浅谈数学与哲学关系的论文示例(3)
数学与哲学的论文篇四
哲学与高等数学在教学上的相互渗透
摘要： 文章分析了高等数学中所蕴涵的哲学思想，并指出在教学中两者应相互渗透，此举能培养学生辩证的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，从而不断提高学生的科学素质。
Abstract： This paper analyzes the implication of the philosophic thinking in advanced mathematics， and the two should be infiltrated in teaching. In doing so， it will be able to train students dialectical logical thinking ability to analyze problems and problem-solving skills， so as to continuously improve the students' scientific quality.
关键词： 哲学;高等数学;教学方法
Key words： philosophy;advanced mathematics;teaching method
中图分类号：G642.4 文献标识码：A 文章编号：1006-4311(2013)19-0250-02
0 引言
哲学是自然知识、社会知识、思维知识的概括和总结，是世界观和方法论的统一[1]。爱因斯坦说：“如果把哲学理解为在最普遍和最广泛的形式中对知识的追求，那么，哲学显然就可以被认为是全部科学之母。”
数学是利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科，是各门科学的基础和工具。
“没有哲学，难以得知数学的深度，没有数学，也难以探知哲学的深度。”数学家波尔达斯的话说明了数学与哲学是相互依存的。数学一直以来都是哲学家们的重要案例，而哲学也是数学家们热衷研究的对象。在古希腊和17世纪的欧洲，兼具数学家和哲学家头衔的人比比皆是，如毕达哥拉斯、亚里士多德、伽利略、笛卡尔、牛顿、莱布尼兹等[2]。实际上，二者“都属于为理解我们周围世界所做的最初的理智上的尝试”[3]。
哲学研究世界本质的共性，数学研究特殊规律的个性。数学需要哲学的指引，需要哲学为其提供研究方向和探索工具。数学史上的三次危机的出现和解决，都离不开哲学思辨。同时数学的文化精髓和积极成果又反过来影响着哲学观点，丰富和发展哲学本身的形式和内涵。
恩格斯说：“微积分进入了数学，辩证法就进入了数学。”高等数学作为哲学在自然科学领域中的具体体现，处处蕴含着哲学思想。
1 数学中蕴含的哲学思想
1.1 对立统一规律 对立统一规律是唯物辩证法的实质和核心，它揭示出任何事物以及事物之间都包含着矛盾性，事物矛盾双方又统一又斗争推动事物的运动、变化和发展。高等数学中有很多对立的概念，体现出这一规律，下面用几对重要的哲学范畴举例说明：
①整体与局部。整体与局部相互依赖，互为存在和发展的前提。作为微积分的三大基本公式，牛顿-莱布尼兹公式、格林公式和高斯公式都将内部计算转化为边界计算，都刻画了函数在某种几何形体上的总体性质和在边界上的局部性质之间的关系。
②共性与个性。共性指不同事物的普遍性质，个性指一事物区别于他事物的特殊性质。虽然研究微积分的数学家很多，但之所以他们没有成为微积分的创始人，是因为他们研究的都是个例形态，而牛顿和莱布尼兹则超越他们，透过现象看到本质，从众多个例中提炼出共性的东西——无穷小分析，并将其提升，确立为数学理论。
