lnx
令x=n2，则lnn2
即2lnn<(n﹣1)(n+1)，
∴ (n∈N*且n>1)
∴ + + +…+ < =
即： + + +…+ < (n∈N*且n>1)成立.
【点评】： 本题考查函数单调区间的求法，确定实数的取值范围，不等式的证明.考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-1;几何证明选讲.
22.(10分)(2014•葫芦岛二模)如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P做AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F.
(1)求证：∠PEC=∠PDF;
(2)求PE•PF的值.
【考点】： 与圆有关的比例线段.
【专题】： 选作题;立体几何.
【分析】： (1)证明P、B、C、E四点共圆、A、B、C、D四点共圆，利用四点共圆的性质，即可证明：∠PEC=∠PDF;
(2)证明D，C，E，F四点共圆，利用割线定理，即可求得PE•PF的值.
【解析】： (1)证明：连结BC，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=∠APE=90°，
∴P、B、C、E四点共圆.
∴∠PEC=∠CBA.
又∵A、B、C、D四点共圆，∴∠CBA=∠PDF，
∴∠PEC=∠PDF﹣﹣﹣﹣(5分)
(2)解：∵∠PEC=∠PDF，∴F、E、C、D四点共圆.
∴PE•PF=PC•PD=PA•PB=2×12=24.﹣﹣﹣﹣(10分)
【点评】： 本题考查圆的性质，考查四点共圆的判定，考查割线的性质，属于中档题.
选修4-4：坐标系与参数方程.
23.(2012•洛阳模拟)已知直线l： (t为参数)，曲线C1： (θ为参数).
(Ⅰ)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|;
(Ⅱ)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的 倍，纵坐标压缩为原来的 倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.
【考点】： 圆的参数方程;函数的图象与图象变化;直线与圆相交的性质;直线的参数方程.
【专题】： 计算题.
【分析】： (I)将直线l中的x与y代入到直线C1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|.
(II)将直线的参数方程化为普通方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可.
【解析】： 解：(I)l的普通方程为y= (x﹣1)，C1的普通方程为x2+y2=1，
联立方程组 ，解得交点坐标为A(1，0)，B( ，﹣ )
所以|AB|= =1;
(II)曲线C2： (θ为参数).
设所求的点为P( cosθ， sinθ)，
则P到直线l的距离d= = [ sin( )+2]
当sin( )=﹣1时，d取得最小值 .
【点评】： 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线与圆的参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，根据曲线C2的参数方程设出所求P的坐标，根据点到直线的距离公式表示出d，进而利用三角函数来解决问题是解本题的思路.
选修4-5;不等式选讲.
24.(2012•包头一模)选修4﹣5;不等式选讲.
设不等式|2x﹣1|<1的解集是M，a，b∈M.
(I)试比较ab+1与a+b的大小;
(II)设max表示数集A的最大数.h=max ，求证：h≥2.
【考点】： 平均值不等式;不等式比较大小;绝对值不等式的解法.
【专题】： 压轴题;不等式的解法及应用.
【分析】： (I)解绝对值不等式求出M=( 0，1)，可得 0
(II)由题意可得 h≥ ，h≥ ，h≥ ，可得 h3≥ = ≥8，从而证得 h≥2.
【解析】： 解：(I)由不等式|2x﹣1|<1 可得﹣1<2x﹣1<1，解得 0
由 a，b∈M，可得 0
∴(ab+1)﹣(a+b)=(a﹣1)(b﹣1)>0，
∴(ab+1)>(a+b).
(II)设max表示数集A的最大数，∵h=max ，
∴h≥ ，h≥ ，h≥ ，
∴h3≥ = ≥8，故 h≥2.
【点评】： 本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式的性质以及基本不等式的应用，属于中档题.
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