2017届初三数学上册第一次月考试题及答案(2)
26.(本题满分10分)
解：(1)B(1，3)， (1分)
(2)如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，
在Rt△ABC和Rt△ADB中，
∵∠BAC=∠DAB，
∴Rt△ABC∽Rt△ADB，
∴D点为所求，
又tan∠ADB=tan∠ABC= ，
∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷ ，
∴OD=OC+CD=1+ = ，
∴D( ，0); (4分)
(3)这样的m存在.
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，
如图1，当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD，
则 = ，
解得m= ， (6分)
如图2，当PQ⊥AD时，△APQ∽△ADB，
则 = ，
解得m= . (9分)
故存在m的值是 或 时，使得△APQ与△ADB相似.(10分)
27、(本题满分12分)
解：(1)Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，
∴AB=10cm.
∵BP=t，AQ=2t，
∴AP=AB﹣BP=10﹣t.
∵PQ∥BC，
∴ = ，
∴ = ，
解得t= ; (2分)
(2)∵S四边形PQCB=S△ACB﹣S△APQ= AC•BC﹣ AP•AQ•sinA
∴y= ×6×8﹣ ×(10﹣2t)•2t•
=24﹣ t(10﹣2t)
= t2﹣8t+24，
即y关于t的函数关系式为y= t2﹣8t+24;(4分)
四边形PQCB面积能是△ABC面积的 ，理由如下：
由题意，得 t2﹣8t+24= ×24，
整理，得t2﹣10t+12=0，
解得t1=5﹣ ，t2=5+ (不合题意舍去).
故四边形PQCB面积能是△ABC面积的 ，此时t的值为5﹣ ;(6分)
(3)△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：
①如果AE=AQ，那么10﹣2t=2t，解得t= ; (8分)
②如果EA=EQ，那么(10﹣2t)× =t，解得t= ; (10分)
③如果QA=QE，那么2t× =5﹣t，解得t= .
故当t为 秒 秒 秒时，△AEQ为等腰三角形. (12分)
28.(本题满分12分)
解：(1)如图1，
∵PE⊥AC，
∴∠AEP=∠PEC=90°.
又∵∠EPF=∠ACB=90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴∠PFC=90°，
∴∠PFB=90°，
∴∠AEP=∠PFB.
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠FPB=∠B=45°，△AEP∽△PFB，
∴PF=BF， = ，
∴ = = ; (3分)
(2)(1)的结论不成立，理由如下：
连接PC，如图2.
∵ =1，
∴点P是AB的中点.
又 ∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴CP=AP= AB.∠ACP=∠BCP= ∠ACB=45°，CP⊥AB，
∴∠APE+∠CPE=90°.
∵∠CPF+∠CPE=90°，
∴∠APE=∠CPF.
在△APE和△CPF中，
∴△APE≌△CPF，
∴AE=CF，PE=PF.
故(1)中的结论 = 不成立; (6分)
(3)当△CEF的周长等于2+ 时，α的度数为75°或15°.
提示：在(2)的条件下，可得AE=CF(已证)，
∴EC+CF=EC+AE=AC=2.
∵EC+CF+EF=2+ ，
∴EF= .
设CF=x，则有CE=2﹣x，
在Rt△CEF中，根据勾股定理可得x2+(2﹣x)2=( )2，
整理得 ：3x2﹣6x+2=0，
解得：x1= ，x2= .
①若CF= ，如图3，
过点P作PH⊥BC于H，
易得PH=HB=CH=1，FH=1﹣ = ，
在Rt△PHF中，tan∠FPH= = ，
∴∠FPH=30°，
∴α=∠FPB=30+45°=75°; (9分)
②若CF= ，如图4，
过点P作PG⊥AC于G，
同理可得：∠APE=75°，
∴α=∠FPB=180°﹣∠APE﹣∠EPF=15°. (12分)
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