初中八年级数学上册第14章全等三角形单元试卷
仔细做八年级数学单元试卷题，学会洒脱;出错要少，检查要多;这是学习啦小编整理的初中八年级数学上册第14章全等三角形单元试卷，希望你能从中得到感悟!
初中八年级数学上册第14章全等三角形单元试题
一、选择题(共9小题)
1.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是( )
A.4cm B.6cm C.8cm D.9cm
2.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1， )，则点C的坐标为( )
A.(﹣ ，1) B.(﹣1， ) C.( ，1) D.(﹣ ，﹣1)
3.在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线(箭头表示行进的方向)，则路程最长的行进路线图是( )
A. B. C. D.
4.如图，坐标平面上，△ABC与△DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F，且AB=BC=5.若A点的坐标为(﹣3，1)，B、C两点在方程式y=﹣3的图形上，D、E两点在y轴上，则F点到y轴的距离为何?( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5.平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图.若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为( )
A.110° B.125° C.130° D.155°
6.如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F.若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于( )
A.∠EDB B.∠BED C. ∠AFB D.2∠ABF
7.如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE= DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C.设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是( )
A.y=﹣ B.y=﹣ C.y=﹣ D.y=﹣
8.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=( )
A. B. C. D. ﹣2
9.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为( )
A. a2 B. a2 C. a2 D. a2
二、解答题(共21小题)
10.已知△ABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC，以DC为边在DC两侧作等边△DCE和等边△DCF(点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或下侧)，连接AE、BF
(1)如图1，若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样的数量关系?并证明你的结论;
(2)如图2，若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数量关系?请直接写出结论(不需要证明);
(3)若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE、BF和AB有怎样的数量关系，并直接写出结论(不需要证明)
11.如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=CD，∠CEF=90°.
(1)若∠ECF=30°，CF=8，求CE的长;
(2)求证：△ABF≌△DEC;
(3)求证：四边形BCEF是矩形.
12.如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC.
(1)求证：△ABE≌DCE;
(2)当∠AEB=50°，求∠EBC的度数?
13.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E.
(1)求证：△ACD≌△AED;
(2)若∠B=30°，CD=1，求BD的长.
14.如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE.求证：AD=AE.
15.已知：如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，AB∥CD.
求证：AB=CD.
16.如图，把一个直角三角形ACB(∠ACB=90°)绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置.F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H.
(1)求证：CF=DG;
(2)求出∠FHG的度数.
17.如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF.
18.如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上.求证：BD=CE.
19.如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D.求证：AB=DE.
20.(1)如图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证：BC=BD;
(2)列方程解应用题
把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本;如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生?
21.(1)如图1，在△ABC和△DCE中，AB∥DC，AB=DC，BC=CE，且点B，C，E在一条直线上.求证：∠A=∠D.
(2)如图2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，求AC的长.
22.如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G.
(1)求证：AE=CF;
(2)若∠ABE=55°，求∠EGC的大小.
23.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.
(1)求证：BE=CF;
(2)在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.
求证：①ME⊥BC;②DE=DN.
24.【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF.
(1)如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF.
(2)如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF.
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等.
(3)在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等.(不写作法，保留作图痕迹)
(4)∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF?请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ，则△ABC≌△DEF.
25.问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E，F分别是BC，CD上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ;
探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由;
实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离.
26.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF.
(1)证明：△CBF≌△CDF;
(2)若AC=2 ，BD=2，求四边形ABCD的周长;
(3)请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明.
27.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF.求证：AE=CF.
28.(1)如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG.求证：EF=FG.
(2)如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长.
29.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG.求证：
(1)AF=CG;
(2)CF=2DE.
30.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF.
(1)如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF;
(2)当∠BAE≠90°时，(1)的结论是否成立?请结合图②说明理由.
初中八年级数学上册第14章全等三角形单元试卷参考答案
一、选择题(共9小题)
1.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是( )
A.4cm B.6cm C.8cm D.9cm
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】求出∠FBD=∠CAD，AD=BD，证△DBF≌△DAC，推出BF=AC，代入求出即可.
