2017学年九年级数学上期末试卷
金钱损失了还能挽回，一旦失去时间就很难挽回，要珍惜时间做九年级数学期末试卷题。以下是学习啦小编为你整理的2017学年九年级数学上期末试卷，希望对大家有帮助!
2017学年九年级数学上期末试题
一、选择题
1.下面图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列方程中有实数根的是( )
A.x2+2x+3=0 B.x2+1=0 C.x2+3x+1=0 D.
3.如图，AB与⊙O相切于点A，BO与⊙O相交于点C，点D是优弧AC上一点，∠CDA=27°，则∠B的大小是( )
A.27° B.34° C.36° D.54°
4.如图，矩形OABC上，点A、C分别在x、y轴上，点B在反比例y= 位于第二象限的图象上，矩形面积为6，则k的值是( )
A.3 B.6 C.﹣3 D.﹣6
5.如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、S1、S2，若S=2，则S1+S2=( )
A.4 B.6 C.8 D.不能确定
6.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x=2，下列结论：(1)4a+b=0;(2)9a+c>3b;(3)8a+7b+2c>0;(4)若点A(﹣3，y1)、点B(﹣ ，y2)、点C( ，y3)在该函数图象上，则y1
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
二、填空题
7.一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字小于3的概率是 .
8.已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两根为m，n，则m2﹣mn+n2= .
9.一个扇形的圆心角为60°，半径是10cm，则这个扇形的弧长是 cm.
10.将抛物线y=x2+1向下平移2个单位，向右平移3个单位，则此时抛物线的解析式是 .
11.如图，直线AA1∥BB1∥CC1，如果 ，AA1=2，CC1=6，那么线段BB1的长是 .
12.如图，A(4，0)，B(3，3)，以AO，AB为边作平行四边形OABC，则经过C点的反比例函数的解析式为 .
三、
13.(6分)解方程：
(1)x2﹣x=3
(2)(x+3)2=(1﹣2x)2.
14.(6分)如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上.
(1)若∠AOD=52°，求∠DEB的度数;
(2)若OC=3，OA=5，求AB的长.
15.(6分)已知函数y与x+1成反比例，且当x=﹣2时，y=﹣3.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)当 时，求y的值.
16.(6分)如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是 米.
17.(6分)某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元.
(1)求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率;
(2)根据(1)所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元.
四、
18.(8分)方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为(4，﹣1).
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标;
(2)作出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并求出C2所经过的路径长.
19.(8分)甲布袋中有三个红球，分别标有数字1，2，3;乙布袋中有三个白球，分别标有数字2，3，4.这些球除颜色和数字外完全相同.小亮从甲袋中随机摸出一个红球，小刚从乙袋中随机摸出一个白球.
(1)用画树状图(树形图)或列表的方法，求摸出的两个球上的数字之和为6的概率;
(2)小亮和小刚做游戏，规则是：若摸出的两个球上的数字之和为奇数，小亮胜;否则，小刚胜.你认为这个游戏公平吗?为什么?
20.(8分)如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.
(1)求证：AE•BC=BD•AC;
(2)如果S△ADE=3，S△BDE=2，DE=6，求BC的长.
21.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC边于边D，交AC边于点G，过D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点F，交AC于点E.
(1)求证：BD=CD;
(2)若AE=6，BF=4，求⊙O的半径.
22.(10分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax﹣a(a为常数)的图象与y轴相交于点A，与函数 的图象相交于点B(m，1).
(1)求点B的坐标及一次函数的解析式;
(2)若点P在y轴上，且△PAB为直角三角形，请直接写出点P的坐标.
23.(12分)如图，抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(﹣1，0)，C(0，2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在，直接写出P点的坐标;如果不存在，请说明理由;
(3)点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大?求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标.
2017学年九年级数学上期末试卷答案
一、选择题
1.下面图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【考点】中心对称图形.
【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，可求解.
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误;
B、不是中心对称图形，故此选项错误;
C、不是中心对称图形，故此选项错误;
D、是中心对称图形，故此选项正确;
故选：D.
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念，关键是找到对称中心.
2.下列方程中有实数根的是( )
A.x2+2x+3=0 B.x2+1=0 C.x2+3x+1=0 D.
【考点】根的判别式.
【分析】本题是根的判别式的应用试题，不解方程而又准确的判断出方程解的情况，那只有根的判别式.
