2017年高考天津卷理数试卷和答案(2)
2017年高考天津卷理数试题解析版
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(A) (B) (C) (D)
【答案】
【解析】 ,选B.
【考点】 集合的运算
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
(A) (B)1(C) (D)3
【答案】
【考点】线性规划
【名师点睛】线性规划问题有三类:(1)简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数;(2)线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围;(3)线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题.
(3)阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为24，则输出的值为
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
【答案】
【解析】依次为 ,，输出 ，选C.
【考点】 程序框图
识别算法框图和完善算法框图是高考的重点和热点.解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构;第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题;第三，按照的要求完成解答.框图的考查与函数和数列等相结合.
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】
【名师点睛】，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件;从集合的角度看，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件，若是的真子集，则是的充分不必要条件，若是的真子集，则是的必要不充分条件.
(5)已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
(A) (B)(C)(D)
【答案】
【解析】由题意得 ，选B.
【考点】
【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程，解方程组求出，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线(1)双曲线过两点可设为，(2)与共渐近线的双曲线可设为，(3)等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程.
(6)已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为
(A) (B) (C) (D)
【答案】
【考点】
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
(7)设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则
(A)， (B)， (C)， (D)，
【答案】 中·华.资*源%库 ziyuanku.com
【解析】由题意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故选A.
【考点】函数
【名师点睛】有关问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据周期或周期或周期求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.
(8)已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是$来&源：ziyuanku.com
(A) (B) (C) (D)
【答案】
当时，(*)式为，，
又(当时取等号)，
(当时取等号)，
所以，
综上.故选A.
【考点】不等式、恒成立问题
【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
(9)已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为 .
【答案】
【解析】为实数，
则.中·华.资*源%库 ziyuanku.com
【考点】 复数的
【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
，
当时，为虚数，
当时，为实数，
当时，为纯虚数.
(10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为
.
【答案】
【考点】
【名师点睛】
(11)在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为___________.
2
【解析】直线为 ，圆为 ，因为 ，所以有两个交点
【考点】
【名师点睛】 把极坐标方程化为直角坐标方程，再解联立方程组根据判别式判断出交点的个数，极坐标与参数方程为选修课程，要求灵活使用公式进行坐标变换及方程变换.
(12)若，，则的最小值为___________.
【考点】
【名师点睛】 ，当且仅当时取等号;(2) ， ，当且仅当时取等号;首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件;另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.
(13)在中，，，.若，，且，则的值为___________.
【解析】 ,则
.
【考点】
【名师点睛】已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.
(14)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.(用数字作答)
【解析】
【考点】计数原理、排列、组合
【名师点睛】计数原理包含分类计数原理(加法)和分步计数原理(乘法)，组成四位数至多有一个数字是偶数
三. 解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
在中，内角所对的边分别为.已知，，.
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)求的值.
【答案】 (1) .(2)
【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，
进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.
()由()及，得，所以，
.故.
【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
16.(本小题满分13分)
从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为.
(Ⅰ)设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望;
(Ⅱ)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
【答案】 (1) (2)
试题解析：()随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.
，
，
，
.
所以，随机变量的分布列为
0 1 2 3 随机变量的数学期望.
()设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
.
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些?当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.;列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.
(17)(本小题满分13分)
如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.
(Ⅰ)求证：MN平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C-EM-N的正弦值;
(Ⅲ)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.
(3) 或
试题解析：如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得
A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0).
(Ⅰ)证明：=(0，2，0)，=(2，0，).设，为平面BDE的法向量，
则，即.不妨设，可得.又=(1，2，)，可得.
因为平面BDE，所以MN//平面BDE.
(Ⅲ)依题意，设AH=h()，则H(0，0，h)，进而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.
所以，线段AH的长为或.
直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角
【名师点睛】空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，不论是求空间角、空间距离还是证明线面关系利用空间向量都很方便，利用向量夹角公式求异面直线所成的角又快又准，特别是借助平面的法向量求线面角，二面角或点到平面的距离都很容易.
18.(本小题满分13分)
已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，
,，.
(Ⅰ)求和的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前n项和.
【答案】 (1)..(2).
【解析】
试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程求出等差数列首项和公差及等比数列的公比，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.
(II)解设数列的前项和为，
由，，有，
故，
，
上述两式相减，得
得.
所以，数列的前项和为.
【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和.
(19)(本小题满分14分)
设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.
(I)
(II)设上两点关于轴对称直线与椭圆相交于点异于点)，直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.
【答案】 (1)， .，或.
试题分析：由于为抛物线焦点，到抛物线的准线的距离为，又椭圆的离心率为，求出，得出椭圆的标准方程和抛物线方程;则，设直线方程为设，解出两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标，写出 所在直线方程，求出点的坐标，最后根据的面积为，得出直线的方程.
试题解析：()解：设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.
【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键.Ziyuanku.com
(20)(本小题满分14分)
设已知定义在R上的函数在区间内有一个零点为的导函数
(Ⅰ)求的单调区间
(Ⅱ)设，函数，求证：;
(Ⅲ)求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且 满足
.
【答案】 (1)增区间是，，减区间是.
试题解析：(Ⅰ)由，可得，
进而可得.令，解得，或.
当x变化时，的变化情况如下表：
x WWW.ziyuanku.com + - + ↘ ↗ 所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是.
(Ⅱ)证明：由，得，
.
令函数，则.由(Ⅰ)知，当时，，故当时，，单调递减;当时，，单调递增.因此，当时，，可得.
令函数，则.由(Ⅰ)知，在上单调递增，故当时，，单调递增;当时，，单调递减.因此，当时，，可得.
所以，.
所以在内至少有一个零点，不妨设为，则.
由(I)知在上单调递增，故，
于是.
因为当时，，故在上单调递增，WWW.ziyuanku.com
所以在区间上除外没有其他的零点，而，故.
又因为，，均为整数，所以是正整数，
从而.
所以.所以，只要取，就有.
【名师点睛】判断的单调性，只需对函数求导，根据的导数的符号判断函数的单调性，求出单调区间，有关函数的零点问题，先利用函数的导数判断函数的单调性，了解函数的图象的增减情况，再对极值点作出相应的要求，可控制零点的个数.
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