七年级数学一元一次方程方程应用题归类分析
列方程解应用题,是初中数学的重要内容之一.许多实际问题都归结为解一种方程或方程组,所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际,解决实际问题的一个重要方面;下面老师就从以下几个方面分门别类的对常见的数学问题加以阐述,希望对同学们有所帮助.
1. 和、差、倍、分问题：
(1)倍数关系：通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率……”来体现.
(2)多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.
例1.根据2001年3月28日新华社公布的第五次人口普查统计数据,截止到2000年11月1日0时,全国每10万人中具有小学文化程度的人口为35701人,比1990年7月1日减少了3.66%,1990年6月底每10万人中约有多少人具有小学文化程度?
分析：等量关系为：
设1990年6月底每10万人中约有x人具有小学文化程度
答：略.
2. 等积变形问题：
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：
①形状面积变了,周长没变;
②原料体积=成品体积.
例2. 用直径为90mm的圆柱形玻璃杯(已装满水)向一个由底面积为 内高为81mm的长方体铁盒倒水时,玻璃杯中的水的高度下降多少mm?(结果保留整数 )
分析：等量关系为：圆柱形玻璃杯体积=长方体铁盒的体积
下降的高度就是倒出水的高度
设玻璃杯中的水高下降xmm
答：略.
3. 劳力调配问题：
这类问题要搞清人数的变化,常见题型有：
(1)既有调入又有调出;
(2)只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;
(3)只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变.
例3. 机械厂加工车间有85名工人,平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个,已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套,问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮,才能使每天加工的大小齿轮刚好配套?
分析：列表法.
每人每天 人数 数量
大齿轮 16个 x人 16x
小齿轮 10个 人
等量关系：小齿轮数量的2倍=大齿轮数量的3倍
设分别安排x名、 名工人加工大、小齿轮
答：略.
4. 比例分配问题：
这类问题的一般思路为：设其中一份为x,利用已知的比,写出相应的代数式.
常用等量关系：各部分之和=总量.
例4. 三个正整数的比为1：2：4,它们的和是84,那么这三个数中最大的数是几?
设一份为x,则三个数分别为x,2x,4x
分析：等量关系：三个数的和是84
答：略.
5. 数字问题
(1)要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a,十位数字是b,个位数字为c(其中a、b、c均为整数,且1≤a≤9, 0≤b≤9, 0≤c≤9)则这个三位数表示为：100a+10b+c.
(2)数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;偶数用2N表示,连续的偶数用2n+2或2n—2表示;奇数用2n+1或2n—1表示.
例5. 一个两位数,个位上的数是十位上的数的2倍,如果把十位与个位上的数对调,那么所得的两位数比原两位数大36,求原来的两位数
等量关系：原两位数+36=对调后新两位数
设十位上的数字X,则个位上的数是2x,
10×2x+x=(10x+2x)+36解得x=4,2x=8.
答：略.
6. 工程问题：
工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间
经常在题目中未给出工作总量时,设工作总量为单位1.
例6. 一件工程,甲独做需15天完成,乙独做需12天完成,现先由甲、乙合作3天后,甲有其他任务,剩下工程由乙单独完成,问乙还要几天才能完成全部工程?
分析设工程总量为单位1,等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量.
设乙还需x天完成全部工程,设工作总量为单位1,由题意得,(115+112)×3+x12=1, 解这个方程,15+14+x12=1
12+15+5x=60 5x=33 ∴ x=335=635
答：略.
7. 行程问题：
(1)行程问题中的三个基本量及其关系： 路程=速度×时间.
(2)基本类型有
① 相遇问题;② 追及问题;常见的还有：相背而行;行船问题;环形跑道问题.
(3)解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系,一般情况下问题就能迎刃而解.并且还常常借助画草图来分析,理解行程问题.
例7. 甲、乙两站相距480公里,一列慢车从甲站开出,每小时行90公里,一列快车从乙站开出,每小时行140公里.
(1)慢车先开出1小时,快车再开.两车相向而行.问快车开出多少小时后两车相遇?
(2)两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距600公里?
(3)两车同时开出,慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与慢车相距600公里?
(4)两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢车?
(5)慢车开出1小时后两车同向而行,快车在慢车后面,快车开出后多少小时追上慢车?
此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义,弄清行驶过程.故可结合图形分析.
(1)分析：相遇问题,画图表示为：
等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480公里.
设快车开出x小时后两车相遇,由题意得,140x+90(x+1)=480
解这个方程,230x=390
∴ x=11623
答：略.
分析：相背而行,画图表示为：
等量关系是：两车所走的路程和+480公里=600公里.
设x小时后两车相距600公里,
由题意得,(140+90)x+480=600解这个方程,230x=120
∴ x=1223
答：略.
(3)分析：等量关系为：快车所走路程-慢车所走路程+480公里=600公里.
设x小时后两车相距600公里,由题意得,(140-90)x+480=600 50x=120
∴ x=2.4
答：略.
分析：追及问题,画图表示为：
等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里.
设x小时后快车追上慢车.
由题意得,140x=90x+480
解这个方程,50x=480 ∴ x=9.6
答：略.
分析：追及问题,等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里.
设快车开出x小时后追上慢车.由题意得,140x=90(x+1)+480
50x=570 解得, x=11.4
答：略. 8. 利润赢亏问题
(1)销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等
(2)有关关系式：
商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价
商品利润率=商品利润/商品进价
商品售价=商品标价×折扣率
例8. 一家商店将某种服装按进价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件仍获利15元,这种服装每件的进价是多少?
分析：探究题目中隐含的条件是关键,可直接设出成本为X元
进价 折扣率 标价 优惠价 利润
x元 8折 (1+40%)x元 80%(1+40%)x 15元
等量关系：(利润=折扣后价格—进价)折扣后价格-进价=15
设进价为X元,80%X(1+40%)—X=15,X=125
答：略.
9. 储蓄问题
⑴ 顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税
⑵ 利息=本金×利率×期数
本息和=本金+利息
利息税=利息×税率(20%)
例9. 某同学把250元钱存入银行,整存整取,存期为半年.半年后共得本息和252.7元,求银行半年期的年利率是多少?(不计利息税)
分析：等量关系：本息和=本金×(1+利率)
设半年期的实际利率为x,
250(1+x)=252.7,
x=0.0108
所以年利率为0.0108×2=0.0216
