高三理科数学上学期期中试卷
把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，今天小编就给大家分享一下高三数学，欢迎阅读学习
高三数学上学期期中试卷理科
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ,则集合 且 为( )
A. B. C. D.
2. 若复数 满足 ,则 的虚部为( )
A. B. C. D.
3.三角形内，a>b是cosA
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 若 是 的一个内角,且 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
5. 两个非零向量 满足 则向量 与 夹角为( )
A. B. C. D.
6. 如果 位于第三象限,那么角 所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第一或三象限 D.第二或四象限
7. 函数 的图象可能是( )
A. B.
C. D.
8. 已知数列 满足: , ，设数列 的前 项和为 ,则 ( )
A.1007 B.1008 C.1009.5 D.1010
9. 在平面直角坐标系 中,角 与角 均以 为始边,它们的终边关于x轴对称,若 ,则 ( )
A. 或 B. 或 C. D.
10.已知函数 的图象向左平移 个单位后,得到函数 的图象,下列关于 的说法正确的是( )
A.图象关于点 中心对称 B.图象关于点 中心对称.
C.图象关于 轴对称 D.图象关于 轴对称
11. 已知函数 的图象关于点 对称,若函数 有四个零点 则 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
12. 已知 是定义在 上的单调递减函数, 是其导函数,若 ,则下列不等关系成立的是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上).
13. 已知 若 ,则实数 __________
14. __________
15. 在 中, ,其面积为 ,则 的取值范围是__________
16. 关于函数 ,有下列命题:
①由 可得 必是 的整数倍;
② 的表达式可改写为 ;
③ 的图象关于点 对称;
④ 的图象关于直线 对称.
其中不正确的命题的序号是__________.
三、解答题(本大题共6小题，满分共70分)
17.(本小题满分10分) 在 中,角 、 、 的对边分别为 、 、 ,向量 , ,且 .
(1)求锐角 的大小;
(2)若 ,求 面积的最大值.
19.(本小题满分12分)
某经销商计划经营一种商品,经市场调查发现,该商品每日的销售量 (单位:千克)与销售价格 (单位:元/千克, ),满足:当 时, ( 为常数);当 时, .已知当销售价格为 元/千克时,每日可售出该特产 千克;当销售价格为 元/千克时,每日可售出 千克.
(1)求 的值,并确定 关于 的函数解析式;
(2)若该商品的销售成本为 元/千克,试确定销售价格 的值,使店铺每日销售该特产所获利润 最大
20.(本小题满分12分)
设各项均为正数的数列 的前 项和为 ,满足 , 且 构成等比数列.
(1)求数列 的通项公式;
(2)若对一切正整数 都有 ,求实数 的最小值.
21.(本小题满分12分)
已知 .
(1)讨论 的单调性
(2)若 在 上有且仅有一个零点,求 的取值范围.
22.(本小题满分12分)
已知函数
(1)若 ,求曲线 在点 处的切线方程
(2)若 在 上恒成立,求实数 的取值范围
(3)若数列 的前 项和 , ,求证:数列 的前 项和
数 学 试 题 答 案(理科)
1--12 B DCBC CCDCB BA
13. -1 14. 15.(-1，0) 16. (1)(4)
17.解：(1)∵ ,∴ , +1分
∴ . +3分
又∵ 为锐角,∴ ,
∴ ,∴ . +5分
4. ∵ , ,
由余弦定理 ,得 . +7分
又 ,代入上式,得 ,
当且仅当 时等号成立. +9分
故 ,
当且仅当 时等号成立,
即 的最大值为 . +10分
+4分
+6分
+8分
+10分
+12分
19.解：(1)由题意: 时 ,
∴ ,
又∵ 时 ,
∴ ,可得 , +2分
∴ +4分
(2)由题意: +5分
当 时,
由 得 或 由 得
所以 在 上是增函数,在 上是减函数
因为 所以 时, 的最大值为 +8分
当 时,
当且仅当 ,即 时取等号,
∴ 时有最大值 . ∵ , +11分
∴当 时 有最大值 ,
即当销售价格为 元的值,使店铺所获利润最大. +12分
20.解：(1) 即
且
∴ ,
∴ ,
∵ ,∴ ,
∴当 时, 是公差为 的等差数列. +4分
∵ ,构成等比数列,
∴ ,解得 , +5分
又由已知,当 时, ,
∴ ∵ ,
∴ 是首项 ,公差 的等差数列.