【解答】解：∵F是高AD和BE的交点，
∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°，
∴∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠CAD=∠FBD，
∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°=∠ABD，
∴AD=BD，
在△DBF和△DAC中
∴△DBF≌△DAC(ASA)，
∴BF=AC=8cm，
故选C.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△DBF≌△DAC.
2.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1， )，则点C的坐标为( )
A.(﹣ ，1) B.(﹣1， ) C.( ，1) D.(﹣ ，﹣1)
【考点】全等三角形的判定与性质;坐标与图形性质;正方形的性质.
【专题】几何图形问题.
【分析】过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出∠OAD=∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可.
【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠COE+∠AOD=90°，
又∵∠OAD+∠AOD=90°，
∴∠OAD=∠COE，
在△AOD和△OCE中，
，
∴△AOD≌△OCE(AAS)，
∴OE=AD= ，CE=OD=1，
∵点C在第二象限，
∴点C的坐标为(﹣ ，1).
故选：A.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点.
3.在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线(箭头表示行进的方向)，则路程最长的行进路线图是( )
A. B. C. D.
【考点】全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质.
【专题】压轴题.
【分析】分别构造出平行四边形和三角形，根据平行四边形的性质和全等三角形的性质进行比较，即可判断.
【解答】
解：A、延长AC、BE交于S，
∵∠CAB=∠EDB=45°，
∴AS∥ED，则SC∥DE.
同理SE∥CD，
∴四边形SCDE是平行四边形，
∴SE=CD，DE=CS，
即走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS;
B、延长AF、BH交于S1，作FK∥GH与BH的延长线交于点K，
∵∠SAB=∠S1AB=45°，∠SBA=∠S1BA=70°，AB=AB，
∴△SAB≌△S1AB，
∴AS=AS1，BS=BS1，
∵∠FGH=180°﹣70°﹣43°=67°=∠GHB，
∴FG∥KH，
∵FK∥GH，
∴四边形FGHK是平行四边形，
∴FK=GH，FG=KH，
∴AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，
∵FS1+S1K>FK，
∴AS+BS>AF+FK+KH+HB，
即AC+CD+DE+EB>AF+FG+GH+HB，
C、D、同理可证得AI+IK+KM+MB
综上所述，D选项的所走的线路最长.
故选：D.
【点评】本题考查了平行线的判定，平行四边形的性质和判定的应用，注意：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等.
4.如图，坐标平面上，△ABC与△DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F，且AB=BC=5.若A点的坐标为(﹣3，1)，B、C两点在方程式y=﹣3的图形上，D、E两点在y轴上，则F点到y轴的距离为何?( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考点】全等三角形的判定与性质;坐标与图形性质.
【分析】如图，作AH、CK、FP分别垂直BC、AB、DE于H、K、P.由AB=BC，△ABC≌△DEF，就可以得出△AKC≌△CHA≌△DPF，就可以得出结论.
【解答】解：如图，作AH、CK、FP分别垂直BC、AB、DE于H、K、P.
∴∠DPF=∠AKC=∠CHA=90°.
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA.
在△AKC和△CHA中
，
∴△AKC≌△CHA(ASA)，
∴KC=HA.
∵B、C两点在方程式y=﹣3的图形上，且A点的坐标为(﹣3，1)，
∴AH=4.
∴KC=4.
∵△ABC≌△DEF，
∴∠BAC=∠EDF，AC=DF.
在△AKC和△DPF中，
，
∴△AKC≌△DPF(AAS)，
∴KC=PF=4.
故选：C.
【点评】本题考查了坐标与图象的性质的运用，垂直的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.
5.平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图.若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为( )
A.110° B.125° C.130° D.155°
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】易证△ACD≌△BCE，由全等三角形的性质可知：∠A=∠B，再根据已知条件和四边形的内角和为360°，即可求出∠BPD的度数.
【解答】解：在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE(SSS)，
∴∠A=∠B，∠BCE=∠ACD，
∴∠BCA=∠ECD，
∵∠ACE=55°，∠BCD=155°，
∴∠BCA+∠ECD=100°，
∴∠BCA=∠ECD=50°，
∵∠ACE=55°，
∴∠ACD=105°
∴∠A+∠D=75°，
∴∠B+∠D=75°，
∵∠BCD=155°，
∴∠BPD=360°﹣75°﹣155°=130°，
故选：C.
