鲁教版初中数学八年级上册期末测试题(2)
∴∠FBD=∠FAE，
在△BDF和△ADC中， ，
∴△BDF≌△ADC(AAS)，
∴BD=AD，
∴∠ABC=∠BAD=45°，
故选：B.
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.
11.如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是( )
A.10cm B.12cm C.15cm D.17cm
【考点】线段垂直平分线的性质.
【分析】求△ABC的周长，已经知道AE=3cm，则知道AB=6cm，只需求得BC+AC即可，根据线段垂直平分线的性质得AD=BD，于是BC+AC等于△ADC的周长，答案可得.
【解答】解：∵AB的垂直平分AB，
∴AE=BE，BD=AD，
∵AE=3cm，△ADC的周长为9cm，
∴△ABC的周长是9+2×3=15cm，
故选：C.
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.对线段进行等效转移时解答本题的关键.
12.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E.已知∠BAE=10°，则∠C的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
【考点】线段垂直平分线的性质.
【分析】利用线段的垂直平分线的性质计算.
通过已知条件由∠B=90°，∠BAE=10°⇒∠AEB，
∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C.
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE=CE
∴∠EAC=∠C，
又∵∠B=90°，∠BAE=10°，
∴∠AEB=80°，
又∵∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∴∠C=40°.
故选：B.
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质、直角三角形的两锐角互余、三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和.
13.甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如下表：
班级 参赛人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
某同学分析上表后得出如下结论：
(1)甲、乙两班学生成绩平均水平相同;
(2)乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(2003•重庆)如图所示，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°，②AD∥BC，③PC⊥AB，④四边形ABCD是轴对称图形，其中正确的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】轴对称的性质;全等三角形的性质;等边三角形的性质.
【分析】(1)先求出∠BPC的度数是360°﹣60°×2﹣90°=150°，再根据对称性得到△BPC为等腰三角形，∠PBC即可求出;
(2)根据题意：有△APD是等腰直角三角形;△PBC是等腰三角形;结合轴对称图形的定义与判定，可得四边形ABCD是轴对称图形，进而可得②③④正确.
【解答】解：根据题意，∠BPC=360°﹣60°×2﹣90°=150°
∵BP=PC，
∴∠PBC=(180°﹣150°)÷2=15°，
①正确;
根据题意可得四边形ABCD是轴对称图形，
∴②AD∥BC，③PC⊥AB正确;
④也正确.
所以四个命题都正确.
故选D.
【点评】本题考查轴对称图形的定义与判定，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形.折痕所在的这条直线叫做对称轴.
15.某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件才能按时交货，则x应满足的方程为( )
A. B. =
C. D.
【考点】由实际问题抽象出分式方程.
【分析】本题的关键是要弄清因客户要求工作量提速后的工作效率和工作时间，然后根据题目给出的关键语“提前5天”找到等量关系，然后列出方程.
【解答】解：因客户的要求每天的工作效率应该为：(48+x)件，所用的时间为： ，
根据“因客户要求提前5天交货”，用原有完成时间 减去提前完成时间 ，
可以列出方程： .
故选：D.
【点评】这道题的等量关系比较明确，直接分析题目中的重点语句即可得知，再利用等量关系列出方程.
二、填空题(本大题共5小题)
16.在学校的卫生检查中，规定各班的教室卫生成绩占30%，环境卫生成绩占40%，个人卫生成绩占30%.八年级一班这三项成绩分别为85分，90分和95分，求该班卫生检查的总成绩 90分 .
【考点】加权平均数.
【分析】根据加权平均数的计算公式求解即可.
【解答】解：该班卫生检查的总成绩=85×30%+90×40%+95×30%=90(分).
故答案为90分.
【点评】本题考查的是加权平均数的求法.本题易出现的错误是求85，90，95这三个数的平均数，对平均数的理解不正确.
17.已知 = ，则 = .
【考点】比例的性质.
【分析】根据 = ，可得 = ，再根据比例的性质即可求解.
【解答】解：∵ = ，
∴ = ，
∴ ﹣ = ，
= .