∴数列 的通项公式 . +6分
(2)由(1)可得式
+10分
解得
∴ 的最小值为 +12分
21.解：(1)由已知 的定义域为 ,又 , +1分
当 时, 恒成立; +2分
当 时,令 得 ;令 得 . +4分
综上所述,当 时, 在 上为增函数;
当 时, 在 上为增函数,在 上为减函数. +5分
(2)由题意 ,则 , +6分
当 时,∵ , +7分
∴g在上为增函数,又 ,不符合题意.
当 时, , +8分
令 ,则 .
令 的两根分别为 且 ,
则∵ ,∴ ,
当 时, ,∴ ,∴ 在 上为增函数;
当 时, ,∴ ,∴ 在 上为减函数;
当 时, ,∴ ,∴ 在 上为增函数.
∵g=0,∴ 在上只有一个零点 1,且 >0, <0.
∴ ,
∴g在上必有一个零点.
∵ ,当 时,g<0,∴ .
∴ 在 上必有一个零点.
综上所述,a的取值范围为 +12分
22.解：(1)因为 ,所以 , ,切点为 .由 ,所以 ,所以曲线 在 处的切线方程为 ,即 +2分
(2)由 ,令 ,则 (当且仅当 取等号).故 在 上为增函数.
①当 时, ,故 在 上为增函数,所以 恒成立,故 符合题意;
②当 时,由于 , ,根据零点存在定理,必存在 ,使得 ,由于 在 上为增函数,故当 时, ,故 在 上为减函数, 所以当 时, ,故 在 上不恒成立,所以 不符合题意.综上所述,实数 的取值范围为 +6分
(3)证明:由 由2知当 时, ,故当 时, , 故 ,故 .下面证明:
因为
而,
所以, ,即: +12分
关于高三上学期数学期中试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知 则 等于( )
A. B. C. D.
2.命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
3.“ ”是“ ”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知函数y=f(x)，其导函数y=f′(x)的图像如图所示，则y=f(x)( )
A.在(-∞，0)上为减少的 B.在x=0处取极小值
C.在(4，+∞)上为减少的 D.在x=2处取极大值
5. ( )
A.0 B. C. D.1
6.下列求导运算正确的是( )
A.(cos x)′=sin x B.(ln 2x)′=1x C.(3x)′=3xlog3e D.(x2ex)′=2xex
7 .将函数y=sinx-π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为( )
A.y=sin 12x B.y=sin12x-π2 C.y=sin12x-π6 D.y=sin2x-π6
8.三次函数 的图象在点 处的切线与 轴平行，则 在区间 上的最小值是( )
A. B. C. D.
9.函数错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。)的图象可能为( )
A. B. C. D.
10.已知sin α+3cos α3cos α-sin α=5，则tanα的值是( )
A.25 B.2 C.-2 D.-25
11.已知错误!未找到引用源。是定义在错误!未找到引用源。上的奇函数，当错误!未找到引用源。时， 错误!未找到引用源。，则函数错误!未找到引用源。的零点的集合为( )
A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。
12. 对于函数错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。，若存在错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。，则称函数错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。互为“零点密切函数”，现已知函数错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。互为“零点密切函数”，则实数错误!未找到引用源。的取值范围是( )
A.[3,4] B.[1,2] C.[-1,3] D.[-3,1]
二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知sin(π-θ)=-23，且θ∈-π2，0，则tan(2π-θ)=
14.已知幂函数f(x)= ,若f(a+1)
15.设函数 ,则
16.如图，在 中， ，点 在线段 上，且 ， ，
则 的面积的最大值为 .
三.解答题：共70分。解答题应写出文字说明，证题过程或演算步骤。
17.(10分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时, f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.