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理，解题的关键是利用整体的数学思想求出∠B+∠D=75°.
6.如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F.若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于( )
A.∠EDB B.∠BED C. ∠AFB D.2∠ABF
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ACB与∠DBE的关系，根据三角形外角的性质，可得答案.
【解答】解：在△ABC和△DEB中，
，
∴△ABC≌△DEB (SSS)，
∴∠ACB=∠DBE.
∵∠AFB是△BFC的外角，
∴∠ACB+∠DBE=∠AFB，
∠ACB= ∠AFB，
故选：C.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质.
7.如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE= DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C.设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是( )
A.y=﹣ B.y=﹣ C.y=﹣ D.y=﹣
【考点】全等三角形的判定与性质;函数关系式;相似三角形的判定与性质.
【专题】数形结合.
【分析】作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG=BE=x，EG=DB=2x，然后根据平行线的性质即可求得.
【解答】解：作FG⊥BC于G，
∵∠DEB+∠FEC=90°，∠DEB+∠BDE=90°;
∴∠BDE=∠FEG，
在△DBE与△EGF中
∴△DBE≌△EGF，
∴EG=DB，FG=BE=x，
∴EG=DB=2BE=2x，
∴GC=y﹣3x，
∵FG⊥BC，AB⊥BC，
∴FG∥AB，
CG：BC=FG：AB，
即 = ，
∴y=﹣ .
故选：A.
【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，以及平行线的性质，辅助线的做法是解题的关键.
8.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=( )
A. B. C. D. ﹣2
【考点】全等三角形的判定与性质;三角形的面积;角平分线的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】连接AC，通过三角形全等，求得∠BAC=30°，从而求得BC的长，然后根据勾股定理求得CM的长，
连接MN，过M点作ME⊥CN于E，则△MNA是等边三角形求得MN=2，设NE=x，表示出CE，根据勾股定理即可求得ME，然后求得tan∠MCN.
【解答】解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，
∴AM=AN=2，BM=DN=4，
连接MN，连接AC，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°
在Rt△ABC与Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)
∴∠BAC=∠DAC= ∠BAD=30°，MC=NC，
∴BC= AC，
∴AC2=BC2+AB2，即(2BC)2=BC2+AB2，
3BC2=AB2，
∴BC=2 ，
在Rt△BMC中，CM= = =2 .
∵AN=AM，∠MAN=60°，
∴△MAN是等边三角形，
∴MN=AM=AN=2，
过M点作ME⊥CN于E，设NE=x，则CE=2 ﹣x，
∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=(2 )2﹣(2 ﹣x)2，
解得：x= ，
∴EC=2 ﹣ = ，
∴ME= = ，
∴tan∠MCN= =
故选：A.
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角函数，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.
9.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为( )
A. a2 B. a2 C. a2 D. a2
【考点】全等三角形的判定与性质;正方形的性质.
【专题】几何图形问题;压轴题.
【分析】过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解.
【解答】解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
又∵∠EPM=∠EQN=90°，
∴∠PEQ=90°，
∴∠PEM+∠MEQ=90°，
∵三角形FEG是直角三角形，
∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，
∴∠PEM=∠NEQ，
∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，
∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形，
在△EPM和△EQN中，
，
∴△EPM≌△EQN(ASA)
∴S△EQN=S△EPM，
∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，
∵正方形ABCD的边长为a，
∴AC= a，
∵EC=2AE，
∴EC= a，
∴EP=PC= a，
∴正方形PCQE的面积= a× a= a2，
∴四边形EMCN的面积= a2，
故选：D.
【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△EPM≌△EQN.
