山东省高考数学一模试卷及答案(2)

　　【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

　　【分析】画正态曲线图，由对称性得c﹣1与c+1的中点是2，由中点坐标公式得到c的值.

　　【解答】解：∵N(2，32)⇒ ，

　　，

　　∴ ，

　　解得c=2，

　　故答案为：2.

　　【点评】本题考查正态分布，正态曲线有两个特点：(1)正态曲线关于直线x=μ对称;(2)在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1.

　　13.现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为　 　.

　　【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.

　　【分析】设球半径为R，正方体边长为a，求出当正方体体积最大时对应的球半径，由此能求出结果.

　　【解答】解：设球半径为R，正方体边长为a，

　　由题意得当正方体体积最大时：

　　，∴ ，

　　∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为：

　　.

　　故答案为： .

　　【点评】本题考查工件体积与原料体积之比的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.

　　14.有下列各式： ， ， ，…则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：　 (n∈N*)　.

　　【考点】归纳推理.

　　【分析】观察各式左边为 的和的形式，项数分别为：3，7，15，故可猜想第n个式子中应有2n+1﹣1项，

　　不等式右侧分别写成 ， ， 故猜想第n个式子中应为 ，由此可写出一般的式子.

　　【解答】解：观察各式左边为 的和的形式，项数分别为：3，7，15，故可猜想第n个式子中应有2n+1﹣1项，

　　不等式右侧分别写成 ， ， 故猜想第n个式子中应为 ，

　　按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：

　　故答案为：

　　【点评】本题考查归纳推理、考查观察、分析、解决问题的能力.

　　15.在 ，点M是△ABC外一点，BM=2CM=2，则AM的最大值与最小值的差为　2　.

　　【考点】平面向量数量积的运算.

　　【分析】取边BC的中点为O，把( + )• =0转化为 • =0，得出 ⊥ ，△ABC为等边三角形，以O为坐标原点，以BC边所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，利用坐标表示得出AM的解析式，求出它的最大值与最小值即可.

　　【解答】解：取边BC的中点为O，则 = ( + )，

　　又( + )• =0，∴ • =0，

　　∴ ⊥ ，∴△ABC为等腰三角形，

　　又∠A= ，∴△ABC为等边三角形，

　　以O为坐标原点，以BC边所在的直线为x轴，

　　建立平面直角坐标系如图所示;

　　并设BC=2a(

　　则A(0， a)，B(﹣a，0)，C(a，0)，

　　又BM=CM=2，

　　所以(x+a)2+y2=4

　　(x﹣a)2+y2=1，

　　所以解方程组 得： 或 ，

　　所以当 时

　　=

　　=

　　= ，

　　令a2﹣ =cosθ，

　　则AM= = ，

　　所以当θ= 时(AM)min=1，

　　同理当 时，

　　AM= = = ，

　　所以当θ= 时(AM)max=3;

　　综上可知：AM的取值范围是[1，3]，

　　AM的最大值与最小值的差是2.

　　故答案为：2.

　　【点评】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，也考查了数形结合与逻辑推理以及计算能力的应用问题，是难题.

　　三、解答题：本大题共6小题，共75分.

　　16.(12分)(2017•日照一模)已知函数f(x)= sin2x﹣2cos2x﹣1，x∈R.

　　(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和最小值;

　　(Ⅱ)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c= ，f(C)=0，sinB=2sinA，求a，b的值.

　　【考点】余弦定理;两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法.

　　【分析】(Ⅰ)f(x)解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出函数f(x)的最小正周期，利用正弦函数的值域确定出f(x)最小值即可;

　　(Ⅱ)由f(C)=0及第一问化简得到的解析式，求出C的度数，利用正弦定理化简sinB=2sinA，得到b=2a，利用余弦定理列出关系式，把c，b=2a，cosC的值代入即可求出a与b的值.