(1)画出函数f(x)在y轴右侧的图象,并写出函数f(x)(x∈R)的解析式;
(2)若函数g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),当a>1时求函数g(x)的最小值.
18.(12分)已知函数f(x)=4cosωx•sinωx+π4 (ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)在区间0，π2上的单调增区间.
19.(12分)已知△ABC是斜三角形，内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c.若csin A=3acos C.
(1)求角C;
(2)若c=21，且sin C+sin(B-A)=5sin 2A，求△ABC的面积.
20. (12分)已知函数f(x)=-x3+12x+m.
(1)若x∈R，求函数f(x)的极大值与极小值之差;
(2)若函数y=f(x)有三个零点，求m的取值范围.
21.(12分)已知函数f(x)=ln x，g(x)=12ax+b.
(1)若f(x)与g(x)在x=1处相切，求g(x)的表达式;
(2)若φ(x)=m(x-1)x+1-f(x)在[1，+∞)上是减函数，求实数m的取值范围.
22.(12分)设函数 ， ，其中 .
(1)求 的单调区间;
(2)若 存在极值点 ，且 ，其中 ，求证： .
高三数学(理科)试卷参考答案
一.选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D A C B B C D D B D A
二.填空题：
13. 14. (3,5) 15. 7 16.
三.解答题：共70分。解答题应写出文字说明，证题过程或演算步骤。
17.(10分)
解：(1)若x>0,则-x<0,又函数f(x)是定义在R上的偶函数, ----( 补画图正确给3分)
且当x≤0时, f(x)=x2+2x,
∴f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0),
∴f(x)= --------5分
(3)g(x)=x2-2x-2ax+2,其图象的对称轴方程为x=a+1,
当a>1时，a+1>2，g(x)=x2-2x-2ax+2)在[1,2]上单调递减， ----------8分
g(x)在[1,2]上的最小值为g(2)=2-4a 。 ----------10分
18. (12分)
解：(1)f(x)=4cos ωx•sinωx+π4=22sin ωx•cos ωx+22cos2ωx
=2(sin 2ωx+cos 2ωx)+2=2sin2ωx+π4+2. ------4分
因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω=π，故ω=1. -----6分
(2)由(1)知，f(x)=2sin2x+π4+2.若0≤x≤π2，则π4≤2x+π4≤5π4. ------7分
当π4≤2x+π4≤π2，即0≤x≤π8时，f(x)单调递增;
综上可知，f(x)在区间0，π8上单调递增。 ------------ 12分
19.(12分)
解：(1)根据asin A=csin C，可得csin A=asin C， ----------2分
又因为csin A=3acos C，所以asin C=3acos C， ---------4分
所以sin C=3cos C，所以tan C=sin Ccos C=3，
因为C∈(0，π)，所以C=π3. ------------6分
(2)因为sin C+sin(B-A)=5sin 2A，sin C=sin(A+B)，
所以sin(A+B)+sin(B-A)=5sin 2A，
所以2sin Bcos A=5×2sin Acos A.
因为△ABC为斜三角形，所以cos A≠0，
所以sin B=5sin A. ----------8分
由正弦定理可知b=5a， ①
由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C，
所以21=a2+b2-2ab×12=a2+b2-ab， ②
由①②解得a=1，b=5， -----------10分
所以S△ABC=12absin C=12×1×5×32=534. ---------12分
20. (12分)
解：(1)f′(x)=-3x2+12.
当f′(x)=0时，x=-2或x=2.
当f′(x)>0时，-2
∴f(x)在(-∞，-2)，(2，+∞)上单调递减，在(-2,2)上单调递增.-------3分
∴f(x)极小值=f(-2)=-16+m. ，
f(x)极大值=f(2)=16+m.