当△>0时，方程有两个不相等的实数根;
当△=0时，方程有两个相等的实数根;
当△<0时，方程没有实数根.
【解答】解：由题意可知x2+2x+3=0
△=b2﹣4ac=4﹣12=﹣8<0，
所以没有是实数根;
同理x2+1=0的△=b2﹣4ac=0﹣4<0，
也没有实数根;
x2+3x+1=0的△=b2﹣4ac=9﹣4=5>0，
所以有实数根;
而最后一个去掉分母后x=1有实数根，但是使分式方程无意义，所以舍去.
故选C.
【点评】本题是对方程实数根的考查，求解时一要注意是否有实数根，二要注意有实数根时是否有意义.
3.如图，AB与⊙O相切于点A，BO与⊙O相交于点C，点D是优弧AC上一点，∠CDA=27°，则∠B的大小是( )
A.27° B.34° C.36° D.54°
【考点】切线的性质.
【分析】由切线的性质可知∠OAB=90°，由圆周角定理可知∠BOA=54°，根据直角三角形两锐角互余可知∠B=36°.
【解答】解：∵AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥BA.
∴∠OAB=90°.
∵∠CDA=27°，
∴∠BOA=54°.
∴∠B=90°﹣54°=36°.
故选：C.
【点评】本题主要考查的是切线的性质和圆周角定理，利用切线的性质和圆周角定理求得∠OAB=90°、∠BOA=54°是解题的关键.
4.如图，矩形OABC上，点A、C分别在x、y轴上，点B在反比例y= 位于第二象限的图象上，矩形面积为6，则k的值是( )
A.3 B.6 C.﹣3 D.﹣6
【考点】反比例函数系数k的几何意义.
【分析】由矩形OABC的面积结合反比例函数系数k的几何意义，即可得出含绝对值符号的关于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值，再根据反比例函数图象所在的象限即可确定k值.
【解答】解：∵点B在反比例y= 的图象上，
∴S矩形OABC=6=|k|，
∴k=±6.
∵反比例函数y= 的部分图象在第二象限，
∴k=﹣6.
故选D.
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是根据反比例函数系数k的几何意义找出含绝对值符号的关于k的一元一次方程.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由矩形的面积结合反比例函数系数k的几何意义求出反比例函数系数k是关键.
5.如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、S1、S2，若S=2，则S1+S2=( )
A.4 B.6 C.8 D.不能确定
【考点】平行四边形的性质;三角形中位线定理.
【分析】过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的面积，而△PBC面积=△CPQ面积+△PBQ面积，即为△PDC面积+△PAB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积.
【解答】解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，
∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，
∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，
∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，
∵EF为△PCB的中位线，
∴EF∥BC，EF= BC，
∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，
∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=2，
∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=8.
故选：C.
【点评】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键.
6.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x=2，下列结论：(1)4a+b=0;(2)9a+c>3b;(3)8a+7b+2c>0;(4)若点A(﹣3，y1)、点B(﹣ ，y2)、点C( ，y3)在该函数图象上，则y1
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【分析】(1)正确.根据对称轴公式计算即可.
(2)错误，利用x=﹣3时，y<0，即可判断.
(3)正确.由图象可知抛物线经过(﹣1，0)和(5，0)，列出方程组求出a、b即可判断.
(4)错误.利用函数图象即可判断.
(5)正确.利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题.
【解答】解：(1)正确.∵﹣ =2，
∴4a+b=0.故正确.
(2)错误.∵x=﹣3时，y<0，
∴9a﹣3b+c<0，
∴9a+c<3b，故(2)错误.
(3)正确.由图象可知抛物线经过(﹣1，0)和(5，0)，
∴ 解得 ，
∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，
∵a<0，
∴8a+7b+2c>0，故(3)正确.
(4)错误，∵点A(﹣3，y1)、点B(﹣ ，y2)、点C( ，y3)，
∵ ﹣2= ，2﹣(﹣ )= ，
∴ <
∴点C离对称轴的距离近，
∴y3>y2，
∵a<0，﹣3<﹣ <2，
∴y1
∴y1
(5)正确.∵a<0，
∴(x+1)(x﹣5)=﹣3/a>0，
即(x+1)(x﹣5)>0，
故x<﹣1或x>5，故(5)正确.
∴正确的有三个，
故选B.
