黄冈市2016-2017学年高一期末文理科数学试卷(2)
黄冈市2016-2017学年高一下期末理科数学试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列结论正确的是( )
A.若ab，则ac2bc2 B.若a2b2，则ab
C.若ab，c0，则ac
2.设数列an}是等差数列，若a2a4+a6=12，则a1a2+…+a7等于( )
A.14 B.21 C.28 D.35
3.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A.若lm，mα，则lα B.若lα，lm，则mα
C.若lα，mα，则lm D.若lα，mα，则lm
4.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为( )
A.﹣ B. C.1 D.
5.已知等比数列an}中，a3=2，a4a6=16，则=( )
A.2 B.4 C.8 D.16
6.从点(2，3)射出的光线沿斜率k=的方向射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为( )
A.x2y﹣4=0 B.2xy﹣1=0 C.x6y﹣16=0 D.6xy﹣8=0
7.若α，β为锐角，且满足cosα=，cos(αβ)=，则sinβ的值为( )
A.﹣ B. C. D.
8.若动点A(x1，y2)、B(x2，y2)分别在直线l1：xy﹣11=0和l2：xy﹣1=0上移动，则AB中点M所在直线方程为( )
A.x﹣y﹣6=0 B.xy+6=0 C.x﹣y6=0 D.xy﹣6=0
9.已知某几何体的三视图如图所示，其中，正(主)视图，侧(左)视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )
A. B. C. D.
10.将正偶数集合2，4，6，…从小到大按第n组有2n个偶数进行分组：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，…，则2018位于( )组.
A.30 B.31 C.32 D.33
11.已知实数x，y满足，则ω=的取值范围是( )
A.﹣1，] B.﹣，] C.﹣，1) D.﹣，)
12.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是( )
A.t|} B.t|≤t≤2} C.t|2} D.t|2}
二、填空题(每小题5分，本题共20分)
13.若关于x的不等式ax2﹣6xa2<0的解集是(1，m)，则m= .
14.若，则tan2α= .
15.若ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于 .
16.已知不等式组表示的平面区域为D，则
(1)z=x2y2的最小值为 .
(2)若函数y=2x﹣1m的图象上存在区域D上的点，则实数m的取值范围是 .
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.在平面直角坐标系内，已知A(1，a)，B(﹣5，﹣3)，C(4，0);
(1)当a(，3)时，求直线AC的倾斜角α的取值范围;
(2)当a=2时，求ABC的BC边上的高AH所在直线方程l.
18.在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， =，且ac=2.
(1)求角B;
(2)求边长b的最小值.
19.已知A(4，﹣3)，B(2，﹣1)和直线l：4x3y﹣2=0.
(1)求在直角坐标平面内满足PA|=|PB|的点P的方程;
(2)求在直角坐标平面内一点P满足PA|=|PB|且点P到直线l的距离为2的坐标.
20.如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形(尺寸如图所示)，E为VB的中点.
(1)求证：VD平面EAC;
(2)求二面角A﹣VB﹣D的余弦值.
21.某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1=18﹣，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2= (注：利润与投资金额单位：万元).
(1)该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和表示为x的函数，并写出定义域;
(2)在(1)的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?
22.已知曲线f(x)=(x0)上有一点列Pn(xn，yn)(nN*)，过点Pn在x轴上的射影是Qn(xn，0)，且x1x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2.(nN*)
(1)求数列xn}的通项公式;
(2)设四边形PnQnQn1Pn+1的面积是Sn，求Sn;
(3)在(2)条件下，求证： ++…+<4.
2016-2017学年湖北省黄冈市高一(下)期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列结论正确的是( )
A.若ab，则ac2bc2 B.若a2b2，则ab
C.若ab，c0，则ac
【考点】71：不等关系与不等式.
【分析】对于A，B举反例即可，对于C，D根据不等式的性质可判断
【解答】解：对于A：当c=0时，不成立，
对于B：当a=﹣2，b=1时，则不成立，
对于C：根据不等式的基本性质可得若ab，c0，则ac>b+c，故C不成立，
对于D：若<，则ab，成立，
故选：D
2.设数列an}是等差数列，若a2a4+a6=12，则a1a2+…+a7等于( )
A.14 B.21 C.28 D.35
【考点】85：等差数列的前n项和.
【分析】利用等差数列的通项公式性质及其求和公式即可得出.
【解答】解：数列an}是等差数列，a2a4+a6=12，
3a4=12，解得a4=4.
则a1a2+…+a7=7a4=28.
故选：C.
3.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A.若lm，mα，则lα B.若lα，lm，则mα
C.若lα，mα，则lm D.若lα，mα，则lm
【考点】LS：直线与平面平行的判定.
