湖南师大附中2018届高三数学文理科试卷
在考试快要到来的时候，学生需要做一些的练习题，下面学习啦的小编将为大家带来高中数学的文理科的数学试卷详解，希望能够帮助到大家。
湖南师大附中2018届高三数学理科试卷
一、选择题：本大题共12小题每小题5分共60分在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合A==则A∩=()
(A){x|0≤x≤1} (B){x|1≤x<2}(C){x|-1
(A)1 (B) (C) (D)
(3)记等差数列的前n项和为S若S=20=19则S=(A)23 (B)105 (C)115 (D)230
(4)如图在边长为1的正方形OABC中随机取一点 则此点恰好取自阴影部分的概率为()
(A) (B)
(C) (D)
(5)对于下列四个命题：(0，1)，logx0>x0;：(0，+∞)<;：(0，+∞)>x;：，
其中的真命题是(B)
(A)P1，P3 (B)P1，P4
(C)P2，P3 (D)P2，P4
(6)函数f(x)=(ω>0)的图象向右平移个单位得到函数y=g(x)的图象并且函数g(x)在区间上单调递增在区间上单调递减则实数ω的值为()
(A)1 (B) (C)2 (D)10
(7)某几何体的三视图如下图其正视图中的曲线部分为半圆则该几何体的表面积为()
(A)(19+) cm2 (B)(22+4) cm2
(C)(13+6+4) cm2 (D)(10+6+4) cm2
(8)秦九韶是我国南宋时期的数学家普州(现四川省安岳县)人他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例若输入x的值为2则输出v的值为()
(A)210-1 (B)210(C)310-2(D)310
(9)已知抛物线C：y=8x的焦点为F准线为l是l上一点直线PF与曲线相交于M两点若=3则|MN|=()
(A) (B)
(C)11 (D)10
(10)设等比数列的公比为q其前n项的积为T并且满足条件a-1>0<0，则使T成立的最大自然数n的值为()
(A)9 (B)10
(C)18 (D)19
(11)已知函数f(x)=x-2x+-其中为自然对数的底数若不等式f(3a2)+f(-2a-1)≤f(0)恒成立则实数a的取值范围为()
(A) (B)
(C) (D)
【解析】易知函数f(x)为奇函数又因为f′(x)=3x-2++-x所以函数f(x)为增函数原不等式转化为：f(3a)≤f(2a+1)-2a-1≤0解得：-≤a≤1所以答案选(12)如图在正方形ABCD中为AB的中点为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点设向量=λ+μ则λ+μ的取值范围为()
(A)
(B)
(C)
(D)
【解析】以A为原点为x轴正方向为y轴正方向建立直角坐标系.设AB=1(cos θ，sin θ)，θ∈，则=(1)，==()，
由题意得解得μ=又λ=μ-1所以λ+μ=μ(+1)-1=-1.
设y=则y′=所以y=在上递增.所以：λ+μ∈选第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题每小题5分.(13)若(ax+)的展开式中x项的系数为80则实数a=__2__.(14)已知实数x满足约束条件则2x-y的取值范__[-1]__.(15)已知双曲线C：-=1(a>0)的左、右焦点分别为F为坐标原点点P是双曲线在第一象限内的点直线PO分别交双曲线C的左、右支于另一点M若|PF=2|PF且∠MF=120则双曲线的离心率为____.【解析】由题意=2|PF由双曲线的定义可得-|PF=2a所以|PF=4a=2a由四边形PF为平行四边形又∠MF=120可得∠F=120在三角形PF中由余弦定理可得=16a+4a-2·4a·2a·即有4c=20a+8a即c2=7a可得c=a即e=.(16)已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上且AB=AC=5=8底面ABC若G为△ABC的重心直线DG与底面ABC所成角的正切值为则球O的表面积为____.【解析】由题意可知=2=1==-=外接圆的直径为2r==设球O的半径为R==.球O的表面积为故答案为三、解答题：本题共6个小题满分70分.(17)(本小题满分10分)在△ABC中角A的对边分别为a满足2=.(Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)若△ABC的面积为S=c求ab的最小值.【解析】(Ⅰ)由2=得=a2+b-c=-ab则==-故C=(Ⅱ)由△ABC的面积为S=c=ab=ab得c=2ab将其代入+b-c=-ab得+b-4a=-ab则4a-aba2+b2ab，所以ab≥当且仅当a=b==时取最小值.(18)(本小题满分12分)
如图几何体P-ABCD中底面ABCD为直角梯形侧面PAD为等边三角形且CD∥AB=90=DA=AB=1=.(Ⅰ)求证：面PAD⊥面ABCD;(Ⅱ)求二面角A-PB-C的平面角的余弦值.【解析】(Ⅰ)由于PA=1=3=则PB=PA+AB则BA⊥PA又∠DAB=90则BA⊥DA故BA⊥面PAD又BA面ABCD则面PAD⊥面ABCD.
