高考数学等比数列的通项公式知识点(2)
高考数学等比数列的通项公式相关练习及答案解析
1.下列数列是等比数列的是( )
A.1,1,1,1,1 B.0,0,0，…
C.0，12，14，18，… D.-1，-1,1，-1，…
答案：A
2.已知{an}是等比数列，a2=2，a5=14，则公比q等于( )
A.-12 B.-2
C.2 D.12
答案：D
3.若等比数列的前三项分别为5，-15,45，则第5项是________.
答案：405
4.在等比数列{an}中，
(1)已知a3=9，a6=243，求a5;
(2)已知a1=98，an=13，q=23，求n.
解：(1)∵a6=a3q3，∴q3=27，∴q=3.
∴a5=a6•13=81.
(2)∵an=a1qn-1，∴13=98•(23)n-1.
∴(23)n-1=(23)3，∴n=4.
一、选择题
1.等比数列{an}中，a1=2，q=3，则an等于( )
A.6 B.3×2n-1
C.2×3n-1 D.6n
答案：C
2.在等比数列{an}中，若a2=3，a5=24，则数列{an}的通项公式为( )
A.32•2n B.32•2n-2
C.3•2n-2 D.3•2n-1
解析：选C.∵q3=a5a2=243=8，∴q=2，而a1=a2q=32，∴an=32×2n-1=3•2n-2.
3.等比数列{an}中，a1+a2=8，a3-a1=16，则a3等于( )
A.20 B.18
C.10 D.8
解析：选B.设公比为q(q≠1)，则
a1+a2=a1(1+q)=8，
a3-a1=a1(q2-1)=16，
两式相除得：1q-1=12，解得q=3.
又∵a1(1+q)=8，∴a1=2，
∴a3=a1q2=2×32=18.
4.(2010年高考江西卷)等比数列{an}中，|a1|=1，a5=-8a2，a5>a2，则an=( )
A.(-2)n-1 B.-(-2)n-1
C.(-2)n D.-(-2)n
解析：选A.∵|a1|=1，
∴a1=1或a1=-1.
∵a5=-8a2=a2•q3，
∴q3=-8，∴q=-2.
又a5>a2，即a2q3>a2，
∴a2<0.
而a2=a1q=a1•(-2)<0，
∴a1=1.故an=a1•(-2)n-1=(-2)n-1.
5.下列四个命题中正确的是( )
A.公比q>1的等比数列的各项都大于1
B.公比q<0的等比数列是递减数列
C.常数列是公比为1的等比数列
D.{lg2n}是等差数列而不是等比数列
解析：选D.A错，a1=-1，q=2，数列各项均负.B错，a1=1，q=-1，是摆动数列.C错，常数列中0,0,0，…，不是等比数列.lg2n=nlg2，是首项为lg2，公差为lg2的等差数列，故选D.
6.等比数列{an}中，a1=18，q=2，则a4与a8的等比中项是( )
A.±4 B.4
C.±14 D.14
解析：选A.由an=18•2n-1=2n-4知，a4=1，a8=24，其等比中项为±4.
二、填空题
7.若x,2x+2,3x+3是一个等比数列的连续三项，则x的值为__________.
解析：由于x,2x+2,3x+3成等比数列，
∴2x+2x=3x+32x+2=32且x≠-1,0.
∴2(2x+2)=3x，∴x=-4. X k b 1 . c o m
答案：-4
8.等比数列{an}中，若an+2=an，则公比q=__________;若an=an+3，则公比q=__________.
解析：∵an+2=an，∴anq2=an，∴q=±1;
∵an=an+3，∴an=anq3，∴q=1.
答案：±1 1
9.等比数列{an}中，a3=3，a10=384，则该数列的通项公式为an=________.
解析：a3=a1q2=3，a10=a1q9=384.
两式相比得q7=128，∴q=2，∴a1=34.
an=a1qn-1=34×2n-1=3•2n-3.
答案：3•2n-3
三、解答题
10.已知数列{an}满足：lgan=3n+5，求证：{an}是等比数列.
证明：由lgan=3n+5，得an=103n+5，
∴an+1an=103n+1+5103n+5=1000=常数.
∴{an}是等比数列.
11.已知{an}为等比数列，a3=2，a2+a4=203，求{an}的通项公式.
解：设等比数列{an}的公比为q，
则q≠0.a2=a3q=2q，a4=a3q=2q，
∴2q+2q=203.解得q1=13，q2=3.
当q=13时，a1=18，
∴an=18×(13)n-1=2×33-n.
当q=3时，a1=29，
∴an=29×3n-1=2×3n-3.
综上，当q=13时，an=2×33-n;
当q=3时，an=2×3n-3.
12.一个等比数列的前三项依次是a,2a+2,3a+3，则-1312是否是这个数列中的一项?如果是，是第几项?如果不是，请说明理由.
解：∵a,2a+2,3a+3是等比数列的前三项，
∴a(3a+3)=(2a+2)2.
解得a=-1，或a=-4.
当a=-1时，数列的前三项依次为-1,0,0，
与等比数列定义矛盾，故a=-1舍去.
当a=-4时，数列的前三项依次为-4，-6，-9，
则公比为q=32，∴ an=-4(32)n-1，
令-4(32)n-1=-1312，
即(32)n-1=278=(32)3，
∴n-1=3，即n=4，
∴-1312是这个数列中的第4项.
