试论数学模型在管理会计中的应用

一、引言

会计学是一门反映经济活动中以价值表现的经济数量关系的科学，管理会计是一门会计学与现代管理学及高等数学相结合的交叉型学科，它的理论基础是成本性态、本量利分析，主要致力于利用先验信息来控制经济活动、预测，最终提供决策参考，保证以最少的投入取得最大化的经济效益。现代管理会计的诸多理论和方法都是基于严密的数学推导而形成，在此，主要讨论在现代管理会计学中应用较为广泛的数学模型。

对于具体的管理会计问题，使用的数学模型在形式上具有较大差异，目前使用较多的模型有：边际分析、回归分析、马尔可夫链预测、属性数学、蒙特卡罗模拟等方法。如吴立煦(1981)将边际分析、回归分析等方法应用于联产品最优产量的成本计算、未确定销售量的保本分析、成本的估计和控制三个方面。宋小明(2009)分别利用回归分析预测产品制造中的成本和销售额，利用层次分析法评价企业财务状况、投资效益，利用具有吸收状态的马尔可夫链预测经营状况。并提出“经济定货量”模型、“经济生产量”模型、敏感分析、弹性分析等模型分析方法在管理会计中都有着不同的应用。张秋生(2012)分别利用回归直线模型预测混合成本分解及成本，利用导数进行企业存货规划决策，利用复利与年金对投资进行决策。孙丽艳，苗成林(2008)采用属性数学模型对会计质量对象空间的元素根据其测量的指标进行评价，将其元素等级划分或归为某一评价类，从而为加强会计质量管理、提高会计质量提供了良好的平台，最后依据评价模型对今后需要做的工作提出建议。温素彬，周鎏鎏(2014)认为现实投资决策具有时期长、风险大、随机性强等特征，基本的确定性投资决策模型很大程度上不具有决策相关性和操作可行性，于是，撰文运用Excel的高级计算功能，针对投资决策中的随机性特征，设计投资决策的蒙特卡罗模拟模型，以便为同类决本文由毕业论文网http://www.lw54.com收集整理策提供借鉴。由此可见，数学模型在现代管理会计领域具有广泛的应用，但目前尚没有一篇文献对这些文献进行归纳整理，即时有一些文献做了整理的工作，也只是简单罗列，并没有陈述依据、进行深入分析。

以上模型虽在形式上具有较大差异，但其本质都可以归为五类：盈亏临界、数学分析、数学规划、矩阵代数、概率统计模型。

二、五类典型的数学模型及其应用

(一)盈亏临界模型

盈亏临界模型运用一般代数的分析方法对企业生产过程中的“盈亏平衡点”进行分析，考虑当“总成本等于总收益”时的临界情况，求出盈亏临界点的销量，并据此做出是否进行生产以及产量的决策，下面对该模型的求解过程进行详细论述。

假设企业的整个经营过程仅包含生产、销售两个环节，不考虑税收、营业外收支等额外因素。并且有以下基本量：总成本C(其中固定总成本为C0，单位变动成本为V)、利润L、收益R、价格p、产品销量q，则L=R-C，企业有生产积极性的条件是L>0 。此时考虑当L=0的临界情况，此时有如下方程组成立

R=C

R=p*q

C=q*V+C

解之，即得盈亏临界点的销量为q=C/(p-V)。因此，当q>C/(p-V)时，企业的利润大于0，为盈利状态;当时q

(二)数学分析模型

管理会计学中常用的几个函数是需求、供给、收益、成本、利润函数，而边际、弹性分析是常用的两种数学分析模型，下面以企业的供给过程以及利润函数来说明边际、弹性分析的经济学含义。

1.边际分析

微积分学中用导数来解释“边际”的概念，下面以由总成本求导计算边际成本的过程来说明“边际”的经济学含义。

设某企业生产某产品的总成本函数为C=C(q)，其中，q是产量，C是生产q所需的总成本(即变动成本与固定成本之和)，现在假设产量由q增加到q+△q，则总成本的增加量为△C=C(q+△q)-C(q)，此时，总成本的平均增加量为=。