故答案为： .
【点评】此题考查了比例的性质，关键是将 = 变形为 = .
18.如图，已知AB=A1B，A1C=A1A2，A2D=A2A3，A3E=A3A4，∠B=20°，则∠A4= 10 度.
【考点】等腰三角形的性质;三角形内角和定理;三角形的外角性质.
【分析】由∠B=20°根据三角形内角和公式可求得∠BA1A的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质找∠BA1A与∠A4的关系即可解答.
【解答】解：∵AB=A1B，∠B=20°，
∴∠A=∠BA1A= (180°﹣∠B)= (180°﹣20°)=80°
∵A1C=A1A2，A2D=A2A3，A3E=A3A4
∴∠A1CD=∠A1A2C，
∵∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠BA1A=2∠CA2A1=4∠DA3A2=8A4
∴∠A4=10°.
故填10.
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角与内角的关系及等腰三角形的性质的综合运用.充分利用外角找着∠BA1A与∠A4的关系是正确解答本题的关键.
19.关于x的方程 +1= 有增根，则m的值为 3 .
【考点】分式方程的增根.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得到x﹣3=0，将x的值代入计算即可求出m的值.
【解答】解：分式方程去分母得：x+x﹣3=m，
根据分式方程有增根得到x﹣3=0，即x=3，
将x=3代入整式方程得：3+3﹣3=m，
则m=3.
故答案为：3.
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根;②化分式方程为整式方程;③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
20.如图EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF.给出下列结论：①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN.其中正确的结论有 ①②③ (填序号).
【考点】全等三角形的判定.
【分析】由已知条件，可直接得到三角形全等，得到结论，采用排除法，对各个选项进行验证从而确定正确的结论.
【解答】解：∵∠B+∠BAE=90°，∠C+∠CAF=90°，∠B=∠C
∴∠1=∠2(①正确)
∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF
∴△ABE≌△ACF(ASA)
∴AB=AC，BE=CF(②正确)
∵∠CAN=∠BAM，∠B=∠C，AB=AC
∴△ACN≌△ABM(③正确)
∴CN=BM(④不正确).
所以正确结论有①②③.
故填①②③.
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA.得到三角形全等是正确解决本题的关键.
三、解答题
21.(10分)(2016秋•肥城市期末)解答下列各题
(1)解方程： = .
(2)先化简，再求值： ，其中a2+3a﹣1=0.
【考点】分式的化简求值;解分式方程.
【分析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解;
(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值.
【解答】解：(1)方程两边都乘(2﹣x)(2+x)，得x2=2﹣x﹣4+x2，
解得：x=﹣2，
检验：当x=﹣2时，(2﹣x)(2+x)=0，
∴x=﹣2是增根，原方程无解;
(2)原式= ÷ = • = ，
由a2+3a﹣1=0，得到a2+3a=a(a+3)=1，
则原式= .
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
22.已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF.
【考点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.
【分析】连接AD，利用SSS得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形对应角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD为角平分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线定理即可得证.
【解答】证明：连接AD，
在△ACD和△ABD中，
，
∴△ACD≌△ABD(SSS)，
∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，
∵DE⊥AE，DF⊥AF，
∴DE=DF.
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.
23.(10分)(2016秋•肥城市期末)市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如表：
选手 选拔成绩/环 中位数 平均数
甲 10 9 8 8 10 9 9 9
乙 10 10 8 10 7 9 9.5 9
(1)把表中所空各项数据填写完整;
(2)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差;
(3)根据(1)、(2)计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适，请说明理由.
【考点】方差;加权平均数;中位数.
【分析】(1)根据平均数、中位数的定义，结合图表数据，即可完成表格;
(2)根据平均数，以及方差公式求出甲、乙六次测试成绩的方差即可;
(3)根据方差和平均数两者进行分析.