　　【解答】解：(Ⅰ)f(x)= sin2x﹣(cos2x+1)﹣1= sin2x﹣cos2x﹣2=2sin(2x﹣ )﹣2，

　　∵ω=2，﹣1≤sin(2x﹣ )≤1，

　　∴f(x)的最小正周期T=π;最小值为﹣4;

　　(Ⅱ)∵f(C)=2sin(2C﹣ )﹣2=0，

　　∴sin(2C﹣ )=1，

　　∵C∈(0，π)，∴2C﹣ ∈(﹣ ， )，

　　∴2C﹣ = ，即C= ，

　　将sinB=2sinA，利用正弦定理化简得：b=2a，

　　由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+4a2﹣2a2=3a2，

　　把c= 代入得：a=1，b=2.

　　【点评】此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.

　　17.(12分)(2017•日照一模)一袋中有7个大小相同的小球，其中有2个红球，3个黄球，2个蓝球，从中任取3个小球.

　　(I)求红、黄、蓝三种颜色的小球各取1个的概率;

　　(II)设X表示取到的蓝色小球的个数，求X的分布列和数学期望.

　　【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.

　　【分析】(Ⅰ)利用P= 即可得出.

　　(II)X可能取0，1，2.P(X=k)= ，即可得出分布列与数学期望.

　　【解答】解：(Ⅰ)P= = .

　　(II)X可能取0，1，2.P(X=k)= ，可得P(X=0)= ，P(X=1)= ，P(X=2)= .

　　X的分布列

　　X 0 1 2

　　P

　　EX=0+ +2× = .

　　【点评】本题考查了超几何分布列的概率计算公式、数学期望，考查了推理能力与计算能力了，属于中档题.

　　18.(12分)(2017•日照一模)如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且FD= .

　　(I)求证：EF∥平面ABCD;

　　(Ⅱ)若∠CBA=60°，求二面角A﹣FB﹣E的余弦值.

　　【考点】二面角的平面角及求法.

　　【分析】(I)根据线面平行的判定定理即可证明EF∥平面ABCD;

　　(Ⅱ)，建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角A﹣FB﹣E的余弦值.

　　【解答】解：(Ⅰ)如图，过点E 作 EH⊥BC于H，连接HD，

　　∴EH= .

　　∵平面ABCD⊥平面BCE，EH⊂平面BCE，

　　平面ABD∩平面BCE=BC，

　　∴EH⊥平面ABCD，

　　又∵FD⊥平面ABCD，FD= ，

　　∴FD∥EH.FD=EH

　　∴四边形EHDF 为平行四边形.

　　∴EF∥HD

　　∵EF⊄平面ABCD，HD⊂平面ABCD，

　　∴EF∥平面ABCD

　　(Ⅱ)连接HA 由(Ⅰ)，得H 为BC 中点，

　　又∠CBA=60°，△ABC 为等边三角形，

　　∴AH⊥BC，

　　分别以HB，HA，HE 为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H﹣xyz.

　　则 B(1，0，0)，F(﹣2， ， )，E(0，0， )，A(0， ，0)

　　=(﹣3， ， )， =(﹣1， ，0)， =(﹣1，0， )，

　　设平面EBF 的法向量为 =(x，y，z).

　　由 得

　　令z=1，得 =( ，2，1).

　　设平面ABF的法向量为 =(x，y，z).

　　由 得

　　令y=1，得 =( ，1，2)

　　cos< ， >= = = = ，

　　∵二面角A﹣FB﹣E是钝二面角，

　　∴二面角A﹣FB﹣E的余弦值是﹣ .

　　【点评】本题综合考查空间中线线、线面的位置关系和空间中角的计算，涉及二面角的平面角，传统方法和坐标向量法均可，考查的知识面较广，难度中等.

　　19.(12分)(2017•安徽模拟)已知数列{an}满足a1=1，an+1=1﹣ ，其中n∈N*.

　　(Ⅰ)设bn= ，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式an;

　　(Ⅱ)设Cn= ，数列{CnCn+2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn< 对于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由.

　　【考点】数列递推式;数列与不等式的综合.

　　【分析】(Ⅰ)利用递推公式即可得出bn+1﹣bn为一个常数，从而证明数列{bn}是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得到bn，进而得到an;

　　(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，利用“裂项求和”即可得到Tn，要使得Tn< 对于n∈N*恒成立，只要 ，即 ，解出即可.

