辽宁省沈阳市高考理科数学一模试卷(2)
辽宁省沈阳市高考理科数学一模试卷解答题
(满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.)
17.(12分)(沈阳一模)已知函数f(x)=2sinxsin(x+ ).
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)当x∈[0， ]时，求f(x)的值域.
【考点】： 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法.
【专题】： 计算题;三角函数的求值;三角函数的图像与性质.
【分析】： (1)运用两角和差公式和二倍角公式，化简整理，再由周期公式和正弦函数的单调增区间，即可得到;
(2)由x的范围，可得2x﹣ 的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到值域.
【解析】： 解：(1)f(x)=2sinxsin(x+ )
=2sinx( sinx+ cosx)= sin2x+sinxcosx
= + sin2x= +sin(2x﹣ )
则函数f(x)的最小正周期T= =π，
由2k ≤2kπ+ ，k∈Z，
解得，kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，
则f(x)的单调递增区间为[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z;
(2)当x∈[0， ]时，2x﹣ ∈[﹣ ， ]，
sin(2x﹣ )∈[﹣ ，1]，
则f(x)的值域为[0，1+ ].
【点评】： 本题考查三角函数的化简和求值，考查二倍角公式和两角和差的正弦公式，考查正弦函数的单调性和值域，考查运算能力，属于基础题.
18.(12分)(沈阳一模)如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=λa(0<λ≤1).
(Ⅰ)求证：对任意的λ=(0，1]，都有AC⊥BE;
(Ⅱ)若二面角C﹣BE﹣A的大小为120°，求实数λ的值.
【考点】： 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质;向量的数量积判断向量的共线与垂直.
【专题】： 空间位置关系与距离;空间角.
【分析】： (I)以D为原点，DA，DC，DS为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能证明AC⊥BE恒成立.
(II)求出平面ABE的一个法向量和平面BCE的一个法向量，利用向量法能求出λ=1.
【解析】： (I)证明：以D为原点，DA，DC，DS为x，y，z轴，
如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，
则A(a，0，0)，B(a，a，0)，
C(0，a，0)，D(0，0，0)，E(0，0，λa)， ，…(3分)
∴ 对任意λ∈(0，1]都成立，
即AC⊥BE恒成立.…(5分)
(II)解：设平面ABE的一个法向量为 ，
∵ ，
∴ ，
取z1=1，则x1=λ， .…(7分)
设平面BCE的一个法向量为 ，
∵n=3n+1，∴ ，
取z2=1，则y2=λ， ，…(9分)
∵二面角C﹣AE﹣D的大小为120°，
∴ ，
∴λ=1为所求.…(12分)
【点评】： 本题考查异面直线垂直的证明，考查使得二面角为120°的实数值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用.
19.(12分)(衡阳二模)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖，甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为 ，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖;否则，该节目不能获一等奖.
(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率;
(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望.
【考点】： 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.
【专题】： 概率与统计.
【分析】： (1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”为事件A，则事件A包含该节目可以获2张“获奖票”或该节目可以获3张“获奖票”，由此能求出某节目的投票结果是最终获一等奖的概率.
(2)所含“获奖”和“待定”票数之和X的值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望.
【解析】： 解：(1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”为事件A，
则事件A包含该节目可以获2张“获奖票”或该节目可以获3张“获奖票”，
∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为 ，
且三人投票相互没有影响，
∴某节目的投票结果是最终获一等奖的概率：
P(A)= = .
(2)所含“获奖”和“待定”票数之和X的值为0，1，2，3，
P(X=0)= = ，
P(X=1)= = ，
P(X=2)= = ，
P(X=3)= = ，
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
E(X)= =2.
【点评】： 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题.
20.(12分)(沈阳一模)如图所示，椭圆C： + =1(a>b>0)，其中e= ，焦距为2，过点M(4，0)的直线l与椭圆C交于点A、B，点B在AM之间.又点A，B的中点横坐标为 ，且 =λ .
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)求实数λ的值.
【考点】： 椭圆的简单性质.
【专题】： 计算题;平面向量及应用;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】： (I)运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程;
(II)运用向量共线的知识，设出直线l的方程，联立椭圆方程，消去y，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，计算得到A，B的横坐标，即可得到所求值.
【解析】： 解：(I)由条件可知，c=1，a=2，
故b2=a2﹣c2=3，
椭圆的标准方程是 .
(II)由 ，可知A，B，M三点共线，
设点A(x1，y1)，点B(x2，y2).
若直线AB⊥x轴，则x1=x2=4，不合题意.
当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k(x﹣4).
由 消去y得，(3+4k2)x2﹣32k2x+64k2﹣12=0.①
由①的判别式△=322k4﹣4(4k2+3)(64k2﹣12)=144(1﹣4k2)>0，
解得 ，. ，
由 = = ，可得 ，即有 .
将 代入方程①，得7x2﹣8x﹣8=0，
则x1= ，x2= .
又因为 ， ， ，
所以 .
【点评】： 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题.