二、解答题(共21小题)
10.(2013•阜新)已知△ABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC，以DC为边在DC两侧作等边△DCE和等边△DCF(点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或下侧)，连接AE、BF
(1)如图1，若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样的数量关系?并证明你的结论;
(2)如图2，若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数量关系?请直接写出结论(不需要证明);
(3)若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE、BF和AB有怎样的数量关系，并直接写出结论(不需要证明)
【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
【分析】(1)AE+BF=AB，可证明△CBF≌△CAD和△CDB≌△CAE分别得到AD=BF，BD=AE，易得结论;
(2)BF﹣AE=AB，由△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE分别得到AD=BF，BD=AE，易得结论;
(3)AE﹣BF=AB，由△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE分别得到AD=BF，BD=AE，易得结论.
【解答】解：(1)AE+BF=AB，如图1，
∵△ABC和△DCF是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CF，∠ACB=∠DCF=60°.
∴∠ACD=∠BCF，
在△ACD和△BCF中
∴△ACD≌△BCF(SAS)
∴AD=BF
同理：△CBD≌△CAE(SAS)
∴BD=AE
∴AE+BF=BD+AD=AB;
(2)BF﹣AE=AB，
如图2，易证△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，
∴AD=BF，BD=AE，
∴BF﹣AE=AD﹣BD=AB;
(3)AE﹣BF=AB，
如图3，易证△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，
∴AD=BF，BD=AE，
∴BF﹣AE=AD﹣BD=AB.
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，灵活运用类比思想，在变化中发现不变是解决问题的关键.
11.如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=CD，∠CEF=90°.
(1)若∠ECF=30°，CF=8，求CE的长;
(2)求证：△ABF≌△DEC;
(3)求证：四边形BCEF是矩形.
【考点】全等三角形的判定与性质;矩形的判定.
【分析】(1)解直角三角形即可求出答案;
(2)根据平行线性质求出∠A=∠D，根据SAS推出两三角形全等即可;
(3)根据全等三角形的性质得出BF=CE，∠AFB=∠DCE，求出∠BFC=∠ECF，推出BF∥EC，根据平行四边形的判定推出四边形BCEF是平行四边形，根据矩形的判定推出即可.
【解答】(1)解：∵∠CEF=90°.
∴cos∠ECF= .
∵∠ECF=30°，CF=8.
∴CF=CF•cos30°=8× =4 ;
(2)证明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
∵在△ABF和△DEC中
∴△ABF≌△DEC (SAS);
(3)证明：由(2)可知：△ABF≌△DEC，
∴BF=CE，∠AFB=∠DCE，
∵∠AFB+∠BFC=180°，∠DCE+∠ECF=180°，
∴∠BFC=∠ECF，
∴BF∥EC，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∵∠CEF=90°，
∴四边形BCEF是矩形.
【点评】本题考查了解直角三角形，平行四边形的判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，综合运用性质定理进行推理是解此题的关键，难度适中.
12.如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC.
(1)求证：△ABE≌DCE;
(2)当∠AEB=50°，求∠EBC的度数?
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】(1)根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等;
(2)根据三角形全等得出EB=EC，推出∠EBC=∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB=2∠EBC，代入求出即可.
【解答】(1)证明：∵在△ABE和△DCE中
∴△ABE≌△DCE(AAS);
(2)解：∵△ABE≌△DCE，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，
∴∠EBC=25°.
【点评】本题考查了三角形外角性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力.
13.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E.
(1)求证：△ACD≌△AED;
(2)若∠B=30°，CD=1，求BD的长.
【考点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;含30度角的直角三角形.
【分析】(1)根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可;
(2)求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可.
【解答】(1)证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，
∵在Rt△ACD和Rt△AED中
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL);
(2)解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2.
【点评】本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含30度角的直角三角形性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等.
14.如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE.求证：AD=AE.
【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.
【专题】证明题.
【分析】利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C，然后证明△ABD≌△ACE即可证得结论.
【解答】证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABD与△ACE中，
∵ ，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD=AE.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用等边对等角得到∠B=∠C.
15.已知：如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，AB∥CD.
求证：AB=CD.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【专题】证明题.
【分析】首先根据AB∥CD，可得∠B=∠C，∠A=∠D，结合OA=OD，可知证明出△AOB≌△DOC，即可得到AB=CD.
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，∠A=∠D，
∵在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC(AAS)，
∴AB=CD.