　　【解答】(Ⅰ)证明：∵bn+1﹣bn= =

　　= =2，

　　∴数列{bn}是公差为2的等差数列，

　　又 =2，∴bn=2+(n﹣1)×2=2n.

　　∴2n= ，解得 .

　　(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可得 ，

　　∴cncn+2= = ，

　　∴数列{CnCn+2}的前n项和为Tn= … +

　　=2 <3.

　　要使得Tn< 对于n∈N*恒成立，只要 ，即 ，

　　解得m≥3或m≤﹣4，

　　而m>0，故最小值为3.

　　【点评】正确理解递推公式的含义，熟练掌握等差数列的通项公式、“裂项求和”、等价转化等方法是解题的关键.

　　20.(13分)(2017•日照一模)已知左、右焦点分别为F1(﹣c，0)，F2(c，0)的椭圆 过点 ，且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点.

　　(I)求椭圆C的离心率和标准方程.

　　(II)圆 与椭圆C交于A，B两点，R为线段AB上任一点，直线F1R交椭圆C于P，Q两点，若AB为圆P1的直径，且直线F1R的斜率大于1，求|PF1||QF1|的取值范围.

　　【考点】圆锥曲线的范围问题;椭圆的简单性质;圆与圆锥曲线的综合;直线与椭圆的位置关系.

　　【分析】(Ⅰ)利用椭圆C过点 ，∵椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，推出a=2c，然后求解椭圆C的离心率，标准方程.

　　(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用中点坐标公式以及平方差法求出AB的斜率，得到直线AB的方程，代入椭圆C的方程求出点的坐标，设F1R：y=k(x+1)，联立 ，设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，利用韦达定理，结合 ， ，化简|PF1||QF1|，通过 ，求解|PF1||QF1|的取值范围.

　　【解答】(本小题满分13分)

　　(Ⅰ)解：∵椭圆C过点 ，∴ ，①

　　∵椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，∴a=2c，

　　∵a2=b2+c2，∴ ，②

　　由①②得a2=4，b2=3，a=2，c=1，

　　∴椭圆C的离心率 ，标准方程为 .…

　　(Ⅱ)因为AB为圆P1的直径，所以点P1 为线段AB的中点，

　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则， ，又 ，

　　所以 ，则(x1﹣x2)﹣(y1﹣y2)=0，故 ，则直线AB的方程为 ，即 .…(8分)

　　代入椭圆C的方程并整理得 ，

　　则 ，故直线F1R的斜率 .

　　设F1R：y=k(x+1)，由 ，得(3+4k2)x2+8k2x+4k2﹣12=0，

　　设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则有 ， .

　　又 ， ，

　　所以|PF1||QF1|=(1+k2)|x3x4+(x3+x4)+1|= ，

　　因为 ，所以 ，

　　即|PF1||QF1|的取值范围是 .…(13分)

　　【点评】本题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及平方差法的应用，考查分析问题解决问题的能力.

　　21.(14分)(2017•日照一模)设f(x)=xex(e为自然对数的底数)，g(x)=(x+1)2.

　　(I)记 ，讨论函F(x)单调性;

　　(II)令G(x)=af(x)+g(x)(a∈R)，若函数G(x)有两个零点.

　　(i)求参数a的取值范围;

　　(ii)设x1，x2是G(x)的两个零点，证明x1+x2+2<0.

　　【考点】利用导数研究函数的单调性;根的存在性及根的个数判断.

　　【分析】(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可;

　　(Ⅱ)(i)求出函数的导数，通过讨论a的范围，根据函数的零点的个数，求出a的范围即可;

　　(ii)根据a的范围，得到 = =﹣ ，令m>0，得到F (=1+m)﹣F(﹣1﹣m)= ( e2m+1)，再令φ(m)= e2m+1，根据函数的单调性证明即可.

