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湖北省黄冈市高一期末文理科数学试卷

夏萍分享

  在考试快要到来的时候,学生需啊哟多做一些练习题和试卷,下面学习啦的小编将为大家带来湖北省的高一期末数学试卷,希望能够帮助到大家。

  湖北省黄冈市高一期末理科数学试卷

  一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

  1.下列结论正确的是(  )

  A.若ab,则ac2bc2 B.若a2b2,则ab

  C.若ab,c0,则ac

  2.设数列an}是等差数列,若a2a4+a6=12,则a1a2+…+a7等于(  )

  A.14 B.21 C.28 D.35

  3.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是(  )

  A.若lm,mα,则lα B.若lα,lm,则mα

  C.若lα,mα,则lm D.若lα,mα,则lm

  4.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则的值为(  )

  A.﹣ B. C.1 D.

  5.已知等比数列an}中,a3=2,a4a6=16,则=(  )

  A.2 B.4 C.8 D.16

  6.从点(2,3)射出的光线沿斜率k=的方向射到y轴上,则反射光线所在的直线方程为(  )

  A.x2y﹣4=0 B.2xy﹣1=0 C.x6y﹣16=0 D.6xy﹣8=0

  7.若α,β为锐角,且满足cosα=,cos(αβ)=,则sinβ的值为(  )

  A.﹣ B. C. D.

  8.若动点A(x1,y2)、B(x2,y2)分别在直线l1:xy﹣11=0和l2:xy﹣1=0上移动,则AB中点M所在直线方程为(  )

  A.x﹣y﹣6=0 B.xy+6=0 C.x﹣y6=0 D.xy﹣6=0

  9.已知某几何体的三视图如图所示,其中,正(主)视图,侧(左)视图均是由三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为(  )

  A. B. C. D.

  10.将正偶数集合2,4,6,…从小到大按第n组有2n个偶数进行分组:2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,…,则2018位于(  )组.

  A.30 B.31 C.32 D.33

  11.已知实数x,y满足,则ω=的取值范围是(  )

  A.﹣1,] B.﹣,] C.﹣,1) D.﹣,)

  12.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,F是侧面BCC1B1内的动点,且A1F平面D1AE,则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是(  )

  A.t|} B.t|≤t≤2} C.t|2} D.t|2}

  二、填空题(每小题5分,本题共20分)

  13.若关于x的不等式ax2﹣6xa2<0的解集是(1,m),则m=   .

  14.若,则tan2α=   .

  15.若ABC的面积为,BC=2,C=60°,则边AB的长度等于   .

  16.已知不等式组表示的平面区域为D,则

  (1)z=x2y2的最小值为   .

  (2)若函数y=2x﹣1m的图象上存在区域D上的点,则实数m的取值范围是   .

  三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

  17.在平面直角坐标系内,已知A(1,a),B(﹣5,﹣3),C(4,0);

  (1)当a(,3)时,求直线AC的倾斜角α的取值范围;

  (2)当a=2时,求ABC的BC边上的高AH所在直线方程l.

  18.在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边, =,且ac=2.

  (1)求角B;

  (2)求边长b的最小值.

  19.已知A(4,﹣3),B(2,﹣1)和直线l:4x3y﹣2=0.

  (1)求在直角坐标平面内满足PA|=|PB|的点P的方程;

  (2)求在直角坐标平面内一点P满足PA|=|PB|且点P到直线l的距离为2的坐标.

  20.如图所示的多面体,它的正视图为直角三角形,侧视图为正三角形,俯视图为正方形(尺寸如图所示),E为VB的中点.

  (1)求证:VD平面EAC;

  (2)求二面角A﹣VB﹣D的余弦值.

  21.某投资公司计划投资A,B两种金融产品,根据市场调查与预测,A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1=18﹣,B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2= (注:利润与投资金额单位:万元).

  (1)该公司已有100万元资金,并全部投入A,B两种产品中,其中x万元资金投入A产品,试把A,B两种产品利润总和表示为x的函数,并写出定义域;

  (2)在(1)的条件下,试问:怎样分配这100万元资金,才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?

  22.已知曲线f(x)=(x0)上有一点列Pn(xn,yn)(nN*),过点Pn在x轴上的射影是Qn(xn,0),且x1x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2.(nN*)

  (1)求数列xn}的通项公式;

  (2)设四边形PnQnQn1Pn+1的面积是Sn,求Sn;

  (3)在(2)条件下,求证: ++…+<4.