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质的知识，解答本题的关键是熟练掌握判定定理以及平行线的性质，此题基础题，比较简单.
16.(2013•大庆)如图，把一个直角三角形ACB(∠ACB=90°)绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置.F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H.
(1)求证：CF=DG;
(2)求出∠FHG的度数.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】(1)在△CBF和△DBG中，利用SAS即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得;
(2)根据全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理，即可证得∠DHF=∠CBF=60°，从而求解.
【解答】(1)证明：∵在△CBF和△DBG中，
，
∴△CBF≌△DBG(SAS)，
∴CF=DG;
(2)解：∵△CBF≌△DBG，
∴∠BCF=∠BDG，
又∵∠CFB=∠DFH，
又∵△BCF中，∠CBF=180°﹣∠BCF﹣∠CFB，
△DHF中，∠DHF=180°﹣∠BDG﹣∠DFH，
∴∠DHF=∠CBF=60°，
∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键.
17.如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【专题】证明题.
【分析】求出BC=EF，根据平行线性质求出∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，根据ASA推出△ABC≌△DEF即可.
【解答】证明：∵FB=CE，
∴FB+FC=CE+FC，
∴BC=EF，
∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，
∵在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(ASA)，
∴AC=DF.
【点评】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力.
18.如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上.求证：BD=CE.
【考点】全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.
【专题】证明题.
【分析】求出AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠EAC，根据SAS证出△ADB≌△AEC即可.
【解答】证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AD=AE，AB=AC，
又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD，
∴∠DAB=∠EAC，
∵在△ADB和△AEC中
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴BD=CE.
【点评】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△ADB≌△AEC.
19.如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D.求证：AB=DE.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【专题】证明题.
【分析】首先得出BC=EF，利用平行线的性质∠B=∠DEF，再利用AAS得出△ABC≌△DEF，即可得出答案.
【解答】证明：∵BE=CF，∴BC=EF.
∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF.
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(AAS)，
∴AB=DE.
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.
20.(1)如图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证：BC=BD;
(2)列方程解应用题
把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本;如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生?
【考点】全等三角形的判定与性质;一元一次方程的应用.
【分析】(1)求出∠CAB=∠DAB，根据SAS推出△ABC≌△ABD即可;
(2)设这个班有x名学生，根据题意得出方程3x+20=4x﹣25，求出即可.
【解答】(1)证明：∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB=∠DAB，
在△ABC和△ABD中
∴△ABC≌△ABD(SAS)，
∴BC=BD.
(2)解：设这个班有x名学生，根据题意得：3x+20=4x﹣25，
解得：x=45，
答：这个班有45名学生.
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，主要考查学生的推理能力和列方程的能力.
21.(1)如图1，在△ABC和△DCE中，AB∥DC，AB=DC，BC=CE，且点B，C，E在一条直线上.求证：∠A=∠D.
(2)如图2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，求AC的长.
【考点】全等三角形的判定与性质;矩形的性质.
【分析】(1)首先根据平行线的性质可得∠B=∠DCE，再利用SAS定理证明△ABC≌△DCE可得∠A=∠D;
(2)根据矩形的性质可得AO=BO=CO=DO，再证明△AOB是等边三角形，可得AO=AB=4，进而得到AC=2AO=8.
【解答】(1)证明：∵AB∥DC，
∴∠B=∠DCE，
在△ABC和△DCE中 ，
∴△ABC≌△DCE(SAS)，
∴∠A=∠D;
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=AB=4，
∴AC=2AO=8.
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及矩形的性质和等边三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.
22.如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G.
(1)求证：AE=CF;
(2)若∠ABE=55°，求∠EGC的大小.
【考点】全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形;正方形的性质.
【专题】几何综合题.
【分析】(1)利用△AEB≌△CFB来求证AE=CF.
(2)利用角的关系求出∠BEF和∠EBG，∠EGC=∠EBG+∠BEF求得结果.
【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵BE⊥BF，
∴∠FBE=90°，
∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△AEB和△CFB中，
∴△AEB≌△CFB(SAS)，
∴AE=CF.