　　【解答】解：(Ⅰ)F(x)= = ，(x≠﹣1)，

　　F′(x)= = ，

　　∴x∈(﹣∞，﹣1)时，F′(x)<0，F(x)递减，

　　x∈(﹣1，+∞)时，F′(x)>0，F(x)递增;

　　(Ⅱ)由已知，G(x)=af(x)+g(x)=axex+(x+1)2，

　　G′(x)=a(x+1)ex+2(x+1)=(x+1)(aex+2)，

　　(i)①a=0时，G(x)=(x+1)2，有唯一零点﹣1，

　　②a>0时，aex+2>0，

　　∴x∈(﹣∞，﹣1)时，G′(x)<0，G(x)递减，

　　x∈(﹣1，+∞)时，G′(x)>0，G(x)递增，

　　∴G(x)极小值=G(﹣1)=﹣ <0，

　　∵G(0)=1>0，∴x∈(﹣1，+∞)时，G(x)有唯一零点，

　　x<﹣1时，ax<0，则ex< ，∴axex> ，

　　∴G(x)> +(x+1)2=x2+(2+ )x+1，

　　∵△= ﹣4×1×1= + >0，

　　∴∃t1，t2，且t1

　　使得x2+(2+ )x+1>0，

　　取x0∈(﹣∞，﹣1)，则G(x0)>0，则x∈(﹣∞，﹣1)时，G(x)有唯一零点，

　　即a>0时，函数G(x)有2个零点;

　　③a<0时，G′(x)=a(x+1)(ex﹣(﹣ ))，

　　由G′(x)=0，得x=﹣1或x=ln(﹣ )，

　　若﹣1=ln(﹣ )，即a=﹣2e时，G′(x)≤0，G(x)递减，至多1个零点;

　　若﹣1>ln(﹣ )，即a<﹣2e时，G′(x)=a(x+1)(ex﹣(﹣ ))，

　　注意到y=x+1，y=ex+ 都是增函数，

　　∴x∈(﹣∞，ln(﹣ ))时，G′(x)<0，G(x)是减函数，

　　x∈(ln(﹣ )，﹣1)时，G′(x)>0，G(x)递增，

　　x∈(﹣1，+∞)时，G′(x)<0，G(x)递减，

　　∵G(x)极小值=G(ln(﹣ ))=ln2(﹣ )+1>0，

　　∴G(x)至多1个零点;

　　若﹣1﹣2e时，

　　x∈(﹣∞，﹣1)时，G′(x)<0，G(x)是减函数，

　　x∈(﹣1，ln(﹣ ))时，G′(x)>0，G(x)递增，

　　x∈(ln(﹣ )，+∞)时，G′(x)<0，G(x)递减，

　　∵G(x)极小值=G(﹣1)=﹣ >0，

　　∴G(x)至多1个零点;

　　综上，若函数G(x)有2个零点，

　　则参数a的范围是(0，+∞);

　　(ii)由(i)得：函数G(x)有2个零点，则参数a的范围是(0，+∞)，

　　x1，x2是G(x)的两个零点，则有：

　　，即 ，即 = =﹣ ，

　　∵F(x)= ，则F(x1)=F(x2)<0，且x1<0，x1≠﹣1，x2<0，x2≠﹣1，x1≠x2，

　　由(Ⅰ)知，当x∈(﹣∞，﹣1)时，F(x)是减函数，x∈(﹣1，+∞)时，F(x)是增函数，

　　令m>0，F (=1+m)﹣F(﹣1﹣m)= ( e2m+1)，

　　再令φ(m)= e2m+1=e2m﹣ ﹣1，

　　则φ′(m)= >0，

　　∴φ(m)>φ(0)=0，又 >0，

　　m>0时，F(﹣1+m)﹣F(﹣1﹣m)>0恒成立，

　　即F(﹣1+m)>F(﹣1﹣m)恒成立，

　　令m=﹣1﹣x1>0，即x1<﹣1，有F(﹣1+(﹣1﹣x1))>F(﹣1﹣(﹣1﹣x1))，

　　即F(﹣2﹣x1)>F(x1)=F(x2)，

　　∵x1<﹣1，∴﹣2﹣x1>﹣1，又F(x1)=F(x2)，必有x2>﹣1

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