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幂函数是什么意思有什么特性及性质

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  一般地以底数为自变量,幂为因变量,指数为常数的函数称为幂函数。那么你对幂函数了解多少呢?以下是由学习啦小编整理关于什么是幂函数,希望大家喜欢!

  幂函数的介绍

  例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1(注:y=x-1=1/x y=x0时x≠0)等都是幂函数。当α取非零的有理数时是比较容易理解的,而对于α取无理数时,初学者则不大容易理解了。因此,在初等函数里,我们不要求掌握指数为无理数的问题,只需接受它作为一个已知事实即可,因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。

  幂函数的性质

  幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.

  取正值

  当α>0时,幂函数y=xα有下列性质:

  a、图像都经过点(1,1)(0,0);

  b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数;

  c、在第一象限内,α>1时,导数值逐渐增大;α=1时,导数为常数;0<α<1时,导数值逐渐减小,趋近于0;

  取负值

  当α<0时,幂函数y=xα有下列性质:

  a、图像都通过点(1,1);

  b、图像在区间(0,+∞)上是减函数;(内容补充:若为X-2,易得到其为偶函数。利用对称性,对称轴是y轴,可得其图像在区间(-∞,0)上单调递增。其余偶函数亦是如此)

  c、在第一象限内,有两条渐近线(即坐标轴),自变量趋近0,函数值趋近+∞,自变量趋近+∞,函数值趋近0。

  取零

  当α=0时,幂函数y=xa有下列性质:

  a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点(0,1)。它的图像不是直线。(x=0时,函数值没意义)

  幂函数的特性

  对于α的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性:

  首先我们知道如果α=p/q,且p/q为既约分数(即p,q互质),q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号下(x的p次方),如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数α是负整数时,设α=-k,则y=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:

  α小于0时,x不等于0;

  α的分母为偶数时,x不小于0;

  α的分母为奇数时,x取R。

  幂函数的定义域和值域

  幂函数的一般形式是y=xⁿ,其中,n可为任何实数,但中学阶段仅研究n为有理数的情形,这时可表示为y=x^(m/k),其中m∈Z,k∈N*,且m,k互质。特别,当k=1时为整数指数幂。

  (1)当m,k都为正奇数时,如y=x,y=x³,y=x^(3/5)等,定义域、值域均为R,为奇函数;

  (2)当m为负奇数,k为正奇数时,如y=x^(-1)=1/x,y=x^(-3)=1/x³,y=x^(-3/5)等,定义域、值域均为{x∈R|x≠0},也就是(-∞,0)∪(0,+∞),为奇函数;

  (3)当m为正奇数,k为正偶数时,如y=x^(1/2),y=x^(3/4)等,定义域、值域均为[0,+∞),为非奇非偶函数;

  (4)当m为负奇数,k为正偶数时,如y=x^(-1/2),y=x^(-3/4)等,定义域、值域均为(0,+∞),为非奇非偶函数;

  (5)当m为正偶数,k为正奇数时,如y=x²,y=x^(2/3)等,定义域为R、值域为[0,+∞),为偶函数;

  (6)当m为负偶数,k为正奇数时,如y=x^(-2)=1/x²,y=x^(-2/3)等,定义域为{x∈R|x≠0},也就是(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(0,+∞),为偶函数。

  幂函数的特殊情况

  由于x大于0是对α的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在各象限的各自情况。可以看到:

  (1)所有的图像都通过(1,1)这点.(α≠0) α>0时 图象过点(

  特殊性(2):幂函数的单调区间

  特殊性(2):幂函数的单调区间

  0,0)和(1,1)。

  (2)单调区间:

  当α为整数时,α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性:

  ①当α为正奇数时,图像在定义域为R内单调递增;

  ②当α为正偶数时,图像在定义域为第二象限内单调递减,在第一象限内单调递增;

  ③当α为负奇数时,图像在第一三象限各象限内单调递减(但不能

  幂函数的单调区间(当a为分数时)

  幂函数的单调区间(当a为分数时)

  说在定义域R内单调递减);

  ④当α为负偶数时,图像在第二象限上单调递增,在第一象限内单调递减。

  当α为分数时,α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性:

  ①当α>0,分母为偶数时,函数在第一象限内单调递增;

  ②当α>0,分母为奇数时,函数在第一、三象限各象限内单调递增;

  ③当α<0,分母为偶数时,函数在第一象限内单调递减;

  ④当α<0,分母为奇数时,函数在第一、三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减);

  (3)当α>1时,幂函数图形下凹(竖抛);

  当0<α<1时,幂函数图形上凸(横抛)。

  当α<0时,图像为双曲线。

  (4)在(0,1)上,幂函数中α越大,函数图像越靠近x轴;在(1,﹢∞)上幂函数中α越大,函数图像越远离x轴。

  (5)当α<0时,α越小,图形倾斜程度越大。

  (6)显然幂函数无界限。

  (7)α=2n(n为整数),该函数为偶函数 {x|x≠0}。


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