(2)解：∵BE⊥BF，
∴∠FBE=90°，
又∵BE=BF，
∴∠BEF=∠EFB=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
又∵∠ABE=55°，
∴∠EBG=90°﹣55°=35°，
∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°.
【点评】本题主要考查了正方形，三角形全等判定和性质及等腰三角形，解题的关键是求得△AEB≌△CFB，找出相等的线段.
23.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.
(1)求证：BE=CF;
(2)在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.
求证：①ME⊥BC;②DE=DN.
【考点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;等腰直角三角形.
【专题】证明题;几何综合题.
【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，从而得到∠B=∠ACF，根据同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可;
(2)①过点E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到△HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可;
②求出∠CAE=∠CEA=67.5°，根据等角对等边可得AC=CE，再利用“HL”证明Rt△ACM和Rt△ECM全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACM=∠ECM=22.5°，从而求出∠DAE=∠ECM，根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD，再利用“角边角”证明△ADE和△CDN全等，根据全等三角形对应边相等证明即可.
【解答】证明：(1)∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵FC⊥BC，
∴∠BCF=90°，
∴∠ACF=90°﹣45°=45°，
∴∠B=∠ACF，
∵∠BAC=90°，FA⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE=90°，
∠CAF+∠CAE=90°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF(ASA)，
∴BE=CF;
(2)①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，
∴HE=BH，∠BEH=45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，
∴DE=HE，
∴DE=BH=HE，
∵BM=2DE，
∴HE=HM，
∴△HEM是等腰直角三角形，
∴∠MEH=45°，
∴∠BEM=45°+45°=90°，
∴ME⊥BC;
②由题意得，∠CAE=45°+ ×45°=67.5°，
∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠CAE=∠CEA=67.5°，
∴AC=CE，
在Rt△ACM和Rt△ECM中
， ，
∴Rt△ACM≌Rt△ECM(HL)，
∴∠ACM=∠ECM= ×45°=22.5°，
又∵∠DAE= ×45°=22.5°，
∴∠DAE=∠ECM，
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，
∴AD=CD= BC，
在△ADE和△CDN中，
，
∴△ADE≌△CDN(ASA)，
∴DE=DN.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键，难点在于最后一问根据角的度数得到相等的角.
24.【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF.
(1)如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 HL ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF.
(2)如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF.
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等.
(3)在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等.(不写作法，保留作图痕迹)
(4)∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF?请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ∠B≥∠A ，则△ABC≌△DEF.
【考点】全等三角形的判定与性质;作图—应用与设计作图.
【专题】压轴题;探究型.
【分析】(1)根据直角三角形全等的方法“HL”证明;
(2)过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等;
(3)以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等;
(4)根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可.
【解答】(1)解：HL;
(2)证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，
∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，
∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
，
∴△CBG≌△FEH(AAS)，
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL)，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(AAS);
(3)解：如图，△DEF和△ABC不全等;
(4)解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF.
故答案为：(1)HL;(4)∠B≥∠A.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细.
25.问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E，F分别是BC，CD上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF=BE+DF ;
探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由;
实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【专题】压轴题;探究型.
【分析】问题背景：根据全等三角形对应边相等解答;
探索延伸：延长FD到G，使DG=BE，连接AG，根据同角的补角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“边角边”证明△AEF和△GAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后求解即可;
实际应用：连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出∠EOF= ∠AOB，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可.
【解答】解：问题背景：EF=BE+DF;
探索延伸：EF=BE+DF仍然成立.
证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF= ∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△GAF(SAS)，
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF;
实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，
∵∠AOB=30°+90°+(90°﹣70°)=140°，
∠EOF=70°，
∴∠EOF= ∠AOB，
又∵OA=OB，
∠OAC+∠OBC=(90°﹣30°)+(70°+50°)=180°，
∴符合探索延伸中的条件，
∴结论EF=AE+BF成立，
即EF=1.5×(60+80)=210海里.
答：此时两舰艇之间的距离是210海里.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点.
26.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF.
(1)证明：△CBF≌△CDF;
(2)若AC=2 ，BD=2，求四边形ABCD的周长;
(3)请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明.