【点评】本题考查二次函数与系数关系，灵活掌握二次函数的性质是解决问题的关键，学会利用图象信息解决问题，属于中考常考题型.
二、填空题
7.一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字小于3的概率是 .
【考点】概率公式.
【分析】由于一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数可能为1、2、3、4、5、6，共有6种可能，小于3的点数有1、2，则根据概率公式可计算出骰子向上的一面点数小于3的概率.
【解答】解：掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数共有6种可能，而只有出现点数为1、2才小于3，
所以这个骰子向上的一面点数小于3的概率= = .
故答案为： .
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数.
8.已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两根为m，n，则m2﹣mn+n2= 25 .
【考点】根与系数的关系.
【分析】由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系求出m+n与mn的值，将所求式子利用完全平方公式变形后，代入计算即可求出值.
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两个根，
∴m+n=4，mn=﹣3，
则m2﹣mn+n2=(m+n)2﹣3mn=16+9=25.
故答案为：25.
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.
9.一个扇形的圆心角为60°，半径是10cm，则这个扇形的弧长是 cm.
【考点】弧长的计算.
【分析】弧长公式是l= ，代入就可以求出弧长.
【解答】解：弧长是： = cm.
【点评】本题考查的是扇形的弧长公式的运用，正确记忆弧长公式是解题的关键.
10.将抛物线y=x2+1向下平移2个单位，向右平移3个单位，则此时抛物线的解析式是 y=x2﹣6x+8 .
【考点】二次函数图象与几何变换.
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.
【解答】解：抛物线y=x2+1向下平移2个单位后的解析式为：y=x2+1﹣2=x2﹣1.
再向右平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=(x﹣3)2﹣1，即y=x2﹣6x+8.
故答案是：y=x2﹣6x+8.
【点评】本题考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.
11.如图，直线AA1∥BB1∥CC1，如果 ，AA1=2，CC1=6，那么线段BB1的长是 3 .
【考点】平行线分线段成比例.
【分析】过A1作AE∥AC，交BB1于D，交CC1于E，得出四边形ABDA1和四边形BCED是平行四边形，求出AA1=BD=CE=2，EC1=6﹣2=4， = = ，根据BB1∥CC1得出 = ，代入求出DB1=1即可.
【解答】解：如图：
过A1作AE∥AC，交BB1于D，交CC1于E，
∵直线AA1∥BB1∥CC1，
∴四边形ABDA1和四边形BCED是平行四边形，
∴AA1=2，CC1=6，
∴AA1=BD=CE=2，EC1=6﹣2=4， = = ，
∴∵BB1∥CC1，
∴ = ，
∴ = ，
∴DB1=1，
∴BB1=2+1=3，
故答案为：3.
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键.
12.如图，A(4，0)，B(3，3)，以AO，AB为边作平行四边形OABC，则经过C点的反比例函数的解析式为 y=﹣ .
【考点】待定系数法求反比例函数解析式;平行四边形的性质.
【分析】设经过C点的反比例函数的解析式是y= (k≠0)，设C(x，y).根据平行四边形的性质求出点C的坐标(﹣1，3).然后利用待定系数法求反比例函数的解析式.
【解答】解：设经过C点的反比例函数的解析式是y= (k≠0)，设C(x，y).
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC=OA;
∵A(4，0)，B(3，3)，
∴点C的纵坐标是y=3，|3﹣x|=4(x<0)，
∴x=﹣1，
∴C(﹣1，3).
∵点C在反比例函数y= (k≠0)的图象上，
∴3= ，
解得，k=﹣3，
∴经过C点的反比例函数的解析式是y=﹣ .
故答案为：y=﹣ .
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质(对边平行且相等)、利用待定系数法求反比例函数的解析式.解答反比例函数的解析式时，还借用了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上.
三、
13.解方程：
(1)x2﹣x=3
(2)(x+3)2=(1﹣2x)2.
【考点】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】(1)公式法求解可得;
(2)直接开平方法求解即可得.
【解答】解：(1)x2﹣x﹣3=0，
∵a=1，b=﹣1，c=﹣3，
∴△=1+12=13>0，
∴x= ，
∴ ， ;
(2)x+3=±(1﹣2x)，
即x+3=1﹣2x或x+3=2x﹣1，
解得： ，x2=4.
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键.
14.如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上.
(1)若∠AOD=52°，求∠DEB的度数;
(2)若OC=3，OA=5，求AB的长.