③运动与静止。运动是物质的存在形式和固有属性，相对静止是事物存在和发展的必要条件。极限概念的发展史便是这一对矛盾的最好诠释。最开始，极限是通过“无限增大”、“想多小就多小”这种描述性的定义给出的，而这种不严密的叙述无法用于证明，直接动摇了微积分的根基。直到ε-N语言的出现，它用静态观点刻画了运动趋势，完美的将二者融为一体。[4]
④具体与抽象。这是人类认识事物过程的两个阶段。如为了求解瞬时速度和切线问题，我们抽象出了导数的定义。然后我们又可以在现实世界中广泛的应用它：求电流强度、角速度、线密度、边际成本等。很多数学概念的形成都是源于客观实际的需要，之后又服务于生活：从具体到抽象，再由抽象到具体。
⑤相对与绝对。通过相对才能体现绝对，绝对不能离开相对而独立存在。如对于二元函数，存在两个绝对的自变量，但当求偏导数时，却需要相对的将其中一个看作常量;同样，求二重积分时，需要先将一个自变量看作常量，然后再视其为变量。这个例子很好的体现了相对与绝对的辩证关系。
⑥有限与无限。这是世界固有的矛盾之一。比如若我们要求无穷级数的和，需要先求出前有限项的和，然后借助于极限将其推广到无限项之和，这恰恰说明无穷级数是有限和无限的统一：有限构成了无限、无限不能脱离有限而独立存在，有限包含着无限，有限体现着无限。
1.2 质量互变规律 它是在事物量与质、量变与质变的辩证关系中揭示事物发展的形式、状态的唯物辩证法的基本规律。
高等数学中也处处能体现出这一规律。比如，在取极限的过程中，当时间趋于零时，平均速度变成了瞬时速度;当动点无限接近于定点时，割线的斜率变成了切线的斜率;当边数无限增大时，圆内接正多边形的面积变成了圆的面积;当分割无限细时，小平顶柱体的体积之和变成了曲顶柱体的体积。这些例子无不说明事物的发展总是先从量变开始，量变达到临界点超出了度，就导致质变。
1.3 肯定否定规律 也称为否定之否定规律，揭示了事物内部肯定和否定矛盾的对立统一，即事物由肯定达到对自身的否定，进而再由否定到否定之否定，从而显示出事物在曲折前进和螺旋式上升的辩证过程。在引入定积分时，我们计算了曲边梯形的面积：先将其分割成很多个小曲边梯形，把它们近似看成矩形，然后将所有小矩形面积求和，当小矩形个数趋于无限大时，就可以将其视为梯形的面积。这种“化整为零，积零为整”、“以直代曲、由曲到直”的思想恰是否定之否定规律的绝妙体现。 1.4 普遍联系原理 普遍联系的观点，是唯物辩证法的本质特征之一。它指出：任何事物内部的各个部分、要素是相互联系的;任何事物都与周围的其他事物相互联系着。
如高等数学中共有七种形式的积分：一元积分、二重积分、三重积分、两类曲线积分、两类曲面积分。这些积分通过定义、两类曲线、面积分之间的联系及多元微积分的三大公式呈现出错综复杂的关系，相互之间可以转化。由于所有的积分都是通过“分割、近似求和、取极限”的思想来定义的，所以它们实际上并没有分家，而是一个结构精妙的统一体系。再如微分中值定理作为研究函数的有力工具，也是相互联系的。其中拉格朗日定理是罗尔定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。可见在学习数学时，我们也应坚持联系的观点，用普遍联系的观点看问题。
1.5 主要矛盾和次要矛盾相互关系原理 唯物辩证法认为，矛盾有主次之分，主要矛盾和次要矛盾相互依赖、相互影响，并在一定条件下相互转化。这就要求我们在观察和处理事物时，要抓住主要矛盾，从而掌握工作的中心环节。
如在求解二重积分时，有些题目用直角坐标计算，但按照已有次序是解不出的，必须要交换积分次序才行;而有些题目无论怎样交换积分次序都做不出，因为它用直角坐标的方法是无解的，但如果转化成极坐标来计算，问题就会迎刃而解[5]。
2 哲学与高等数学在教学上的相互渗透