【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断.C：根据线面平行的判定定理判断.D：由线线的位置关系判断.B：由线面垂直的性质定理判断;综合可得答案.
【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确;
C：lα，mα，则lm或两线异面，故不正确.
D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确.
B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面.故正确.
故选B
4.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为( )
A.﹣ B. C.1 D.
【考点】HR：余弦定理;HP：正弦定理.
【分析】根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论.
【解答】解：3a=2b，b=，
根据正弦定理可得===，
故选：D.
5.已知等比数列an}中，a3=2，a4a6=16，则=( )
A.2 B.4 C.8 D.16
【考点】8G：等比数列的性质.
【分析】设等比数列an}的公比为q，由于a3=2，a4a6=16，可得=2， =16，解得q2.可得=q4.
【解答】解：设等比数列an}的公比为q，a3=2，a4a6=16， =2， =16，
解得q2=2.
则==q4=4.
故选：B.
6.从点(2，3)射出的光线沿斜率k=的方向射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为( )
A.x2y﹣4=0 B.2xy﹣1=0 C.x6y﹣16=0 D.6xy﹣8=0
【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程.
【分析】用点斜式求出入射光线方程，求出入射光线与反射轴y轴交点的坐标，再利用(2，3)关于y轴对称点(﹣2，3)，在反射光线上，点斜式求出反射光线所在直线方程，并化为一般式.
【解答】解：由题意得，射出的光线方程为y﹣3=(x﹣2)，即x﹣2y4=0，与y轴交点为(0，2)，
又(2，3)关于y轴对称点为(﹣2，3)，
反射光线所在直线过(0，2)，(﹣2，3)，
故方程为y﹣2=(x﹣0)，即 x2y﹣4=0.
故选：A.
7.若α，β为锐角，且满足cosα=，cos(αβ)=，则sinβ的值为( )
A.﹣ B. C. D.
【考点】GQ：两角和与差的正弦函数.
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、sin(αβ)的值，再利用两角和差的正弦公式求得sinβ=sin(αβ)﹣α的值.
【解答】解：α，β为锐角，且满足cosα=，cos(αβ)=，
sinα=，sin(αβ)=，
sinβ=sin[(αβ)﹣α=sin(αβ)cosα﹣cos(αβ)sinα=﹣=，
故选：B
8.若动点A(x1，y2)、B(x2，y2)分别在直线l1：xy﹣11=0和l2：xy﹣1=0上移动，则AB中点M所在直线方程为( )
A.x﹣y﹣6=0 B.xy+6=0 C.x﹣y6=0 D.xy﹣6=0
【考点】J3：轨迹方程.
【分析】根据题意可推断出M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l进而根据两直线方程求得M的轨迹方程.
【解答】解：由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l，故其方程为xy﹣6=0，
故选：D.
9.已知某几何体的三视图如图所示，其中，正(主)视图，侧(左)视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )
A. B. C. D.
【考点】L!：由三视图求面积、体积.
【分析】先由三视图还原成原来的几何体，再根据三视图中的长度关系，找到几何体中的长度关系，进而可以求几何体的体积.
【解答】解：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，
所以根据三视图中的数据可得：
V=××
=，
故选C.
10.将正偶数集合2，4，6，…从小到大按第n组有2n个偶数进行分组：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，…，则2018位于( )组.
A.30 B.31 C.32 D.33
【考点】F1：归纳推理.
【分析】根据题意可分析第一组、第二组、第三组、…中的数的个数及最后的数，从中寻找规律即可使问题得到解决.
【解答】解：第一组有2=12个数，最后一个数为4;
第二组有4=22个数，最后一个数为12即2(24);
第三组有6=23个数，最后一个数为24，即2(24+6);
…
第n组有2n个数，其中最后一个数为2(24+…+2n)=4(12+3+…+n)=2n(n1).
当n=31时，第31组的最后一个数为231×32=1984，
当n=32时，第32组的最后一个数为232×33=2112，
2018位于第32组.
故选：C
11.已知实数x，y满足，则ω=的取值范围是( )
A.﹣1，] B.﹣，] C.﹣，1) D.﹣，)
【考点】7C：简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率公式，结合数形结合进行求解即可.
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，
ω的几何意义是区域内的点到定点D(﹣1，1)的斜率，
由图象知当直线和BC：x﹣y=0平行时，直线斜率最大，此时直线斜率为1，但取不到，
当直线过A(1，0)时，直线斜率最小，
此时AD的斜率k==，
则ω的范围是﹣，1)，
故选：C
12.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是( )
A.t|} B.t|≤t≤2} C.t|2} D.t|2}
【考点】MI：直线与平面所成的角.