【解答】解：(1)甲：将六次测试成绩按从小到大的顺序排列为：8，8，9，9，10，10，中位数为(9+9)÷2=9，
平均数为(10+9+8+8+10+9)÷6=9;
乙：第6次成绩为9×6﹣(10+10+8+10+7)=9，
将六次测试成绩按从小到大的顺序排列为：7，8，9，10，10，10，中位数为(9+10)÷2=9.5;
填表如下：
选手 选拔成绩/环 中位数 平均数
甲 10 9 8 8 10 9 9 9
乙 10 10 8 10 7 9 9.5 9
故答案为9，9.9，9.5
(2)s2甲= [2×(8﹣9)2+2×(9﹣9)2+2×(10﹣9)2]= ;
s2乙= [(7﹣9)2+(8﹣9)2+(9﹣9)2+3×(10﹣9)2]= ;
(3)我认为推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：
两人的平均成绩相等，说明实力相当;但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适.
【点评】此题主要考查了中位数的定义，平均数的求法以及方差的求法，正确的记忆方差公式是解决问题的关键，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为 ，则方差S2= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…+(xn﹣ )2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.
24.(10分)(2014•泰安)某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完.
(1)该种干果的第一次进价是每千克多少元?
(2)超市销售这种干果共盈利多少元?
【考点】分式方程的应用.
【分析】(1)设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克(1+20%)x元.根据第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，列出方程，解方程即可求解;
(2)根据利润=售价﹣进价，可求出结果.
【解答】解：(1)设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克(1+20%)x元，
由题意，得 =2× +300，
解得x=5，
经检验x=5是方程的解.
答：该种干果的第一次进价是每千克5元;
(2)[ + ﹣600]×9+600×9×80%﹣(3000+9000)
=(600+1500﹣600)×9+4320﹣12000
=1500×9+4320﹣12000
=13500+4320﹣12000
=5820(元).
答：超市销售这种干果共盈利5820元.
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键.
25.(10分)(2016秋•肥城市期末)已知：如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=50°
(1)求证：①AC=BD;②∠APB=50°;
(2)如图②，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系为 AC=BD ，∠APB的大小为 α
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】(1)根据∠AOB=∠COD=50°求出∠AOC=∠BOD，根据SAS推出△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质得出AC=BD，∠CAO=∠DBO，
根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，推出∠APB=∠AOB即可.
(2)根据∠AOB=∠COD=50°求出∠AOC=∠BOD，根据SAS推出△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质得出AC=BD，∠CAO=∠DBO，
根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，推出∠APB=∠AOB即可.
【解答】证明：(1)∵∠AOB=∠COD=50°，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，
根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，
∴∠APB=∠AOB=50°.
(2)解：AC=BD，∠APB=α，
理由是：)∵∠AOB=∠COD=50°，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，
根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，
∴∠APB=∠AOB=α，
故答案为：AC=BD，α.
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△AOC≌△BOD，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
26.(12分)(2016秋•肥城市期末)按要求完成下列题目.
(1)求： + + +…+ 的值.
对于这个问题，可能有的同学接触过，一般方法是考虑其中的一般项，注意到上面和式的每一项可以写成 的形式，而 = ﹣ ，这样就把 一项(分)裂成了两项.
试着把上面和式的每一项都裂成两项，注意观察其中的规律，求出上面的和，并直接写出 + + +…+ 的值.
(2)若 = +
①求：A、B的值：
②求： + +…+ 的值.
【考点】分式的化简求值;规律型：数字的变化类.
【分析】(1)根据题目的叙述的方法即可求解;
(2)①把等号右边的式子通分相加，然后根据对应项的系数相等即可求解;
②根据 = • ﹣ • 把所求的每个分式化成两个分式的差的形式，然后求解.
【解答】解：(1) + + +…+
=1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣
=1﹣
= ;
(2)①∵ +
= = ，
∴ ，
解得 .
∴A和B的值分别是 和﹣ ;
②∵ = • ﹣ •
= ( ﹣ )﹣ ( ﹣ )
∴原式= • ﹣ • + • ﹣ • +…+ • ﹣ •
= • ﹣ •
= ﹣
= .
【点评】本题考查了分式的化简求值，正确理解 = • ﹣ • 是关键.
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