(Ⅱ)取O为AD中点建立如图所示空间直角坐标系O-xyz.取E为PA中=为面PAB的法向量;再令n=(x)为面PBC的法向量由于=(1)，=由得解得x=-=则n=而显然二面角A-PB-C为锐二面角(直接由CH与DE平行且相等知点H在△PAB的内部)故所求余弦值为==.(19)(本小题满分12分)近几年来我国电子商务行业发展迅猛年元旦期间某购物平台的销售业绩高达918亿人民币与此同时相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系现从评价系统中选出200次成功交易并对其评价进行统计对商品的好评0.6，对服务的好评率为0.75其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.(Ⅰ)完成商品和服务评价的2×2列联表并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为商品好评与服务好评有关?(Ⅱ)若将频率视为概率某人在该购物平台上进行的5次购物中设对商品和服务全好评的次数为随机变量X.(i)求对商品和服务全好评的次数X的分布列(概率用组合数算式表示);(ii)求X的数学期望和方差.参考数据及公式如下： P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (K2=其中n=a+b+c+d)【解析】(Ⅰ)由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表：对服务好评 对服务不满意 合计对商品好评 80 40 120对商品不满意 70 10 80合计 150 50 200得K=>10.828可以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为商品好评与服务好评有关.(Ⅱ)(i)每次购物时对商品和服务全好评的概率为0.4且X的取值可以是0～B(5).(X=0)=0.6;P(X=1)=·0.4·0.64;P(X=2)=·0.42·0.63;P(X=3)=·0.43·0.62;(X=4)=·0.44·0.6;P(X=5)=0.4的分布列为：·0.4·0.64 C·0.42·0.63 C·0.43·0.62 C·0.44·0.6 0.45 (ii)由于X～B则EX=5×0.4=2=5×0.4×0.6=1.2.(20)(本小题满分12分)已知等差数列满足：a=4-2a+2=0.(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)若数列满足：b=(-1)+n(n∈N)，求的前n项和S【解(Ⅰ)令等差数列的公差为d由a=4-2a+2=0得解得a=2=2故的通项公式为a=2n(n∈N).bn=(-1)+n(n∈N)，
①若n为偶数结合a-a-1=2得=(-a+a)+(-a+a)+…+(-a-1+a)+(1+2+…+n)=2·+=;若n为奇数则S=S-1+b=-2n+n=.(21)(本小题满分12分)已知A(-2)，B(2，0)为椭圆C的左、右顶点为其右焦点是椭圆C上异于A的动点且△APB面积的最大值为2.(Ⅰ)求椭圆C的方程及离心率;(Ⅱ)直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D当点P在椭圆上运动时求证：以BD为直径的圆与直线PF恒相切.【解析】(Ⅰ)由题意可设椭圆C的方程为+=1 (a>b>0)(c，0).由题意知解得b==1.故椭圆C的方程为+=1离心率为.(Ⅱ)证明：由题意可设AP的方程为y=k(x+2)(k≠0).则点D坐标为(2, )，BD中点E的坐标为(2, ).由得(3+4k)x2+16k+16k-12=0.设点P的坐标为(x)，则-2x=所以x==k(x+2)= 因为点F坐标为(1)，
当k=±时点P的坐标为直线PF⊥x轴点D的坐标为(2).此时以BD为直径的圆(x-2)+(y)2=1与直线PF相切.当k≠±时则直线PF的斜率k==所以直线PF的方程为y=(x-1).点E到直线PF的距离d===2|k|.又因为|BD|=4|k|所以d=|BD|.故以BD为直径的圆与直线PF相切.综上得当点P在椭圆上运动时以BD为直径的圆与直线PF恒相切.(22)(本小题满分12分)设函数f(x)=a+(a-1)x.(Ⅰ)若f(x)存在最大值M且M>0求实数a的取值范围;(Ⅱ)令a=(x)=xf(x)+x-x+00解得：综上当a∈时(x)有最大值M>0.(Ⅱ)当a=时(x)=xf(x)+x-x+=x+x-x+.(x)=(+bx-1)由于00，即g(x)在(x+∞)上单调递增.故函数g(x)存在最小值m=g(x)，结合g′(x)=0即=1-bx得=g(x)=x(1-bx)+x-x+=-x-x+<(1-x)<0.