【分析】设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点.分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，可证出平面A1MN平面D1AE，从而得到A1F是平面A1MN内的直线.由此将点F在线段MN上运动并加以观察，即可得到A1F与平面BCC1B1所成角取最大值、最小值的位置，由此不难得到A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围.
【解答】解：设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点
分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，则
A1M∥D1E，A1M平面D1AE，D1E平面D1AE，
A1M∥平面D1AE.同理可得MN平面D1AE，
A1M、MN是平面A1MN内的相交直线
平面A1MN平面D1AE，
由此结合A1F平面D1AE，可得直线A1F平面A1MN，即点F是线段MN上上的动点.
设直线A1F与平面BCC1B1所成角为θ
运动点F并加以观察，可得
当F与M(或N)重合时，A1F与平面BCC1B1所成角等于A1MB1，此时所成角θ达到最小值，满足tanθ==2;
当F与MN中点重合时，A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值，满足tanθ==2
A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围为2，2]
故选：D
二、填空题(每小题5分，本题共20分)
13.若关于x的不等式ax2﹣6xa2<0的解集是(1，m)，则m= 2 .
【考点】74：一元二次不等式的解法.
【分析】由二次不等式的解集形式，判断出 1，m是相应方程的两个根，利用韦达定理求出m的值.
【解答】解：ax2﹣6xa2<0的解集是 (1，m)，
a>0，
1，m是相应方程ax2﹣6xa2=0的两根，
解得 m=2;
故答案为：2.
14.若，则tan2α= .
【考点】GU：二倍角的正切.
【分析】由条件可得tanα的值，再利用二倍角的正切公式，即可求得结论.
【解答】解：，
2(sinαcosα)=sinα﹣cosα
sinα=﹣3cosα
tanα=﹣3
tan2α===
故答案为：
15.若ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于 2 .
【考点】HP：正弦定理.
【分析】利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积，a，sinC的值代入求出b的值，再利用余弦定理求出c的值即可.
【解答】解：ABC的面积为，BC=a=2，C=60°，
absinC=，即b=2，
由余弦定理得：c2=a2b2﹣2abcosC=44﹣4=4，
则AB=c=2，
故答案为：2
16.已知不等式组表示的平面区域为D，则
(1)z=x2y2的最小值为 .
(2)若函数y=2x﹣1m的图象上存在区域D上的点，则实数m的取值范围是 .
【考点】7C：简单线性规划.
【分析】由题意作平面区域，(1)利用目标函数的几何意义，求解z=x2y2的最小值;
(2)利用图形，求出图形中A，B，C坐标;化简y=2x﹣1m，从而确定最值.
【解答】解：由题意作不等式组平面区域如图：
(1)z=x2y2的最小值为图形中OP的距离的平方;
可得： =.
(2)
结合图象可知，，可得B(，)，解得A(2，﹣1).当x时，
y=1m﹣2x，解得C(，)
x(，2时，y=2x﹣1m，m的范围在A，B，C之间取得，y=2x﹣1m，
经过A时，可得3m=﹣1，即m=﹣4，m有最小值为﹣4;
经过C可得，可得m=，即最大值为：;
经过B可得1﹣+m=，m=.
函数y=2x﹣1m的图象上存在区域D上的点，则实数m的取值范围：.
故答案为：，.
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.在平面直角坐标系内，已知A(1，a)，B(﹣5，﹣3)，C(4，0);
(1)当a(，3)时，求直线AC的倾斜角α的取值范围;
(2)当a=2时，求ABC的BC边上的高AH所在直线方程l.
【考点】IG：直线的一般式方程.
【分析】(1)求出AC的斜率，根据a的范围，求出AC的斜率的范围，从而求出倾斜角的范围即可;
(2)求出BC的斜率，根据垂直关系求出AH的斜率，代入点斜式方程即可求出l.
【解答】解：(1)KAC==﹣，
a(，3)，则KAC(﹣1，﹣)，
k=tanα，又α∈[0，π，
α∈(，);
(2)KBC==，
AH为高，AH⊥BC，
KAH•KBC=﹣1，
KAH=﹣3;
又l过点A(1，2)，
l：y﹣2=﹣3(x﹣1)，
即3xy﹣5=0.
18.在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， =，且ac=2.
(1)求角B;
(2)求边长b的最小值.
【考点】HS：余弦定理的应用;HP：正弦定理.
【分析】(1)利用正弦定理化简表达式，求角B;个两角和与差的三角函数化简求解即可.
(2)利用余弦定理求边长b的最小值.推出b的表达式，利用基本不等式求解即可.
【解答】解：(1)在ABC中，由已知，
即cosCsinB=(2sinA﹣sinC)cosB，
sin(BC)=2sinAcosB，sinA=2sinAcosB，…4分
ABC 中，sinA0，
故. …6分.