哈佛大学有一个著名的口号：“一流的工科要有一流的理科，一流的理科要有一流的数学，一流的数学要有一流的文科，一流的文科要有一流的哲学!”可见在世界顶级的高等教育学府中，学科间的相互融合、相互促进、相互提升已被摆在很重要的位置上。
我们也可以在教学上做些学科交叉融合的尝试，同世界先进的教育理念接轨。
2.1 在哲学教学中渗透数学的思想 ①哲学教学现状。在我国科技飞速发展、经济日益腾飞的今天，实用价值观和功利主义的知识观正在影响着当代大学生。大家在学一门知识前先要问“学了有什么用”?由于哲学不像其他的自然科学和现代技术，能够让人在短时间内学到某一个领域的专业技能，所以很多学生都是采用背诵概念、临阵磨枪的方式来对待这种“既务虚又不实用”的课。而且，教科书体系化的理论哲学给人更多的印象是晦涩抽象。如果教师仅就哲学论哲学，难免会窒息了哲学的灵性，进而扼杀了学生的求知欲，禁锢了他们心灵的思考。②渗透数学思想。实际上，哲学教育应多多关注于对现实的关照，否则，高深的理论体系就没有存在的意义。如果教师在教学中能够结合高等数学中所蕴含的种种哲学思想进行列举，一定会获得良好的教学效果，因为：第一，这样给学生以新鲜感、惊艳感，将那些患有“人文逃避症”的理工科学生重新拉回课堂;第二，让学生切身感受到，哲学作为世界观和方法论，的确有它的意义和价值，纠正它留给大家的深奥难懂的错误印象。事实上，哲学作为人文学科不但同自然科学不矛盾，反而两者是紧密相连的;第三，让学生在对具体问题的探讨和分析中学会如何进行哲学式思考，如何使用哲学思维的方法。这才是我们教书育人的最终目的。
当然，还应该告诉学生，哲学从功利的角度上虽然不能提供即学即用的价值，但“它能够给人们提供一种终极精神关怀和精神目标，并在这种关怀中来培养人们的一种超越性的思维方式和生活境界。” [6]
2.2 在数学教学中渗透哲学的思想 ①高等数学教学现状。学习高等数学的都是刚入学的大一新生，初等数学与高等数学之间的巨大差别让他们不适应，再加上高等数学严密的逻辑性、高度的抽象性使这门课更显得枯燥无趣。久而久之，大部分学生逐渐丧失了学习的动力、热情和目标。②渗透哲学思想。要想提高高等数学的教学效果，可以运用多种教学方法和手段，其中在课堂中充分解析和体现哲学思想无疑是最为精彩的一项，因为：第一，这样能使充满逻辑与理性的课堂兼具人文情怀，让有“数学焦虑症”的学生感受到远离科学的亲切，进而引起他们的共鸣，于无形之中减轻他们对数学的焦虑;第二，改变传统沉闷的课堂气氛，代以轻松愉快的氛围;第三，一些在数学范围内难以被学生理解的问题若换成哲学角度来解释，反而能起到意想不到的一点就透的效果[7];第四，让学生学会从多个角度、不同视角考虑问题;第五，当一个数学上的具体问题背后的哲学思想呈现出来时，学生就已经站在比原来更高的一个层次上，对问题的认识自然也就上升了一个层面。这种高屋建瓴的对问题的洞悉力和理解力所体现出的学生的科学素质，也正是我们孜孜以求的教育的目标。
参考文献：
[1]王翠英.马克思主义哲学原理[M].兰州：兰州大学出版社，2006：14-16.
[2]陶有德，王霞，路振国.哲学思想在高等数学中的体现及应用[J].高师理科学刊，2011，31(5)： 87-90.
[3]斯图尔特·夏皮罗.数学哲学：对数学的思考[M].上海：复旦大学出版社， 2009： 64-65.
[4]朱匀华. 数学分析的思想方法[M].广州：中山大学出版社， 2001： 6-14.
[5]王淑萍.哲学观点在高等数学中的应用[J].江苏教育学院学报：自然科学版，2006，23(4)：63-64.
[6]王翠英.马克思主义哲学原理[M].兰州：兰州大学出版社，2006：19-20.
[7]同济大学数学系.高等数学第六版[M].北京：高等教育出版社，2007：137-157.
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