2017年高考江苏卷数学试题和答案(2)
2017年高考江苏卷数学试题解析版
一、填空题本大题共14小题，每小题5分共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上
1. 已知集合，，若则实数的值为 ▲ .
【考点】元素的互异性
【名师点睛(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.
(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.
(3)防范空集.在解决有关等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.
2. 已知复数其中i是虚数单位，则的模是 ▲ .
【考点】复数的模
点睛. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为
3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件.
【解析】所求人数为，故答案为18.
【考点】分层抽样
点睛在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即niNi=nN.
4. 右图是一个算法流程图，若输入的值为,则输出的的值是 ▲ .
【解析】由题意，故答案为-2.
【考点】循环结构流程图
点睛
5. 若 则 ▲ .
【考点】两角和正切公式
点睛
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用;
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.
6. 如图,在圆柱内有一个球,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱的体积为,球的体积为,则的值是 ▲ .
【解析】设球半径为，则.故答案为.
【考点】圆柱体积
点睛
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解. (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.
7. 记函数的定义域为.在区间上随机取一个数,则的概率是 ▲ .
【考点】几何概型概率
【名师点睛(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解.
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.
几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性.基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.
8. 在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,,其焦点是,则四边形的面积是 ▲ .
【答案】
【名师点睛.已知双曲线方程求渐近线
2.已知渐近线 设双曲线方程
3双曲线焦点到渐近线距离为为对应准线与渐近线的交点
9. 等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则= ▲ .
【答案】32
【解析】当时，显然不符合题意;
当时，，解得，则.
【名师点睛在解决等差、等比数列的运算问题时，两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 ▲ .
【答案】30
【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.
【名师点睛在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
11. 已知函数, 其中e是自然对数的底数. 若,则实数的取值范围是 ▲ .
【答案】
函数性质解不等式
点睛解函数不等式首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内
12. 如图在同一个平面内，向量,,的模分别为1,1,与的夹角为且tan=7与的夹角为45°若 则 ▲ .
3
【解析】由可得，，根据向量的分解，
易得，即，即，即得，
所以.
【考点】向量表示
点睛(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式方程、不等式
(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题;②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
13. 在平面直角坐标系中点在圆上若则点的横坐标的取值范围是 ▲ .
【考点】直线与圆线性规划
点睛或纵坐标
14. 设是定义在且周期为1的函数，在区间上 其中集合，则方程的解的个数是 ▲ .
8
【解析】由于 ，则需考虑 的情况
范围内， 且 时，设 ，且 互质
，则由 ，可设 ，且 互质
，则 ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此
与方程
点睛(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值;从图象的对称性，分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15(本小题满分14分)
如图在三棱锥A-BCD中AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD平面BCD点EF(E与AD不重合分别在棱ADBD上且EFAD.
求证：(1)EF平面ABC;
(2)ADAC.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】证明：(1)在平面内，因为ABAD，，.
【考点】线面判定定理、判定与性质定理，面面垂直性质定理
点睛垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
(本小题满分14分)
已知向量
(1)若a∥b求x的值;
(2)记求的最大值和最小值以及对应的的值
【答案】(1)(2)时，取得最大值 时，取得最值.
【解析】解：因为，a∥b，
(2).
，，
.
于是，当，即时，取最大值3;
当，即时，取最小值.
共线，数量积
点睛1)向量平行，,
(2)向量垂直，
(3)向量加减：
(本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作 直线的垂,过点作直线的垂线.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线的交点在椭圆上求点的坐标.
(2)
【解析】解
从而直线的方程， ①
直线的方程. ②
由①②，解得，所以
因为点在椭圆上，，即或
因此点P的坐标.
【考点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系
点睛要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点曲线上则点的坐标满足曲线方程
18.(本小题满分1分)
如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm容器Ⅱ的两底面对角线的长分别为14cm和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水水深均为12cm现有一根玻璃棒l其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)
(1)将放在容器Ⅰ中的一端置于点A处另一端置于侧棱求没入水中部分的长度;
(2)将放在容器Ⅱ中的一端置于点E处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度.
【解析】:(1)由正棱柱的定义，平面，所以平面，.
记玻璃棒的另一端落在处.
( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm)
(2)如图，O，O1是正棱台的两底面中心.
由正棱台的定义，OO1⊥平面 EFGH， 所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG.
同理，平面 E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1.
记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.
过G作GK⊥E1G，K为垂足， 则GK =OO1=32.
因为EG = 14，E1G1= 62，
所以KG1= ，从而.
设则.
因为，所以.
在中，由正弦定理可得，解得.
因为，所以.
于是.
记EN与水面的交点为P2，过 P2作P2Q2⊥EG，Q2为垂足，则 P2Q2⊥平面 EFGH，故P2Q2=12，从而 EP2=.
答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.
(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm)
【考点】正余弦定理
【名师点睛解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第三步：求结果.
19.(本小题满分16分)
对于给定的正整,若数列满足
对任意正整数总成立，则称数列是数列”.
(1)证明：等差数列是数列”;
(2)若数列既是数列”，又是数列”，证明：是等差数列.
当时，，①
当时，.②
由①知，，③
，④
所以数列是等差数列
【考点】等差数列定义及通项公式
点睛证明为等差数列的方法：
(1)用定义证明：为常数;
(2)用等差中项证明：;
(3)通项法： 为的一次函数;
(4)前项和法：
20.(本小题满分16分)
已知函数有极值且导函数的极值点是的零点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
求关于 的函数关系式，并写出定义域;
证明：
(3)若这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围
【答案】(1)(2)见解析()
解(1)由，得.
当时，有极小值.
因为的极值点是的零点.
所以，又，故.
因为有极值，故有实根，从而，即.
时，，故在R上是增函数，没有极值;
时，有两个相异的实根，.
列表如下
x + 0 – 0 + 极大值 极小值 故的极值点是.
从而，
因为，所以，故，即.
因此.
(3)由(1)知，的极值点是，且，.
从而
因此a的取值范围为.
导数研究函数单调性、极值及零点
点睛函数的零点问题方程解的通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，借助函数的大致图象零点归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路
数学II
21.【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4—1：几何证明选讲(本小题满分10分)
如图，AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足.
求证：(1)
(2).
【答案】见解析
【解析(1)因为半圆O点，
所以，
所以
性质，相似三角形
点睛1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路
(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论;(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”.在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握.
2.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等.
B选修4—2：矩阵与变换(本小题满分10分)
已知矩阵 A= ，B=.
(1)求;
(2)若曲线在矩阵对应的变换作用下得到另一曲线,求的方程.
【答案】(1)(2)
【解析解(1)因为A==，
所以AB==.
(2)设曲线上的任意一点，
AB对应的变换下,
则，即，.
因为在曲线上，所以
从而，即
因此曲线矩阵AB对应的变换下.
【考点】矩阵乘法、线性变换
点睛乘法注意对应：
变换注意前后对应点：点在矩阵变换下变成点
在平面坐标系中中已知直线的参考方程为为参数,曲线的参数方程为为参数设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值
【答案】
【解析解直线的普通方程为
因此当点的坐标为时曲线到直线的距离.
【考点】参数方程普通方程
点睛1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法. 2.把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响.
D.[选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)
已知为实数，且证明
【考点】柯西不等式
【名师点睛柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn为实数，则(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2，当且仅当bi=0或存在一个数k，使ai=kbi(i=1,2，…，n)时，等号成立.
【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题卡的指定区域内解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
如图, 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,
.
(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;
(2)求二面角B-A1D-A的正弦值
【解析】解：在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.
因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.
(2)平面A1DA的一个法向量为.
设为平面BA1D的一个法向量，
又，
则即
不妨取x=3，则，
因此二面角B-A1D-A的正弦值为.
、异面直线所成角及二面角
点睛利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系;第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标;第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量;第四，破“应用公式关”.
已知一个口袋有个白球个黑球),这些球除颜色外全部相同现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为的抽屉内，其中第次取球放入编号为的抽屉.
2 3 (1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率;
(2)随机变量表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数是的数学期望证明
【答案】(1)(2)见解析
【解析】解:(1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为: .
(2) 随机变量 X 的概率分布为:
X … … P … … 随机变量 X 的期望为：
随机变量分布、数学期望
点睛求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义;
第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率;
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确;
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.
猜你感兴趣：