如果极限存在，则称此极限为产量为q时的边际成本，即C′(q)称之为边际成本函数。

边际成本的经济学含义为：当既有产量为q时，再增加生产1单位产品应增加的总成本。即总成本对产量的变化率。

根据边际成本的意义和导数的概念，一般有以下结论：

(1)边际成本仅与变动成本有关，与固定成本无关;

(2)如果某产品的单价为p，则当C′(q)

对于边际收益、边际利润的概念均有以上类似的推导模式。

根据盈亏临界模型中的分析，利润L=R-C，那么，对于一般的利润最大化的最优化问题，可以令L′=R′-C′=0，求出对应的产量就是使得企业获得最大化利润的临界产量。

2.弹性分析

“弹性”的概念最初由阿尔弗莱德·马歇尔提出，是指一个变量相对于另一个变量发生的一定比例的改变的属性。供给价格弹性是反映当价格变动时，相应商品的供给量变动对价格变动的灵敏程度;类似的，需求价格弹性是反映当价格变动时，相应商品的需求量变动对价格变动的灵敏程度。

设供给函数q=f(p)是可导的，记ES为供给价格弹性，定义为ES==p。

一般情况，因假设供给函数q=f(p)是单调增加的，即f′(p)>0，又p>0，f(p)>0，所以，供给价格弹性ES取正值。设商品价格为p时，供给量为q，供给价格弹性的经济学含义是：在价格为时，若价格提高或降低1%，供给量将由q起增加或减少ES%。

(三)数学规划模型

数学规划模型又称为最优化模型，主要包括：线性规划、非线性规划、整数规划、目标规划、多目标规划、动态规划模型、层次分析法等。其中较为典型的就是线性规划模型、层次分析法。

1.线性规划法

线性规划模型的一般形式为

其中，(1)式为决策目标，(2)式为约束条件，是线性规划问题两个必不可少的要素，因此，在实际运用过程中，线性规划模型必须满足如下3个条件：决策目标可以用数据指标进行衡量;实现决策目标有多种可选方案;决策目标的实施有若干约束条件并且也是可以量化的。

线性规划模型主要应用于如下几个领域：制定销售计划(如竞争性定价等)、制定生产计划(如配料、产量决策等)、库存管理(如物资库存量的合理分配等)、投资管理(如预算、成本分析、证券管理等)。线性规划模型的求解需要用到数学分析模型的相关方法，如线性规划中的影子价格、灵敏度分析就属于偏导数的一种应用，因此，线性规划法并非是一种完全独立的方法。

2.层次分析法

层次分析法(Analytic Hierarchy Process，简称AHP)也是一种应用较多的数学规划模型，它是由美国匹兹堡大学教授A.L.Saaty于20世纪70年代提出的一种系统分析方法。层次分析法主要依靠整理和综合人们的主观判断，使定性、定量分析有机结合，实现定量化决策，主要解决多因素复杂系统，特别是难以定量描述的社会系统的分析方法，体现了“先分解后综合”的系统思想。

层次分析法的基本思想是：(1)将目标问题层次化，根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素;(2)按照因素间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚类组合，形成一个多层分析结构模型;(3)归结为最低层(方案、措施、指标等)相对于最高层(总目标)相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。

不过，层次分析法也具有如下局限性：(1)只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案;(2)该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题;(3)从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。

(四)矩阵代数模型

投入产出模型是典型的矩阵代数模型，它是计划经济时代的产物，主要应用于宏观经济中分析研究经济各部门之间的联系和平衡关系。

投入产出模型主要研究一个经济系统各部门间的“投入”与“产出”关系，该方法最早由美国著名的经济学家沃西里·里昂惕夫(W.Leontief)提出，是目前比较成熟的经济分析方法，主要有产业关联分析、价格影响分析、局部闭模型、投入产出乘数分析四个方面的建模方向。