  2016-2017学年湖北省黄冈市高一(下)期末数学试卷(理科)

  参考答案与试题解析

  一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

  1.下列结论正确的是(  )

  A.若ab,则ac2bc2 B.若a2b2,则ab

  C.若ab,c0,则ac

  【考点】71:不等关系与不等式.

  【分析】对于A,B举反例即可,对于C,D根据不等式的性质可判断

  【解答】解:对于A:当c=0时,不成立,

  对于B:当a=﹣2,b=1时,则不成立,

  对于C:根据不等式的基本性质可得若ab,c0,则ac>b+c,故C不成立,

  对于D:若<,则ab,成立,

  故选:D

  2.设数列an}是等差数列,若a2a4+a6=12,则a1a2+…+a7等于(  )

  A.14 B.21 C.28 D.35

  【考点】85:等差数列的前n项和.

  【分析】利用等差数列的通项公式性质及其求和公式即可得出.

  【解答】解:数列an}是等差数列,a2a4+a6=12,

  3a4=12,解得a4=4.

  则a1a2+…+a7=7a4=28.

  故选:C.

  3.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是(  )

  A.若lm,mα,则lα B.若lα,lm,则mα

  C.若lα,mα,则lm D.若lα,mα,则lm

  【考点】LS:直线与平面平行的判定.

  【分析】根据题意,依次分析选项:A,根据线面垂直的判定定理判断.C:根据线面平行的判定定理判断.D:由线线的位置关系判断.B:由线面垂直的性质定理判断;综合可得答案.

  【解答】解:A,根据线面垂直的判定定理,要垂直平面内两条相交直线才行,不正确;

  C:lα,mα,则lm或两线异面,故不正确.

  D:平行于同一平面的两直线可能平行,异面,相交,不正确.

  B:由线面垂直的性质可知:平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面.故正确.

  故选B

  4.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则的值为(  )

  A.﹣ B. C.1 D.

  【考点】HR:余弦定理;HP:正弦定理.

  【分析】根据正弦定理,将条件进行化简即可得到结论.

  【解答】解:3a=2b,b=,

  根据正弦定理可得===,

  故选:D.

  5.已知等比数列an}中,a3=2,a4a6=16,则=(  )

  A.2 B.4 C.8 D.16

  【考点】8G:等比数列的性质.

  【分析】设等比数列an}的公比为q,由于a3=2,a4a6=16,可得=2, =16,解得q2.可得=q4.

  【解答】解:设等比数列an}的公比为q,a3=2,a4a6=16, =2, =16,

  解得q2=2.

  则==q4=4.

  故选:B.

  6.从点(2,3)射出的光线沿斜率k=的方向射到y轴上,则反射光线所在的直线方程为(  )

  A.x2y﹣4=0 B.2xy﹣1=0 C.x6y﹣16=0 D.6xy﹣8=0

  【考点】IQ:与直线关于点、直线对称的直线方程.

  【分析】用点斜式求出入射光线方程,求出入射光线与反射轴y轴交点的坐标,再利用(2,3)关于y轴对称点(﹣2,3),在反射光线上,点斜式求出反射光线所在直线方程,并化为一般式.

  【解答】解:由题意得,射出的光线方程为y﹣3=(x﹣2),即x﹣2y4=0,与y轴交点为(0,2),

  又(2,3)关于y轴对称点为(﹣2,3),

  反射光线所在直线过(0,2),(﹣2,3),

  故方程为y﹣2=(x﹣0),即 x2y﹣4=0.

  故选:A.

  7.若α,β为锐角,且满足cosα=,cos(αβ)=,则sinβ的值为(  )

  A.﹣ B. C. D.

  【考点】GQ:两角和与差的正弦函数.

  【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、sin(αβ)的值,再利用两角和差的正弦公式求得sinβ=sin(αβ)﹣α的值.

  【解答】解:α,β为锐角,且满足cosα=,cos(αβ)=,

  sinα=,sin(αβ)=,

  sinβ=sin[(αβ)﹣α=sin(αβ)cosα﹣cos(αβ)sinα=﹣=,

  故选:B

  8.若动点A(x1,y2)、B(x2,y2)分别在直线l1:xy﹣11=0和l2:xy﹣1=0上移动,则AB中点M所在直线方程为(  )

  A.x﹣y﹣6=0 B.xy+6=0 C.x﹣y6=0 D.xy﹣6=0

  【考点】J3:轨迹方程.