综上得对任意的0
湖南师大附中2018届高三数学文科试卷
一、选择题：本大题共12小题每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.(1)设全集U===则=()
A. B. C. D.
(2)复数z与复数(2-)互为共轭复数(其中为虚数单位)则z=()
A.1-2+2-1+2-1-2(3)齐王与田忌赛马田忌的上等马优于齐王的中等马劣于齐王的上等马田忌的中等马优于齐王的下等马劣于齐王的中等马田忌的下等马劣于齐王的下等马现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛则田(A)
A. B. C. D.
(4)在△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c已知a=3==则角B等于()
A. B. C. 或以上都不对(5)为得到函数y=的图象只需将函数y=的图象()
A.向右平移个单位 .向左平移个单位 向右平移个单位 .向左平移个单位(6)设a=7-=-=，则下列关系中正确的是()
A.c7-=所以c6.
(9)如图已知正三棱柱ABC-A的各条棱长都相等则异面直线AB和A所成的角的余弦值大小为()
A. B.- D.-
【解析】延长BA到D使得AD=AC则ADA为平行四边形就是异面直线AB和A所成的角又△ABC为等边三角形设AB=AA=1=120则CD====A=在△A中==.故选(其它的平移方法均可)(10)如图所示网格纸上每个小格都是边长为1的正方形粗线画出的是一个几何体的三视图则该几何体的表面积为()
A.+2+ .+2+ .+4+ .++【解析】由三视图可知该几何体是三棱锥P-ABC其中侧面PAB⊥底面ABC在平面PAB内过点P作垂足为D连接CD该几何体的表面积是=×1×2×2+×(2)+×2×=2+2+.(11)已知双曲线-=1(a>0)与抛物线y=2px(p>0)有相同的焦点F且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点M(-3)，|MF|=则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
【解析】依题意有-=-3=6又|MF|==t+6=±(-3)=-=且a+b=c=.故选(12)设D是函数y=f(x)定义域内的一个子区间若存在x使f(x)=-x则称x是f(x)的一个“次不动点”也称f(x)在区间D上存在次不动点若函数f(x)=ax-2x-2a-在区间上存在次不动点则实数a的取值范围是()
A.(-∞) B. C. D.
【解析】由题意存x∈，使g(x)=f(x)+x=ax-x-2a-=0解得a=设(x)=则由h′(x)==0得x=-1(舍去)或x=-2且h(x)在(-3-2)上递减在上递增又h(-3)=-(-2)=-=0所以h(x)在x∈的值域为即a的取值范围是第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)～(21)题为必考题每个试题考生都必须作答.第(22)～(23)题为选考题考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题每小题5分.(13)已知向量a=(-1)，向量b=(3)，若b∥(a+b)则t=__-3__.(14)若=则=__-__.【解析】∵==-=-=-.(15)点P(a)到直线4x-3y+1=0的距离等于4且在2x+y-3<0表示的平面区域内则a的值为__-3__【解析】由题意解得a=-3. (16)已知直线l经过点P且被圆+=25截得的弦长为8则直线l的方程是__x+4=0或4x+3y+25=0__【解析】圆心半径r=5弦长为m=8设弦心距是d则由勾股定理得rd2+得d=3若直线l斜率不存在则直线l的方程为x+4=0此时圆心到l的距离是3符合题意;若直线l斜率存在则设直线l的方程为y+3=(x+4)即kx-y+4k-3=0所以圆心到l的距离是d==3解得=-此时直l的方程是4x+3y+25=0.综上直线l的方程是x+4=0或4x+3y+25=0.所以答案应填：x+4=0或4x+3y+25=0.三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)数列的前n项和记为S=1+1=2S+1.(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)求S【解析】(Ⅰ)由a+1=2S+1可得a=2S-1+12分两式相减得a+1-a=2a+1=3a4分又a2S1+1=3=3a6分故{a是首项为1公比为3的等比数列=3-18分(Ⅱ) Sn==-.12分(18)(本小题满分12分)某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损可见部分如下图.
