辽宁2017-2018学年高三期初考试数学文理科试卷(2)
辽宁2017-2018学年高三期初考试数学理科试卷
一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的.)
1. 设为虚数单位，若，则的共轭复数( )
2. 已知全集，集合，，则为( )
3. 已知实数成等比数列，则( )
4. 已知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如图所示，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为，则该几何体的体积是( )
5. 若实数满足，则 的最小值( )
6. 张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸 ，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是( )
7. 有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1，2，3，4，5，6，比赛结果设特等奖一名，四名同学对于谁获得特等奖进行预测. 说：不是1号就是2号获得特等奖;说:3号不可能获得特等奖;说: 4，5，6号不可能获得特等奖; 说;能获得特等奖的是4，5，6号中的一个.公布的比赛结果表明，中只有一个判断正确.根据以上信息，获得特等奖的是( )号同学.
号中的一个
8. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )
9. 已知双曲线的两条渐近线均与圆则该双曲线的离心率等于( )
10. 已知正四棱柱中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
11. 已知向量， ，，若，则的取值范围是( )
12. 已知函数有两个零点，， ，则下面说法正确的是( )
有极小值点，且
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4题，每小题5分，共20分.)
13. 已知，则 .
14. 已知点，，的周长是，则的顶点的轨迹方程为 .
15. 一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 .
16.各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则__________.
三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分12分)
在中，内角，，的对边分别为，，且
(1)求角的值;
(2)若的面积为，的周长为，求边长
18.(本小题满分12分)
全世界越来越关注环境保护问题，某市监测站点于2016年8月1日起连续天监测空气质量指数，数据统计如下：
空气质量指数 0-50 51-100 101-150 151-200 201-250 空气质量等级 空气优 空气良 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 20 40 10 5 (1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出的值，并完成频率分布直方图：
(2)由率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数;
(3)某人8月1日至8月3日在该市出差，设他遇到空气质量为优的天数为，若把频率近似看做概率，求的分布列及期望.
19. (本小题满分12分)如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，∥,
,点在线段上.
当点为中点时，求证：∥平面;
当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积.
20. (本小题满分12分)已知椭圆的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的标准方程
(2)设点，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆于另一点证明：直线与轴相交于定点
21. (本小题满分12分)
已知函数.
()当时，求函数的单调区间;
()若对任意都有恒成立，求实数的取值范围;
()求证：.
选考题(请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑)
22.(本小题满分10分)选修：坐标系与参数方程
在直角坐标系中直线的参数方程为为参数)，以原点为极点轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(2)设直线与曲线交于点，若点的坐标为，求的值
23.(本小题满分10分)选修：不等式选讲
已知
(1)求的解集
(2)若，对，恒成立，求实数的取值范围.
——2018学年度上学期省六校协作体高三期初考试
数学(理科)答案
一.选择题：
1～6 7～12
二、填空题13. ; 14. ;
15. ; 16..
三、解答题 17.(本小题满分12分)，，
，，，
，，.………………………………………………6分
,,
又
，解得18.(本小题满分12分)，，
，，
，，
，.…………3分
(2)平均数 ，中位数.
(3)由题一天中空气质量为优的概率为的所有可能取值为，，，
，，
，，
的分布列为 的期望19.(本小题满分12分)1)以直线、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，所以.
∴………………………………………………………………………………2分
又，是平面的一个法向量.
∵ 即
∴∥平面…………………………………………………………………………4分
(2)设，则，
又
设，则，即.………6分
设是平面的一个法向量，则
取 得 即
又由题设，是平面的一个法向量，…………………………………8分
∴ …………………10分
即点为中点，此时，，为三棱锥的高，
∴………………………………………………12分
20.(本小题满分12分)以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆为直线与圆相切
解得故椭圆的方程为的斜率存在所以设直线的方程为由得，，则，
，①
直线的方程为，令得，代入上式整理得，
所以直线与轴相交于定点21.(本小题满分12分)时，，，
当时，，当时，，
故函数的单调递增区间为单调递减区间为.…………………………4分
(2)由题，，
①当时，恒成立，在内单调递增，，符合题意;
②当时，令，解得，
ⅰ)当时，，在内单调递增，，符合题意;
ⅱ)当时，，在内单调递减，，不符题意;
故实数的取值范围为.………………………………………………………………8分
(3)欲证，即证，
由(2)知，当时，即当时，(当且仅当时取等
取，则即
同理，，，…，，
以上各式相加，得，故原不等式成立.…………………………12分
22. (本小题满分10分)选修：坐标系与参数方程(1)直线：，
，，，
圆的直角坐标方程为
(2)把直线的参数方程代入得
设两点对应的参数分别为，
，，(同号)
.…………………………………………10分
23. (本小题满分10分)选修：不等式选讲
解，
当时，得;
当时，得;
当时，得.
综上所述：原不等式的解集为.…………………………………………4分
(2)
由题，，如图，，且所以时等号成立，即，.由恒成立，结合图像知，
实数的取值范围是
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