  【分析】根据题意可推断出M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l进而根据两直线方程求得M的轨迹方程.

  【解答】解:由题意知,M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l,故其方程为xy﹣6=0,

  故选:D.

  9.已知某几何体的三视图如图所示,其中,正(主)视图,侧(左)视图均是由三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为(  )

  A. B. C. D.

  【考点】L!:由三视图求面积、体积.

  【分析】先由三视图还原成原来的几何体,再根据三视图中的长度关系,找到几何体中的长度关系,进而可以求几何体的体积.

  【解答】解:由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥,下部分是半球,

  所以根据三视图中的数据可得:

  V=××

  =,

  故选C.

  10.将正偶数集合2,4,6,…从小到大按第n组有2n个偶数进行分组:2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,…,则2018位于(  )组.

  A.30 B.31 C.32 D.33

  【考点】F1:归纳推理.

  【分析】根据题意可分析第一组、第二组、第三组、…中的数的个数及最后的数,从中寻找规律即可使问题得到解决.

  【解答】解:第一组有2=12个数,最后一个数为4;

  第二组有4=22个数,最后一个数为12即2(24);

  第三组有6=23个数,最后一个数为24,即2(24+6);

  …

  第n组有2n个数,其中最后一个数为2(24+…+2n)=4(12+3+…+n)=2n(n1).

  当n=31时,第31组的最后一个数为231×32=1984,

  当n=32时,第32组的最后一个数为232×33=2112,

  2018位于第32组.

  故选:C

  11.已知实数x,y满足,则ω=的取值范围是(  )

  A.﹣1,] B.﹣,] C.﹣,1) D.﹣,)

  【考点】7C:简单线性规划.

  【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用直线的斜率公式,结合数形结合进行求解即可.

  【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图,

  ω的几何意义是区域内的点到定点D(﹣1,1)的斜率,

  由图象知当直线和BC:x﹣y=0平行时,直线斜率最大,此时直线斜率为1,但取不到,

  当直线过A(1,0)时,直线斜率最小,

  此时AD的斜率k==,

  则ω的范围是﹣,1),

  故选:C

  12.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,F是侧面BCC1B1内的动点,且A1F平面D1AE,则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是(  )

  A.t|} B.t|≤t≤2} C.t|2} D.t|2}

  【考点】MI:直线与平面所成的角.

  【分析】设平面AD1E与直线BC交于点G,连接AG、EG,则G为BC的中点.分别取B1B、B1C1的中点M、N,连接AM、MN、AN,可证出平面A1MN平面D1AE,从而得到A1F是平面A1MN内的直线.由此将点F在线段MN上运动并加以观察,即可得到A1F与平面BCC1B1所成角取最大值、最小值的位置,由此不难得到A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围.

  【解答】解:设平面AD1E与直线BC交于点G,连接AG、EG,则G为BC的中点

  分别取B1B、B1C1的中点M、N,连接AM、MN、AN,则

  A1M∥D1E,A1M平面D1AE,D1E平面D1AE,

  A1M∥平面D1AE.同理可得MN平面D1AE,

  A1M、MN是平面A1MN内的相交直线

  平面A1MN平面D1AE,

  由此结合A1F平面D1AE,可得直线A1F平面A1MN,即点F是线段MN上上的动点.

  设直线A1F与平面BCC1B1所成角为θ

  运动点F并加以观察,可得

  当F与M(或N)重合时,A1F与平面BCC1B1所成角等于A1MB1,此时所成角θ达到最小值,满足tanθ==2;

  当F与MN中点重合时,A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值,满足tanθ==2

  A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围为2,2]

  故选:D

  二、填空题(每小题5分,本题共20分)

  13.若关于x的不等式ax2﹣6xa2<0的解集是(1,m),则m= 2 .

  【考点】74:一元二次不等式的解法.

  【分析】由二次不等式的解集形式,判断出 1,m是相应方程的两个根,利用韦达定理求出m的值.

  【解答】解:ax2﹣6xa2<0的解集是 (1,m),

  a>0,

  1,m是相应方程ax2﹣6xa2=0的两根,

  解得 m=2;

  故答案为:2.

  14.若,则tan2α=  .

  【考点】GU:二倍角的正切.