【考点】垂径定理;勾股定理;圆周角定理.
【分析】(1)根据垂径定理，得到 = ，再根据圆周角与圆心角的关系，得知∠E= ∠O，据此即可求出∠DEB的度数;
(2)由垂径定理可知，AB=2AC，在Rt△AOC中，OC=3，OA=5，由勾股定理求AC即可.
【解答】解：(1)∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，
∴ = ，∴∠DEB= ∠AOD= ×52°=26°;
(2)∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，
∴AC=BC，即AB=2AC，
在Rt△AOC中，AC= = =4，
则AB=2AC=8.
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理及圆周角定理.关键是由垂径定理得出相等的弧，相等的线段，由垂直关系得出直角三角形，运用勾股定理.
15.已知函数y与x+1成反比例，且当x=﹣2时，y=﹣3.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)当 时，求y的值.
【考点】待定系数法求反比例函数解析式.
【分析】(1)设出函数解析式，把相应的点代入即可;
(2)把自变量的取值代入(1)中所求的函数解析式即可.
【解答】解：(1)设 ，
把x=﹣2，y=﹣3代入得 .
解得：k=3.
∴ .
(2)把 代入解析式得： .
【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式，注意应用点在函数解析式上应适合这个函数解析式.
16.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是 8 米.
【考点】相似三角形的应用.
【分析】首先证明△ABP∽△CDP，可得 = ，再代入相应数据可得答案.
【解答】解：由题意可得：∠APE=∠CPE，
∴∠APB=∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∴△ABP∽△CDP，
∴ = ，
∵AB=2米，BP=3米，PD=12米，
∴ = ，
CD=8米，
故答案为：8.
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形对应边成比例.
17.某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元.
(1)求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率;
(2)根据(1)所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元.
【考点】一元二次方程的应用.
【分析】(1)一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，2014年要投入教育经费是2500(1+x)万元，在2014年的基础上再增长x，就是2015年的教育经费数额，即可列出方程求解.
(2)利用(1)中求得的增长率来求2016年该地区将投入教育经费.
【解答】解：设增长率为x，根据题意2014年为2500(1+x)万元，2015年为2500(1+x)2万元.
则2500(1+x)2=3025，
解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1(不合题意舍去).
答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%.
(2)3025×(1+10%)=3327.5(万元).
故根据(1)所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元.
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识.增长前的量×(1+年平均增长率)年数=增长后的量.
四、
18.方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为(4，﹣1).
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标;
(2)作出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并求出C2所经过的路径长.
【考点】作图-旋转变换;作图-轴对称变换.
【分析】(1)分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可，根据点在坐标系中的位置写出点坐标即可;
(2)分别作出各点绕点O逆时针旋转90°后得到的对称点，再顺次连接即可，根据弧长公式计算可得C2所经过的路径长.
【解答】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作三角形A1(﹣5，﹣4);
(2)如图，△A2B2C2即为所求作三角形，
∵OC2= = ，
∴C2所经过的路径 的长为 = π.
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换、旋转变换，作出各顶点轴对称变换和旋转变换的对应点是解答此题作图的关键.
19.甲布袋中有三个红球，分别标有数字1，2，3;乙布袋中有三个白球，分别标有数字2，3，4.这些球除颜色和数字外完全相同.小亮从甲袋中随机摸出一个红球，小刚从乙袋中随机摸出一个白球.
(1)用画树状图(树形图)或列表的方法，求摸出的两个球上的数字之和为6的概率;
(2)小亮和小刚做游戏，规则是：若摸出的两个球上的数字之和为奇数，小亮胜;否则，小刚胜.你认为这个游戏公平吗?为什么?
【考点】游戏公平性;列表法与树状图法.
【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等.
【解答】解：
(1)解法一：树状图
∴P(两个球上的数字之和为6)= .(2分)
解法二：列表
2 3 4
1 (1，2) (1，3) (1，4)
2 (2，2) (2，3) (2，4)
3 (3，2) (3，3) (3，4)
∴P(两个球上的数字之和为6)= .
(2)不公平.(1分)
∵P(小亮胜)= ，P(小刚胜)= .(2分)
∴P(小亮胜)≠P(小刚胜).
∴这个游戏不公平.(2分)
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
20.如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.
(1)求证：AE•BC=BD•AC;
(2)如果S△ADE=3，S△BDE=2，DE=6，求BC的长.
