甘肃省兰州九中高二期中文理科数学试卷(2)
甘肃省兰州九中高二期中理科数学试卷
1.已知函数，在处函数极值的情况是 ( )
A.没有极值 B.有极大值 C.有极小值 D.极值情况不能确定
2.复数等于 ( )
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
3.设函数可导，则 ( )
A. B. C. D.不能确定
4.若大前提：任何实数的平方都大于0，小前提：a∈R，结论：a2>0，那么这个演绎推理出错在 ( )
A.大前提 B.小前提 C.推理形式 D.没有出错
5.观察下列数表规律
2→3 6→7 10→11
↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓
0→1 4→5 8→9 12→…
则数2007的箭头方向是 ( )
A.2007→ B. ↓
↑ 2007→
C. ↑ D.→2007
→2007 ↓
6.函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1处有极值10，则a，b的值为 ( )
A.或 B.
C. D.以上都不对
7.给出下列命题：
①?dx=?dt=b-a(a，b为常数且a(n>1，n∈N*)的过程中，从n=k到
n=k+1时左边需增加的代数式是 ( )
A. B. -
C.+ D.
9.已知结论：“在正三角形ABC中，若D是BC的中点，G是三角形ABC的重心，则=2”.
若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A—BCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则等于 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ( )
A. B. C. D.
11.已知函数f(x)=()x，a，b是正实数，A=f()，B=f()，C=f()，则A、B、C的大小关系为 ( )
A.A≤B≤C B.A≤C≤B
C.B≤C≤A D.C≤B≤A
12.下面为函数y=xsinx+cosx的递增区间的是 ( )
A.(，) B.(π，2π)
C.(，) D.(2π，3π)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。)
13.若复数z满足z(1+i)=1-i(i是虚数单位)，则其共轭复数=________.
14.通过类比长方形，由命题“周长为定值l的长方形中，正方形的面积最大，最大值为”，可猜想关于长方体的相应命题为_________________________________________.
15.已知函数f(x)=x3+bx2+cx，其导函数y=f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.则下列说法中不正确的编号是________.(写出所有不正确说法的编号)
①当x=时函数取得极小值;
②f(x)有两个极值点;
③c=6;
④当x=1时函数取得极大值.
16.如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________.
1
三、解答题(本大题共6小题，其中17题10分，18、 19、20、21、22每题12分，共70分。)
17.(10分) (1)求曲线在点(1，1)处的切线方程;
(2)运动曲线方程为，求t=3时的速度.
18.(12分) 求由曲线与，，所围成的平面图形的面积.
19.(12分)已知a，b，c>0，且a+b+c=1，求证：
(1)a2+b2+c2≥;
(2)++≤.
20. (12分)如图，已知平面α∩平面β=直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a=A，c∥a.
求证：b与c是异面直线.
21.(12分)设函数在及时取得极值.
(1)求a、b的值;
(2)若对于任意的，都有成立，求c的取值范围.
22.(12分)是否存在常数a，b，使等式++…+=
对一切n∈N*都成立?若不存在，说明理由;若存在，请用数学归纳法证明.
高二下学期期中数学(理科)试卷参考答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C A D B B B C A A C
二、填空题：
13. 14. 表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为()
15. ①16.
三、解答题：
17.，，
即曲线在点(1，1)处的切线斜率k=0.
因此曲线在(1，1)处的切线方程为y=1.
(2) .
.
18.
19. 解(1)∵a2+≥a，b2+≥b，c2+≥c，
∴(a2+)+(b2+)+(c2+)
≥a+b+c=.
∴a2+b2+c2≥.
(2)∵≤，
≤，
≤，
三式相加得++≤(a+b+c)+=1，
∴++≤.
20.(12分) 证明 假设b，c不是异面直线，即b与c共面，设b与c确定的平面为γ，则γ∩α=b，γ∩β=c.
∵a∥c，aγ，∴a∥γ.
又∵aα，且α∩γ=b，∴a∥b，这与a∩b=A矛盾.
因此b与c不可能共面，故b与c是异面直线.
21.
因为函数在及取得极值，则有，.
即
解得，.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，
.
当时，;
当时，;
当时，.
所以，当时，取得极大值，又，.
则当时，的最大值为.
因为对于任意的，有恒成立，
所以 ，
解得 或，
因此的取值范围为.
22.(12分)解 若存在常数a，b使等式成立，
则将n=1，n=2代入上式，
有
得a=1，b=4，
即有++…+=
对于一切n∈N*都成立.
证明如下：
(1)当n=1时，左边==，
右边==，所以等式成立.
(2)假设n=k(k≥1，且k∈N*)时等式成立，即
++…+=，
当n=k+1时，
++…++
=+=·(+)
=·=·
==，
也就是说，当n=k+1时，等式成立，
综上所述，等式对任何n∈N*都成立.
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