  【分析】由条件可得tanα的值,再利用二倍角的正切公式,即可求得结论.

  【解答】解:,

  2(sinαcosα)=sinα﹣cosα

  sinα=﹣3cosα

  tanα=﹣3

  tan2α===

  故答案为:

  15.若ABC的面积为,BC=2,C=60°,则边AB的长度等于 2 .

  【考点】HP:正弦定理.

  【分析】利用三角形面积公式列出关系式,把已知面积,a,sinC的值代入求出b的值,再利用余弦定理求出c的值即可.

  【解答】解:ABC的面积为,BC=a=2,C=60°,

  absinC=,即b=2,

  由余弦定理得:c2=a2b2﹣2abcosC=44﹣4=4,

  则AB=c=2,

  故答案为:2

  16.已知不等式组表示的平面区域为D,则

  (1)z=x2y2的最小值为  .

  (2)若函数y=2x﹣1m的图象上存在区域D上的点,则实数m的取值范围是  .

  【考点】7C:简单线性规划.

  【分析】由题意作平面区域,(1)利用目标函数的几何意义,求解z=x2y2的最小值;

  (2)利用图形,求出图形中A,B,C坐标;化简y=2x﹣1m,从而确定最值.

  【解答】解:由题意作不等式组平面区域如图:

  (1)z=x2y2的最小值为图形中OP的距离的平方;

  可得: =.

  (2)

  结合图象可知,,可得B(,),解得A(2,﹣1).当x时,

  y=1m﹣2x,解得C(,)

  x(,2时,y=2x﹣1m,m的范围在A,B,C之间取得,y=2x﹣1m,

  经过A时,可得3m=﹣1,即m=﹣4,m有最小值为﹣4;

  经过C可得,可得m=,即最大值为:;

  经过B可得1﹣+m=,m=.

  函数y=2x﹣1m的图象上存在区域D上的点,则实数m的取值范围:.

  故答案为:,.

  三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

  17.在平面直角坐标系内,已知A(1,a),B(﹣5,﹣3),C(4,0);

  (1)当a(,3)时,求直线AC的倾斜角α的取值范围;

  (2)当a=2时,求ABC的BC边上的高AH所在直线方程l.

  【考点】IG:直线的一般式方程.

  【分析】(1)求出AC的斜率,根据a的范围,求出AC的斜率的范围,从而求出倾斜角的范围即可;

  (2)求出BC的斜率,根据垂直关系求出AH的斜率,代入点斜式方程即可求出l.

  【解答】解:(1)KAC==﹣,

  a(,3),则KAC(﹣1,﹣),

  k=tanα,又α∈[0,π,

  α∈(,);

  (2)KBC==,

  AH为高,AH⊥BC,

  KAH•KBC=﹣1,

  KAH=﹣3;

  又l过点A(1,2),

  l:y﹣2=﹣3(x﹣1),

  即3xy﹣5=0.

  18.在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边, =,且ac=2.

  (1)求角B;

  (2)求边长b的最小值.

  【考点】HS:余弦定理的应用;HP:正弦定理.

  【分析】(1)利用正弦定理化简表达式,求角B;个两角和与差的三角函数化简求解即可.

  (2)利用余弦定理求边长b的最小值.推出b的表达式,利用基本不等式求解即可.

  【解答】解:(1)在ABC中,由已知,

  即cosCsinB=(2sinA﹣sinC)cosB,

  sin(BC)=2sinAcosB,sinA=2sinAcosB,…4分

  ABC 中,sinA0,

  故. …6分.

  (2)ac=2,

  由(1),因此b2=a2c2﹣2accosB=a2c2﹣ac …9分

  由已知b2=(ac)2﹣3ac=4﹣3ac …10分

  …11分

  故b 的最小值为1.…12分

  19.已知A(4,﹣3),B(2,﹣1)和直线l:4x3y﹣2=0.

  (1)求在直角坐标平面内满足PA|=|PB|的点P的方程;

  (2)求在直角坐标平面内一点P满足PA|=|PB|且点P到直线l的距离为2的坐标.

  【考点】IT:点到直线的距离公式.

  【分析】(1)A(4,﹣3),B(2,﹣1),可得线段AB的中点M的坐标为(3,﹣2),又kAB=﹣1,即可得出线段AB的垂直平分线方程.