21.(12分)(沈阳一模)已知函数f(x)=alnx(a>0)，e为自然对数的底数.
(Ⅰ)过点A(2，f(2))的切线斜率为2，求实数a的值;
(Ⅱ)当x>0.时，求证：f(x)≥a(1﹣ );
(Ⅲ)在区间(1，e)上e ﹣e <0恒成立，求实数a的取值范围.
【考点】： 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【专题】： 导数的综合应用.
【分析】： (Ⅰ)求函数的导数，根据导数的几何意义即可求实数a的值;
(Ⅱ)求函数的导数，利用导数法即可证明表达式;
(Ⅲ)利用导数和函数最值之间的关系即可求解.
【解析】： 解：(I) ， ，a=4.…(2分)
(Ⅱ)令 .…(4分)
令g'(x)>0，即 ，解得x>1，
所以g(x)在(0，1)上递减，在(1，+∞)上递增.
所以g(x)最小值为g(1)=0，所以 .…(6分)
(Ⅲ) 由题意可知 ，化简得 ，a> .…(8分)
令h(x)= ，则h′(x)= ，
∴ .…(9分)
由(Ⅱ)知，在x∈(1，e)上，lnx﹣1+ >0，
∴h′(x)>0，即函数h(x)在(1，e)上单调递增，
∴h(x)
∴a≥e﹣1.…(12分)
【点评】： 本题主要考查导数的综合应用，考查导数的几何意义以及导数和不等式之间的关系，考查学生的运算和推理能力.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致.【选修4-1：几何证明选讲】
22.(10分)(沈阳一模)如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG.
(Ⅰ)求证：C是劣弧BD的中点;
(Ⅱ)求证：BF=FG.
【考点】： 与圆有关的比例线段.
【专题】： 计算题.
【分析】： (I)要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明∠CAB=∠DAC，根据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，我们易根据同角的余角相等，得到结论.
(II)由已知及(I)的结论，我们易证明△BFC及△GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论.
【解析】： 解：(I)∵CF=FG
∴∠CGF=∠FCG
∴AB圆O的直径
∴
∵CE⊥AB
∴
∵
∴∠CBA=∠ACE
∵∠CGF=∠DGA
∴
∴∠CAB=∠DAC
∴C为劣弧BD的中点(5分)
(II)∵
∴∠GBC=∠FCB
∴CF=FB
同理可证：CF=GF
∴BF=FG(10分)
【点评】： 本题考查的知识点圆周角定理及其推理，同(等)角的余角相等，其中根据AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解答本题的关键.
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23.(沈阳一模)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 (θ为参数)，直线l经过点P(1，2)，倾斜角α= .
(Ⅰ)写出圆C的标准方程和直线l的参数方程;
(Ⅱ)设直线l与圆C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值.
【考点】： 参数方程化成普通方程.
【专题】： 坐标系和参数方程.
【分析】： (Ⅰ)利用同角的三角函数的平方关系消去θ，得到圆的普通方程，再由直线过定点和倾斜角确定直线的参数方程;
(Ⅱ)把直线方程代入圆的方程，得到关于t的方程，利用根与系数的关系得到所求.
【解析】： 解：(I)消去θ，得圆的标准方程为2+y2=16.…(2分)
直线l的参数方程为 ，即 (t为参数) …(5分)
(Ⅱ)把直线的方程 代入x2+y2=16，
得(1+ t)2+(2+ t)2=16，即t2+(2+ )t﹣11=0，…(8分)
所以t1t2=﹣11，即|PA|•|PB|=11. …(10分)
【点评】： 本题考查了圆的参数方程化为普通方程、直线的参数方程以及直线与圆的位置关系问题，属于基础题.
【选修4-5：不等式选讲】
24.(沈阳一模)设函数f(x)=|2x+1|﹣|x﹣4|.
(1)解不等式f(x)>0;
(2)若f(x)+3|x﹣4|>m对一切实数x均成立，求m的取值范围.
【考点】： 绝对值不等式的解法;函数最值的应用.
【专题】： 计算题;压轴题;分类讨论.
【分析】： (1)分类讨论，当x≥4时，当 时，当 时，分别求出不等式的解集，再把解集取交集.
(2)利用绝对值的性质，求出f(x)+3|x﹣4|的最小值为9，故m<9.
【解析】： 解：(1)当x≥4时f(x)=2x+1﹣(x﹣4)=x+5>0得 x>﹣5，所以，x≥4时，不等式成立.
当 时，f(x)=2x+1+x﹣4=3x﹣3>0，得x>1，所以，1
当 时，f(x)=﹣x﹣5>0，得x<﹣5，所以，x<﹣5成立
综上，原不等式的解集为：{x|x>1或x<﹣5}.
(2)f(x)+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣(2x﹣8)|=9，当 ，
所以，f(x)+3|x﹣4|的最小值为9，故 m<9.
【点评】： 本题考查绝对值不等式的解法，求函数的最小值的方法，绝对值不等式的性质，体现了分类讨论的数学思想.
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