∴f(x)极大值-f(x)极小值=32. ---------------6分
(2)由(1)知要使函数y=f(x)有三个零点，必须f(x)极小值<0，f(x)极大值>0，----------10分
即-16+m<0，16+m>0，∴-16
∴m的取值范围为(-16,16). --------------12分
21.(12分)
解：(1)由已知得f′(x)=1x，
所以f′(1)=1=12a，所以a=2. --------3分
又因为g(1)=0=12a+b，所以b=-1，
所以g(x)=x-1. --------6分
(2)因为φ(x)=m(x-1)x+1-f(x)=m(x-1)x+1-ln x在[1，+∞)上是减函数.
所以φ′(x)=-x2+(2m-2)x-1x(x+1)2≤0在[1，+∞)上恒成立. --------9分
即x2-(2m-2)x+1≥0在[1，+∞)上恒成立，
则2m-2≤x+1x，x∈[1，+∞)，
因为x+1x∈[2，+∞)，
所以2m-2≤2，m≤2.
故实数m的取值范围是(-∞，2]. ----------12分
22.(12分)
解：(1)由 ，可得 ，下面分两种情况讨论：
① 时，有 恒成立，所以 的单调递增区间为 .-----2分
②当 时，令 ，解得 或 .
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
0 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， .---6分
(2)证明：因为 存在极值点，所以由(1)知 且 .由题意，
得 ，即 ， -----7分
进而 ，
又 ，且 ， ---------10分
由题意及(1)知，存在唯一实数 满足 ，且 ，
因此 ，所以 . -------- 12分
上学期高三数学期中试卷理科
第I卷 (选择题, 共60分)
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案)
1. 已知集合 2， ， ，则
A. {-2,-1,0,1,2,3} B. {-2,-1,0,1,2}
C.{1,2,3} D. {1,2}
2.已知复数 (其中i是虚数单位),则 =( )
A. B. C. D.
3.在△ABC中,“ >0”是“△ABC为锐角三角形”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4设数列 是单调递增的等差数列， 且 ， ， 成等比数列，则 ( )
A.1009 B. 1011 C. 2018 D. 2019
5. ，，则 ( )
A. B. C. D.
6.函数 的最小正周期为 ，若其图象向左平移 个单位后得到的函数为奇函数，则 =
A. B. C. D.-
7.函数 的图象可能是( )
A. B. C. D.
8.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤”。其意思为“今有持金出五关，第1关收税金为持金的 ，第2关收税金为剩余金的 ，第3关收税金为剩余金的 ，第4关收税金为剩余金的 ，第5关收税金为剩余金的 ，5关所税金之和，恰好重1斤。”则在此问题中，第5关收税金为( )
A. 斤 B. 斤 C. 斤 D. 斤
9.设正实数 满足 则( )
A. B. C. D.
10.已知数列 为等差数列，若 ，且它们的前n项和 有最大值，则使得 的n的最大值为( )
A. 39 B.40 C.41 D.42
11.已知两个单位向量 ， ，且满足，存在向量 使 ，则 的最大值为
A. 2 B. C. D. 1
12.已知点 是曲线 上任意一点，记直线 ( 为坐标系原点)的斜率为 ，则( )
A.至少存在两个点 使得 B.对于任意点 都有
C.对于任意点 都有 D.至少存在两个点 使得
第Ⅱ卷 (非选择题, 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应的位置上)
13. 。
14.设向量 与 的夹角为 ， ，则 。
15.已知 若函数 只有一个零点，则 的取值范围是________。
16.设△ 的三边 所对的角分别为 .已知 ，则 的最大值为_____。
三.解答题(满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤)
17、(本小题满分12分)
已知在等差数列 中， 为其前 项和， ;等比数列 的前 项和 .
(I)求数列 ， 的通项公式;
(II)设 ,求数列 的前 项和 .
18、(本小题满分12分)
如图，在 中，点P在边BC上，， ， .
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若 的面积是，求 .
19、(本小题满分12分)
食品安全问题越来越引起人们的重视，农药，化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲，乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的的年收入P与投入 (单价：万元)满足 ，种黄瓜的年收入Q与投入 (单价：万元)满足 ,设甲大棚的投入为 (单价：万元)，每年两个大棚的总收益为 (单价：万元).
(Ⅰ)求 的值
(Ⅱ)试问如何安排甲，乙两个大棚的投入，才能使总收益 最大?