“投入”即指从事一项经济活动的消耗，“产出”即指从事经济活动的结果。在会计学中，利润即经营成果为收入减费用。而在统计中，成果就为产出和投入间的差值。投入产出数学模型就是通过编制“投入产出表”，运用线性代数工具建立数学模型，从而揭示国民经济各部门、再生产各环节之间的内在联系，并据此进行经济分析、预测和安排预算计划。按计量单位不同，该模型可分为价值型和实物型。图1所示就是一种较为常见的投入产出表。

投入产出表描述了各经济部门在一定时期内的投入产出情况，行表示某部门的产出，列表示相应的投入。如表1所示，第一行x1表示部门1的总产出水平，x11为本部门的使用量，x1j(j=1，…，n)为部门1提供给部门j的使用量，各部门的供给最终产品为y1j(j=1，…，n)。这几个方面投入的总和代表了该时期的总产出水平。

表1中存在两个方向的平衡方程，分别是从上到下的投入平衡方程：转移价值+新创造价值=总产出

从左到右的产出平衡方程：中间产品+最终产品=总产品

投入产出模型虽然产生于计划经济时代，但仍适用于市场经济时代的经济活动。在计划工作中，投入产出模型可以用于从最终产品出发编制各部门计划方案，在计划编制或计划执行中解决缺口或盈余问题，在经济分析中可以用于结构分析、编制经济计划和进行经济调整、研究工资(税收)变动对各部门产品价格的影响，等等。__军(2013)认为投入产出模型是现代企业管理工作者对企业进行科学管理的非常适用而且实用的研究方法和依据，是现代经营管理工作者所不可缺少的经济数学工具。投入产出模型在企业预测规划、生产系统控制调整方面具有广泛的应用。

(五)概率统计模型

1.概率模型

影响事物变化的因素主要分为两类：确定因素和随机因素。如果根据建模背景、目的和手段可以确定主要因素，而可以忽略随机因素，或者随机因素的影响可以被简单处理，那么就能够建立确定性模型;如果随机因素对研究对象的影响必须考虑并且是较为复杂的，就应该根据随机变量和概率分布描述随机因素的影响，建立随机模型—概率模型(Probability Models)。

2.统计模型

由于人们认识程度的限制，客观事物的内部规律性常常很难被正确认知，因此也无法分析实际对象内在的因果关系、建立合乎机理规律的模型。那么通常要搜集大量的历史数据，基于对数据的统计学分析建立统计模型(Statistical Models)，以期从对先验信息中总结出一定的规律并对未来进行一定精度的预测。

概率模型与统计模型之间并不是完全独立的两种分析方法，实际的管理会计问题中，常常将两者交互使用。财务的预算筹划工作是企业的管理会计工作中的一项重要内容，而历史数据往往复杂繁多，缺乏规律性，同时由于随机因素的存在，使各变量之间的关系具有某种不确定性而无法得到精确的关系表达式。这时常常需要使用概率统计的方法，在大量的试验和观察中，寻找隐藏在随机变量后的统计规律性，即变量之间的相关关系。

回归预测分析法是一种典型的统计方法，其主要建模步骤为：(1)根据已知数据从常识和经验分析，辅之以作图，决定回归变量及函数形式(先取尽量简单的形式);(2)用软件(如MATLAB统计工具箱)求解;(3)对结果作统计分析;R2、F、p、s2是对模型整体评价，回归系数置信区间是否含零点检验其影响的显著性;(4)模型改进，如增添二次项、交互项等;(5)对因变量进行预测。

3.统计量

统计量是概率统计模型中一个重要的概念，主要是指统计理论中用来对数据进行分析、检验的变量，主要包括：样本均值、样本方差、样本标准差、样本k阶原点矩、样本k阶中心矩。其中，样本均值和样本方差是概率统计方法中使用较多的两个重要的统计量，在风险决策中具有广泛的应用，如风险投资管理中的Markowitz模型。