高二数学下册双曲线单元训练题及答案
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高二数学下册双曲线单元训练题及答案
一、选择题(每小题6分，共42分)
1.若方程 =-1表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距c的取值范围是( )
A.(0，1) B.(1，2) C.(1，+∞) D.以上都不对
答案：C
解析： =1，又焦点在y轴上，则m-1>0且|m|-2>0,故m>2，c= >1.
2.(2010江苏南京一模，8)若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率e等于( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：设双曲线方程为 =1,则F(c,0)到y= x的距离为 =2a b=2a, e= .
3.(2010湖北重点中学模拟，11)与双曲线 =1有共同的渐近线，且经过点(-3, 4 )的双曲线方程是( )
A. =1 B. =1
C. =1 D. =1
答案：A
解析：设双曲线为 =λ,∴λ= =-1,故选A.
4.设离心率为e的双曲线C： =1(a>0,b>0)的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k，则直线l与双曲线C在左、右两支都相交的充要条件是( )
A.k2-e2>1 B.k2-e2<1
C.e2-k2>1 D.e2-k2<1
答案：C
解析：双曲线渐近线的斜率为± ，直线l与双曲线左、右两支都相交，则-
5.下列图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、F2为焦点，设图①②③中的双曲线的离心率分别为e1、e2、e3,则( )
A.e1>e2>e3 B.e1
C.e1=e3
答案：D
解析：e1= +1,
对于②，设正方形边长为2，则|MF2|= ，|MF1|=1，|F1F2|=2 ,
∴e2= ;
对于③设|MF1|=1,则|MF2|= ,?|F1F2|=2,
∴e3= +1.
又易知 +1> ,故e1=e3>e2.
6.(2010湖北重点中学模拟,11)已知椭圆E的离心率为e,两焦点为F1、F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若 =e,则e的值为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：设P(x0,y0),则ex0+a=e(x0+3c) e= .
7.(2010江苏南通九校模拟，10)已知双曲线 =1(a>0,b>0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为 (O为原点)，则两条渐近线的夹角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案：D
解析：A( ),S△OAF= • •c= a=b,故两条渐近线为y=±x,夹角为90°.
二、填空题(每小题5分，共15分)
8.已知椭圆 =1与双曲线 =1(m>0,n>0)具有相同的焦点F1、F2，设两曲线的一个交点为Q，∠QF1F2=90°，则双曲线的离心率为______________.
答案：
解析：∵a2=25,b2=16,∴c= =3.
又|QF1|+|QF2|=2a=10,|QF2|-|QF1|=2m,
∴|QF2|=5+m,|QF1|=5-m.
又|QF2|2=|QF1|2+|F1F2|2，
即(5+m)2=(5-m)2+62 m= ,
∴e= = .
9.(2010湖北黄冈一模，15)若双曲线 =1的一条准线恰为圆x2+y2+2x=0的一条切线，则k等于_________________.
答案：48
解析：因圆方程为(x+1)2+y2=1,故- =-2,即 =2,k=48.
10.双曲线 -y2=1(n>1)的两焦点为F1、F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2 ,则△PF1F2的面积为_______________.
答案：1
解析：不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2 ，故|PF1|= ,|PF2|= ,又|F1F2|2=4(n+1)=|PF1|2+|PF2|2，∴△PF1F2为Rt△.故 = |PF1|•|PF2|=1.
三、解答题(11—13题每小题10分，14题13分，共43分)
11.若双曲线 =1(a>0,b>0)的右支上存在与右焦点和左准线距离相等的点，求离心率e的取值范围.
解析：如右图，设点M(x0,y0)在双曲线右支上，依题意，点M到右焦点F2的距离等于它到左准线的距离|MN|，即
|MF2|=|MN|.
∵ =e,∴ =e, =e.
∴x0= .
∵x0≥a,∴ ≥a.
∵ ≥1,e>1,∴e2-e>0.
∴1+e≥e2-e.∴1- ≤e≤1+ .
但e>1,∴1
12.已知△P1OP2的面积为 ，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P而离心率为 的双曲线方程.
解析：以O为原点,∠P1OP2的角平分线为x轴建立如右图所示的直角坐标系,设双曲线方程为 =1(a>0,b>0),由e2= =1+( )2=( )2得 .
∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y= x和y=- x，设点P1(x1, x1)，点P2(x2,- x2)(x1>0,x2>0),则点P分 所成的比λ= =2.得P点坐标为( ),即( ),又点P在双曲线 =1上.
所以 =1,
即(x1+2x2)2-(x1-2x2)2=9a2.
8x1x2=9a2. ①
又|OP1|= x1,
|OP2|= x2,
sinP1OP2= ，
∴ = |OP1|•|OP2|•sinP1OP2= • x1x2• = ，
即x1x2= . ②
由①②得a2=4,∴b2=9,
故双曲线方程为 =1.
13.(2010江苏扬州中学模拟，23)已知倾斜角为45°的直线l过点A(1，-2)和点B，其中B在第一象限，且?|AB|=3 .
(1)求点B的坐标;
(2)若直线l与双曲线C: -y2=1(a>0)相交于不同的两点E、F，且线段EF的中点坐标为(4，1)，求实数a的值.
解：(1)直线AB方程为y=x-3,设点B(x,y)，
由 及x>0,y>0,得x=4,y=1,∴点B的坐标为(4，1).
(2)由 得
( -1)x2+6x-10=0.
设E(x1,y1),F(x2,y2),则x1+x2= =4,得a=2,此时，Δ>0,∴a=2.
14.如右图，F1、F2分别是双曲线x2-y2=1的左、右焦点，点A的坐标是( ,- ),点B在双曲线上，且 • =0.
(1)求点B的坐标;
(2)求证：∠F1BA=∠F2BA.
(1)解析：依题意知F1(-2,0),F2(2,0),?A( ,- ).
设B(x0,y0),则 =( ,- ),? =(x0- ,y0+ ),
∵ • =0，
∴ (x0- )- (y0+ )=0,
即3x0-y0=2 .
又∵x02-y02=1,
∴x02-(3x0-2 )2=1,
(2 x0-3)2=0.
∴x0= ,代入3x0-y0=2 ,得y0= .
∴点B的坐标为( , ).
(2)证明： =(- ,- ),?BF2=( ,- ), =(- ,- ),
cosF1BA= ,
cosF2BA= ,
∴∠F1BA=∠F2BA.
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