20、(本小题满分12分)
将射线y=17x(x≥0)绕着原点逆时针旋转π4后所得的射线经过点A(cos θ，sin θ).
(I)求点A的坐标;
(II)若向量 =(sin 2x，2cos θ)， =(3sin θ，2cos 2x)，求函数 在区间 上的单调性.
21、(本小题满分12分)
已知函数 .
(Ⅰ)当 时，求 的单调区间和极值;
(Ⅱ)若 ，且 ，证明： .
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22(本小题满分10分)
选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 .
(Ⅰ)求圆C的直角坐标方程;
(Ⅱ)设过点 且倾斜角为 的直线l与圆C交于A，B两点，且 ，求直线l的普通方程.
23(本小题满分10分)
4—5：不等式
已知函数 .
(Ⅰ)若 ,解不等式 ;
(Ⅱ)若不等式 对任意的实数 恒成立，求 的取值范围.
泉港一中、南安国光中学高三年段两校联考
2018-2019学年第一学期期中考试理科数学参考答案
一. 选择题：DCBBD BDCCA AC
二. 解答题:
13. 4 14.
15. 16.
三.解答题
17.解：(I)设等差数列 的首项为 公差为 ，
………………3分
且 满足上式， ……………6分
(II) …………8分
………… 分
18. Ⅰ 在 中，因为， ， ，
由余弦定理得，………………2分
所以 ，
整理得 ，
解得 .
所以 .
所以 是等边三角形.
所以. ………………6分
Ⅱ 法1：由于是 的外角，所以.
因为 的面积是，所以 .
所以 .…………8分
在 中，，
所以 .………………….10分
在 中，由正弦定理得 ，
所以 .………………12分
19.解：(Ⅰ)因为甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，
所以 .………………4分
(II) ，………………6分
依题意得 解得 ，
故 ( ). ………………7分
令 ， ………………8分
则 ，
当 ，即 时， ， ………………11分
所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元……12分
20.解：(Ⅰ)设射线y=17x(x≥0)与x轴的非负半轴所成的锐角为α，
则tan α=17，α∈0，π2. ………………2分
所以tan α
所以tan θ=tanα+π4=17+11-17×1=43， ………………4分
θ∈π4，π2，
所以由sin2θ+cos2θ=1，sin θcos θ=43， 得sin θ=45，cos θ=35.
所以点A的坐标为35，45. ………………6分
(II)f(x)=3sin θ•sin 2x+2cos θ•2cos 2x
=125sin 2x+125cos 2x=1225sin2x+π4. ………………8分
由x∈0，π2，
得2x+π4∈π4，5π4，
2x+π4∈ 即x∈ 时,f(x)单调递增,
所以f(x)在x∈ 上单调递增在x∈ 上单调递减………………12分
21. 解：
，
时，因为 ，所以
函数 的单调递增区间是 ，无单调递减区间，无极值;
当 时，令 ，解得 ，
当时， ;当 ， .
所以函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是，
在区间 上的极小值为，无极大值.……………4分
(II)因为 ，由 知，函数 在区间 上单调递减，
在区间上单调递增，
不妨设 ，则 ，
要证 ，只要证 ，即证 …………6分
因为 在区间上单调递增，所以 ，
又 ，即证 ，……………8分
构造函数 ，
即， ，……………10分
因为 ，所以 ， ，即 ，
所以函数 在区间 上单调递增，故 ，
而，故，
所以 ，即 ，所以 成立.……………12分
22 圆C的极坐标方程为 .
， ， ，
圆C的直角坐标方程为 ，
化为圆的标准方程为 ………………5分
(II)设直线l的参数方程为 为参数
将l代入圆C的直角坐标方程 中，
化简得 ，
设A，B两点所对应的参数分别为 ， ，
由韦达定理知 ， ，
由 ， 同号 又， ，
由 可知 或 ，
或，解得 ，
，
的普通方程为
23.(Ⅰ)
所以解集为： . ………………5分
(II)
所以 的取值范围为： . ………………10分
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