【考点】相似三角形的判定与性质.
【分析】(1)由BE平分∠ABC交AC于点E，ED∥BC，可证得BD=DE，△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AE•BC=BD•AC;
(2)根据三角形面积公式与S△ADE=3，S△BDE=2，可得AD：BD=3：2，然后由平行线分线段成比例定理，求得BC的长.
【解答】(1)证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE.…(1分)
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠CBE…(1分)
∴∠ABE=∠DEB.
∴BD=DE，…(1分)
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ …(1分)
∴ ，
∴AE•BC=BD•AC;…(1分)
(2)解：设△ABE中边AB上的高为h.
∴ ，…(2分)
∵DE∥BC，
∴ . …(1分)
∴ ，
∴BC=10. …(2分)
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及等腰三角形的判定与性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.
21.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC边于边D，交AC边于点G，过D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点F，交AC于点E.
(1)求证：BD=CD;
(2)若AE=6，BF=4，求⊙O的半径.
【考点】切线的性质;等腰三角形的性质.
【分析】(1)连接AD，根据等腰三角形三线合一即可证明.
(2)设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD，由△FOD∽△FAE，得 = 列出方程即可解决问题.
【解答】(1)证明：连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC.
(2)解：设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD、
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴△FOD∽△FAE，
∴ = ，
∴ = ，
整理得R2﹣R﹣12=0，
∴R=4或(﹣3舍弃).
∴⊙O的半径为4.
【点评】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型.
22.(10分)(2016•商丘三模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax﹣a(a为常数)的图象与y轴相交于点A，与函数 的图象相交于点B(m，1).
(1)求点B的坐标及一次函数的解析式;
(2)若点P在y轴上，且△PAB为直角三角形，请直接写出点P的坐标.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)由点在函数图象上，得到点的坐标满足函数解析式，利用待定系数法即可求得.
(2)分两种情况，一种是∠BPA=90°，另一种是∠PBA=90°，所以有两种答案.
【解答】解：(1)∵B在的图象上，
∴把B(m，1)代入y= 得m=2
∴B点的坐标为(2，1)
∵B(2，1)在直线y=ax﹣a(a为常数)上，
∴1=2a﹣a，
∴a=1
∴一次函数的解析式为y=x﹣1.
(2)过B点向y轴作垂线交y轴于P点.此时∠BPA=90°
∵B点的坐标为(2，1)
∴P点的坐标为(0，1)
当PB⊥AB时，
在Rt△P1AB中，PB=2，PA=2
∴AB=2
在等腰直角三角形PAB中，PB=PA=2
∴PA= =4
∴OP=4﹣1=3
∴P点的坐标为(0，3)
∴P点的坐标为(0，1)或(0，3).
【点评】主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法是常用的方法，结合图形去分析，体现数形结合思想的重要性.
23.(12分)(2016秋•余干县期末)如图，抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(﹣1，0)，C(0，2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在，直接写出P点的坐标;如果不存在，请说明理由;
(3)点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大?求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)把A(﹣1，0)，C(0，2)代入y=﹣ x2+bx+c列方程组即可.
(2)先求出CD的长，分两种情形①当CP=CD时，②当DC=DP时分别求解即可.
(3)求出直线BC的解析式，设E 则F ，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题.
【解答】解：(1)把A(﹣1，0)，C(0，2)代入y=﹣ x2+bx+c得 ，
解得 ，c=2，
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+2.
(2)存在.如图1中，∵C(0，2)，D( ，0)，
∴OC=2，OD= ，CD= =
①当CP=CD时，可得P1( ，4).
②当DC=DP时，可得P2( ， )，P3( ，﹣ )
综上所述，满足条件的P点的坐标为 或 或 .
(3)如图2中，
对于抛物线y=﹣ x2+ x+2，当y=0时，﹣ x2+ x+2=0，解得x1=4，x2=﹣1
∴B(4，0)，A(﹣1，0)，
由B(4，0)，C(0，2)得直线BC的解析式为y=﹣ x+2，
设E 则F ，
EF= ﹣ =
∴ <0，∴当m=2时，EF有最大值2，
此时E是BC中点，
∴当E运动到BC的中点时，△EBC面积最大，
∴△EBC最大面积= ×4×EF= ×4×2=4，此时E(2，1).
【点评】本题考查二次函数、一次函数的应用、最值问题.等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.