  (2)设点P的坐标为(a,b),由于点P(a,b)在上述直线上,可得a﹣b﹣5=0.又点P(a,b)到直线l:4x3y﹣2=0的距离为2,可得=2,联立解出即可得出.

  【解答】解:(1)A(4,﹣3),B(2,﹣1),

  线段AB的中点M的坐标为(3,﹣2),又kAB=﹣1,

  线段AB的垂直平分线方程为y2=x﹣3,

  即点P的方程x﹣y﹣5=0.…

  (2)设点P的坐标为(a,b),

  点P(a,b)在上述直线上,a﹣b﹣5=0.

  又点P(a,b)到直线l:4x3y﹣2=0的距离为2,

  =2,即4a3b﹣2=10,…

  联立可得或

  所求点P的坐标为(1,﹣4)或.…

  20.如图所示的多面体,它的正视图为直角三角形,侧视图为正三角形,俯视图为正方形(尺寸如图所示),E为VB的中点.

  (1)求证:VD平面EAC;

  (2)求二面角A﹣VB﹣D的余弦值.

  【考点】MR:用空间向量求平面间的夹角;LS:直线与平面平行的判定.

  【分析】(1)欲证VD平面EAC,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证VD与平面EAC内一直线平行即可,而连接BD交AC于O点,连接EO,由已知易得VDEO,VD平面EAC,EO平面EAC,满足定理条件;

  (2)设AB的中点为P,则VP平面ABCD,建立坐标系,利用向量的夹角公式,可求二面角A﹣VB﹣D的余弦值.

  【解答】(1)证明:由正视图可知:平面VAB平面ABCD

  连接BD交AC于O点,连接EO,由已知得BO=OD,VE=EB

  VD∥EO

  又VD平面EAC,EO平面EAC

  VD∥平面EAC;

  (2)设AB的中点为P,则VP平面ABCD,建立如图所示的坐标系,

  则=(0,1,0)

  设平面VBD的法向量为

  ∴由,可得,可取=(,,1)

  二面角A﹣VB﹣D的余弦值cosθ==

  21.某投资公司计划投资A,B两种金融产品,根据市场调查与预测,A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1=18﹣,B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2= (注:利润与投资金额单位:万元).

  (1)该公司已有100万元资金,并全部投入A,B两种产品中,其中x万元资金投入A产品,试把A,B两种产品利润总和表示为x的函数,并写出定义域;

  (2)在(1)的条件下,试问:怎样分配这100万元资金,才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?

  【考点】5D:函数模型的选择与应用.

  【分析】(1)其中x万元资金投入A产品,则剩余的100﹣x(万元)资金投入B产品,根据A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1=18﹣,B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2=,可得利润总和;

  (2)f(x)=40﹣﹣,x0,100,由基本不等式,可得结论.

  【解答】解:(1)其中x万元资金投入A产品,则剩余的100﹣x(万元)资金投入B产品,

  利润总和f(x)=18﹣+=38﹣﹣(x0,100).…

  (2)f(x)=40﹣﹣,x0,100,

  由基本不等式得:f(x)40﹣2=28,取等号,当且仅当=时,即x=20.…

  答:分别用20万元和80万元资金投资A、B两种金融产品,可以使公司获得最大利润,最大利润为28万元.…

  22.已知曲线f(x)=(x0)上有一点列Pn(xn,yn)(nN*),过点Pn在x轴上的射影是Qn(xn,0),且x1x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2.(nN*)

  (1)求数列xn}的通项公式;

  (2)设四边形PnQnQn1Pn+1的面积是Sn,求Sn;

  (3)在(2)条件下,求证: ++…+<4.

  【考点】8I:数列与函数的综合;8K:数列与不等式的综合.

  【分析】(1)求出n=1时,x1=1;n2时,将n换为n﹣1,两式相减,即可得到所求通项公式;

  (2)运用点满足函数式,代入化简,求出梯形的底和高,由梯形的面积公式,化简可得;

  (3)求得:,运用数列的求和方法:裂项相消求和,化简即可得证.

  【解答】解:(1)n=1时,x1=22﹣1﹣2=1,

  n2时,x1x2+x3+…+xn﹣1=2n﹣(n﹣1)﹣2,

  又x1x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2,

  ②﹣得:xn=2n﹣1(n=1仍成立)

  故xn=2n﹣1;

  (2),

  ,又,,

  故四边形PnQnQn1Pn+1的面积为:;

  (3)证明:,

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