冀教版初二上册数学期末试卷(2)
∴EF=DF=BF=FC，
故答案为：BF、CF、DF.
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
18.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 49 cm2.
【考点】勾股定理.
【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积.
【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，
故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2.
故答案为：49cm2.
【点评】熟练运用勾股定理进行面积的转换.
19.将一副三角板按如图所示叠放，若设AB=1，则四边形ABCD的面积为 .
【考点】勾股定理.
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AD=AB=1，解直角三角形得到BC= AB= ，根据梯形的面积公式即可的结论.
【解答】解：∵△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=AB=1，
∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴BC= AB= ，
∴四边形ABCD的面积= (AD+BC)•AB= (1+ )×1= ，
故答案为： .
【点评】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟记勾股定理是解题的关键.
20.铁路上A、B两站(视为直线上两点)相距25km，C、D为两村庄(视为两个点)，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B(如图)，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建设一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站 10 km处.
【考点】勾股定理的应用;线段垂直平分线的性质.
【专题】压轴题.
【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE中，DE2=AD2+AE2，CE2=BE2+BC2，∴AD2+AE2=BE2+BC2，设AE为x，则BE=25﹣x，将BC=10代入关系式即可求得.
【解答】解：∵C、D两村到E站距离相等，∴CE=DE，
在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2=AD2+AE2，CE2=BE2+BC2，
∴AD2+AE2=BE2+BC2.
设AE为x，则BE=25﹣x，
将BC=10，DA=15代入关系式为x2+152=(25﹣x)2+102，
整理得，50x=500，
解得x=10，
∴E站应建在距A站10km处.
【点评】此题考查勾股定理的应用，是基础知识要熟练掌握.
三、解答题(共6小题，满分50分)
21.计算：( + ) .
【考点】二次根式的混合运算.
【分析】先化简二次根式，再进行二次根式的除法即可.
【解答】解：原式=(3 +2 )÷
=5 ÷
=5.
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算.
22.解方程： .
【考点】解分式方程.
【专题】计算题.
【分析】本题的最简公分母是(x+1)(x﹣1)，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解.
【解答】解：方程两边都乘(x+1)(x﹣1)，
得：(x﹣1)+2(x+1)=4.
解得：x=1.
经检验：x=1是增根.
∴原方程无解.
【点评】本题考查的是解分式方程，
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解.
(2)解分式方程一定注意要代入最简公分母验根.
23.已知线段AB和点O，画出线段AB关于点O的中心对称图形，保留必要的作图痕迹，并完成填空：
解：
(1)连结AO，BO，并延长AO到点C，延长BO到点D，使得OC= OA ，OD= OB .
(2)连结 CD .
线段CD即为所求.
观察作图结果，你认为线段AB与线段CD的位置关系是 AB∥CD .
理由如下：
依作图过程可证△ABO≌ △CDO .
证明三角形全等所依据的判定定理简称为 SAS .
由三角形全等可得∠A= ∠C .
从而根据 内错角相等两直线平行 判定出线段AB与CD的位置关系.
【考点】作图-旋转变换.
【专题】推理填空题.
【分析】按照作图的步骤可以得出(1)(2)结论，找两线段关系时，明显用到了三角形的全等，从而得出两线段平行.
【解答】解：作图步骤如下：
(1)连结AO，BO，并延长AO到点C，延长BO到点D，使得OC=OA，OD=OB.
(2)连结CD.
线段CD即为所求.
故得出结论：(1)OC=OA，OD=DB.(2)CD.
推断线段AB与线段CD是平行的.
在△AOB和△COD中，OA=OC，OB=OD，且∠AOB=∠COD(对顶角相等)，
∴△ABO≌△CDO(SAS)，∠A=∠C，
∴AB∥CD.
故得出结论：
观察作图结果，你认为线段AB与线段CD的位置关系是AB∥CD.
理由如下：
依作图过程可证△ABO≌△CDO.
证明三角形全等所依据的判定定理简称为SAS.
由三角形全等可得∠A=∠C.
从而根据内错角相等两直线平行判定出线段AB与CD的位置关系.
【点评】本题在考查学生对全等三角形的理解与应用的同时还考查了两直线平行的判定定理，让学生们意识到不同知识点的穿插运用，为以后的综合运用题打好基础.
24.对于题目：“化简并求值： ，其中a= .”
甲、乙两人的解答不同，甲的解答是：
= = ;
乙的答案是： = = = = .
谁的解答是错误的?谁的解答是正确的?为什么?
【考点】二次根式的化简求值.
【分析】首先得出当a= 时， =5，即可得出a﹣ <0，再利用二次根式的性质化简求出答案.
【解答】解：甲的解答错误，
当a= 时， =5，a﹣ <0，
∴ =|a﹣ |= ﹣a，
故乙的解答正确.
【点评】此题主要考查了二次根式的化简与求值，正确利用二次根式的性质化简是解题关键.
25.如图，P是等边△ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转60°后，得到△P′AB.
(1)△APP′的形状是 等边三角形 ;
(2)求∠APB的度数.
【考点】旋转的性质;等边三角形的判定与性质.
【专题】计算题.
【分析】(1)根据旋转的性质得∠PAP′=∠BAC=60°，AP=AP′，则可判断△APP′为等边三角形;
(2)由△APP′为等边三角形得到PP′=AP=6，∠APP′=60°，再由旋转性质得P′B=PC=10，则可根据勾股定理的逆定理证明△BPP′为直角三角形，∠BPP′=90°，所以∠APB=∠APP′+∠BPP′=150°.
【解答】解：(1)∵将△PAC绕点A逆时针旋转60°后，得到△P′AB，
∴∠PAP′=∠BAC=60°，AP=AP′，
∴△APP′为等边三角形;
故答案为等边三角形;
(2)∵△APP′为等边三角形，
∴PP′=AP=6，∠APP′=60°，
∵将△PAC绕点A逆时针旋转60°后，得到△P′AB，
∴P′B=PC=10，
在△PBP′中，BP′=10，BP=8，PP′=6，
∵62+82=102，
∴PP′2+BP2=BP′2，
∴△BPP′为直角三角形，∠BPP′=90°，
∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=60°+90°=150°.
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的判断与性质和勾股定理的逆定理.
26.如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E;
(1)若B、C在DE的同侧(如图所示)且AD=CE.求证：AB⊥AC;
(2)若B、C在DE的两侧(如图所示)，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗?若是请给出证明;若不是，请说明理由.
【考点】直角三角形全等的判定;全等三角形的性质.
【专题】证明题;探究型.
【分析】(1)由已知条件，证明ABD≌△ACE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC;
(2)同(1)，先证ABD≌△ACE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC.
【解答】(1)证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
∵ ，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE.
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠ACE.
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°.
∠BAC=180°﹣(∠BAD+∠CAE)=90°.
∴AB⊥AC.
(2)AB⊥AC.理由如下：
同(1)一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE.
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC.
【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，借助全等三角形的性质得到相等的角，然后证明垂直是经常使用的方法，注意掌握、应用.
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