(2)ac=2，
由(1)，因此b2=a2c2﹣2accosB=a2c2﹣ac …9分
由已知b2=(ac)2﹣3ac=4﹣3ac …10分
…11分
故b 的最小值为1.…12分
19.已知A(4，﹣3)，B(2，﹣1)和直线l：4x3y﹣2=0.
(1)求在直角坐标平面内满足PA|=|PB|的点P的方程;
(2)求在直角坐标平面内一点P满足PA|=|PB|且点P到直线l的距离为2的坐标.
【考点】IT：点到直线的距离公式.
【分析】(1)A(4，﹣3)，B(2，﹣1)，可得线段AB的中点M的坐标为(3，﹣2)，又kAB=﹣1，即可得出线段AB的垂直平分线方程.
(2)设点P的坐标为(a，b)，由于点P(a，b)在上述直线上，可得a﹣b﹣5=0.又点P(a，b)到直线l：4x3y﹣2=0的距离为2，可得=2，联立解出即可得出.
【解答】解：(1)A(4，﹣3)，B(2，﹣1)，
线段AB的中点M的坐标为(3，﹣2)，又kAB=﹣1，
线段AB的垂直平分线方程为y2=x﹣3，
即点P的方程x﹣y﹣5=0.…
(2)设点P的坐标为(a，b)，
点P(a，b)在上述直线上，a﹣b﹣5=0.
又点P(a，b)到直线l：4x3y﹣2=0的距离为2，
=2，即4a3b﹣2=10，…
联立可得或
所求点P的坐标为(1，﹣4)或.…
20.如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形(尺寸如图所示)，E为VB的中点.
(1)求证：VD平面EAC;
(2)求二面角A﹣VB﹣D的余弦值.
【考点】MR：用空间向量求平面间的夹角;LS：直线与平面平行的判定.
【分析】(1)欲证VD平面EAC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证VD与平面EAC内一直线平行即可，而连接BD交AC于O点，连接EO，由已知易得VDEO，VD平面EAC，EO平面EAC，满足定理条件;
(2)设AB的中点为P，则VP平面ABCD，建立坐标系，利用向量的夹角公式，可求二面角A﹣VB﹣D的余弦值.
【解答】(1)证明：由正视图可知：平面VAB平面ABCD
连接BD交AC于O点，连接EO，由已知得BO=OD，VE=EB
VD∥EO
又VD平面EAC，EO平面EAC
VD∥平面EAC;
(2)设AB的中点为P，则VP平面ABCD，建立如图所示的坐标系，
则=(0，1，0)
设平面VBD的法向量为
∴由，可得，可取=(，，1)
二面角A﹣VB﹣D的余弦值cosθ==
21.某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1=18﹣，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2= (注：利润与投资金额单位：万元).
(1)该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和表示为x的函数，并写出定义域;
(2)在(1)的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?
【考点】5D：函数模型的选择与应用.
【分析】(1)其中x万元资金投入A产品，则剩余的100﹣x(万元)资金投入B产品，根据A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1=18﹣，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2=，可得利润总和;
(2)f(x)=40﹣﹣，x0，100，由基本不等式，可得结论.
【解答】解：(1)其中x万元资金投入A产品，则剩余的100﹣x(万元)资金投入B产品，
利润总和f(x)=18﹣+=38﹣﹣(x0，100).…
(2)f(x)=40﹣﹣，x0，100，
由基本不等式得：f(x)40﹣2=28，取等号，当且仅当=时，即x=20.…
答：分别用20万元和80万元资金投资A、B两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元.…
22.已知曲线f(x)=(x0)上有一点列Pn(xn，yn)(nN*)，过点Pn在x轴上的射影是Qn(xn，0)，且x1x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2.(nN*)
(1)求数列xn}的通项公式;
(2)设四边形PnQnQn1Pn+1的面积是Sn，求Sn;
(3)在(2)条件下，求证： ++…+<4.
【考点】8I：数列与函数的综合;8K：数列与不等式的综合.
【分析】(1)求出n=1时，x1=1;n2时，将n换为n﹣1，两式相减，即可得到所求通项公式;
(2)运用点满足函数式，代入化简，求出梯形的底和高，由梯形的面积公式，化简可得;
(3)求得：，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得证.
【解答】解：(1)n=1时，x1=22﹣1﹣2=1，
n2时，x1x2+x3+…+xn﹣1=2n﹣(n﹣1)﹣2，
又x1x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2，
②﹣得：xn=2n﹣1(n=1仍成立)
故xn=2n﹣1;
(2)，
，又，，
故四边形PnQnQn1Pn+1的面积为：;
(3)证明：，
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