(Ⅰ)求分数在[50)的频率及全班人数;(Ⅱ)求分数在[80)之间的频数并计算频率分布直方图中[80)间矩形的高;(Ⅲ)若要从分数在[80)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况求在抽取的试卷中至少有一份分数在[90)之间的概率.【解析】(Ⅰ)分数在[50)的频率为0.008×10=0.082分由茎叶图知：分数在[50)之间的频数为2=25.4分(Ⅱ)分数在[80)之间的频数为25-22=3;频率分布直方图中[80)间的矩形的高为÷10=0.012.7分(Ⅲ)将[80)之间的3个分数编号为a[90，100)之间的2个分数编号为b8分在[80)之间的试卷中任取两份的基本事件为：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)共10个10分其中至少有一个在[90)之间的基本事件有7个故至少有一份分数在[90)之间的概率是=0.7.12分
(19)(本小题12分)如图在三棱锥A-BCD中=DC=2=CB=4平面ADC⊥平面ABC为AB的中点.(Ⅰ)求证：BC⊥平面ADC;(Ⅱ)求点A到平面DMC的距离.【解析】(Ⅰ)∵AD=DC=2且AD⊥DC=CB=2又AB=4满足AC+BC=AB4分 平面ABC⊥平面ADC?平面ABC平面ABC∩平面ADC=ACBC⊥平面ADC.6分
(Ⅱ)取AC中点N连接MN在中且DN=又平面ABC⊥平面ADC平面ABC.在△ABC中且MN=BC=由(Ⅰ)知BC⊥平面ADC则MN⊥平面ADC又∵DN?平面ADC即DM==28分 在ABC中=BC=2=4=2=×4=.10分 设点A到平面DMC的距离为h则由V-DMC=V-AMC得×S=×S解得h=点A到平面DMC的距离为.12分 (20)(本小题满分12分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为以原点O为圆心椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x-y+6=0相切.(Ⅰ)求椭圆C标准方程;(Ⅱ)已知点A为动直线y=k(x-2)(k≠0)与椭圆C的两个交点问：在x轴上是否存在点E使+·为定值?若存在试求出点E的坐标和定值若不存在说明理由.【解析】(Ⅰ) 由e=得=即c=a ①又以原点O为圆心椭圆C的长半轴长为半径的圆为x+y=a且与直线2x-y+6=0相切a==代入①得c=2所以b=a-c=2.所以椭圆的方程为+=1.4分(Ⅱ)由得(1+3k)x2-12k+12k-6=0设A(x1)，B(x2，y2)，
所以x+x==8分根据题意假设x轴上存在定点E(m)，使得2+·=·()=·为定值则有·=(x-m)·(x2-m)
=(x-m)·(x-m)+y=(x-m)(x-m)+k(x1-2)(x-2) =(k+1)x-(2k+m)(x+x)+(4k+m)
=(k+1)·-(2k+m)·+(4k+m)
=10分要使上式为定值即与k无关则应3m-12m+10=3(m-6)即m=此时·=m-6=-为定值定点为12分(21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax-(a+b)x+a(a，b∈R).(Ⅰ)当b=1时求函数f(xa=-1=0时证明：f(x)+-x-x+1(其中为自然对数的底数).【解析】 (Ⅰ)当b=1时(x)=ax-(1+a)x+a(x)=ax-(1+a)+=1分当a≤0时x-a>0>0，ax-1<0?(x)<0
此时函数f(x)的单调递减区间为(0+∞)无单调递增区间2分当a>0时令f′(x)=0?=或a当=a(a>0)即a=1时此时f′(x)=(x>0)
此时函数f(x)单调递增区间为(0+∞)无单调递减区间3分当0<1时此时在和(a+∞)上函数f′(x)>0在上函数f′(x)<0此时函数f(x)单调递增区间为和(a+∞);单调递减区间为4分当00(法一)设g(x)=--1(x>0)问题转化为证明?(x)>0，
由g′(x)=-(x)=+(x)=-为(0+∞)上的增函数且g′=-2<0(1)=-1>0.8分存在唯一的x，使得g′(x)=0=(x)在(0)上递减在(x+∞)上递增.10分(x)min=g(x)=--1=+x-1≥2-1=1(x)min>0，∴不等式得证.12分(法二)先证：x-1≥(x>0)，
令h(x)=x-1-(x>0)，∴h′(x)=1-==0?=1h(x)在(0)上单调递减在(1+∞)上单调递增.(x)min=h(1)=0(x)≥h(1)?x-1≥8分++x-1=x?(1+x)≤x(1+x)10分+1>x≥1++故--1>0.12分 请考生在(22)、(23)两题中任选一题(22)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为(α是参数)以原点O为极点轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为ρ=(Ⅰ)求曲线C的普通方C2的直角坐标方程;(Ⅱ)求曲线C上的任意一点P到曲线C的最小距离并求出此时点P的坐标. 【解析】(Ⅰ) 由题意知的普通方程为(x-1)+y=11分的直角坐标方程为y=x+1. 5分(Ⅱ)设P(1+)，则P到C的距离=|2+|，当=-1即2α=+2k(k∈Z)时取最小值-1此时P点坐标为10分(23)(本小题满分10分)选修4-5: 不等式选讲设函数f(x)=|2x-a|+a. (Ⅰ) 若不等式f(x)≤6的解集为{x|-2≤x≤3}求实数a的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下若存在实数n使得f(n)≤m-f(-n)恒成立求实数m的取值范围.【解析】(Ⅰ)由f(x)≤6得a-6≤2x-a≤6-a(a<6)即其解集为{x|a-3≤x≤3}3分由题意知f(x)≤6的解集为{x|-2≤x≤3}所以a=1.5分(Ⅱ) 原不等式等价于存在实数n使得(n)+f(-n)=|1-2n|+|1+2n|+2恒成立即m≥[|1-2n|+|1+2n|+2]8分而由绝对值三角不等式-2n|+|1+2n|≥2从而实数m≥4.10分
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