【考点】全等三角形的判定与性质;勾股定理;菱形的判定与性质.
【专题】几何综合题;开放型.
【分析】(1)首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BCA=∠DCA即可证明△CBF≌△CDF.
(2)由△ABC≌△ADC可知，△ABC与△ADC是轴对称图形，得出OB=OD，∠COB=∠COD=90°，因为OC=OA，所以AC与BD互相垂直平分，即可证得四边形ABCD是菱形，然后根据勾股定理全等AB长，进而求得四边形的面积.
(3)首先证明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，进而得到∠EFD=∠BCD=∠BAD.
【解答】(1)证明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BCA=∠DCA，
在△CBF和△CDF中，
，
∴△CBF≌△CDF(SAS)，
(2)解：∵△ABC≌△ADC，
∴△ABC和△ADC是轴对称图形，
∴OB=OD，BD⊥AC，
∵OA=OC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，
∵AC=2 ，BD=2，
∴OA= ，OB=1，
∴AB= = =2，
∴四边形ABCD的周长=4AB=4×2=8.
(3)当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD，
理由：∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，
∵△BCF≌△DCF，
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，
∴∠EFD=∠BAD.
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.
27.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF.求证：AE=CF.
【考点】全等三角形的判定与性质;平行四边形的性质.
【专题】证明题.
【分析】根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ABD=∠CDB，然后求出∠ABE=∠CDF，再利用“边角边”证明△ABE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可.
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴180°﹣∠ABD=180°﹣∠CDB，
即∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟记性质与三角形全等的判定方法求出全等的条件是解题的关键.
28.(1)如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG.求证：EF=FG.
(2)如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长.
【考点】全等三角形的判定与性质;正方形的性质.
【专题】证明题;压轴题.
【分析】(1)证△ADG≌△ABE，△FAE≌△FAG，根据全等三角形的性质求出即可;
(2)过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM.连接AE、EN.通过证明△ABM≌△ACE(SAS)推知全等三角形的对应边AM=AE、对应角∠BAM=∠CAE;然后由等腰直角三角形的性质和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN(SAS)，故全等三角形的对应边MN=EN;最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2.
【解答】(1)证明：在正方形ABCD中，
∠ABE=∠ADG，AD=AB，
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∴∠EAG=90°，
在△FAE和△GAF中，
，
∴△FAE≌△GAF(SAS)，
∴EF=FG;
(2)解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM.连接AE、EN.
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°.
∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°.
在△ABM和△ACE中，
∴△ABM≌△ACE(SAS).
∴AM=AE，∠BAM=∠CAE.
∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°.
于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°.
在△MAN和△EAN中，
∴△MAN≌△EAN(SAS).
∴MN=EN.
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2.
∴MN2=BM2+NC2.
∵BM=1，CN=3，
∴MN2=12+32，
∴MN=
【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用.
29.(2014•重庆)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG.求证：
(1)AF=CG;
(2)CF=2DE.
【考点】全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.
【专题】证明题.
【分析】(1)要证AF=CG，只需证明△AFC≌△CBG即可.
(2)延长CG交AB于H，则CH⊥AB，H平分AB，继而证得CH∥AD，得出DG=BG和△ADE与△CGE全等，从而证得CF=2DE.
【解答】证明：(1)∵∠ACB=90°，CG平分∠ACB，
∴∠ACG=∠BCG=45°，
又∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAF=∠CBF=45°，
∴∠CAF=∠BCG，
在△AFC与△CGB中，
，
∴△AFC≌△CBG(ASA)，
∴AF=CG;
(2)延长CG交AB于H，
∵CG平分∠ACB，AC=BC，
∴CH⊥AB，CH平分AB，
∵AD⊥AB，
∴AD∥CG，
∴∠D=∠EGC，
在△ADE与△CGE中，
，
∴△ADE≌△CGE(AAS)，
∴DE=GE，
即DG=2DE，
∵AD∥CG，CH平分AB，
∴DG=BG，
∵△AFC≌△CBG，
∴CF=BG，
∴CF=2DE.
【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质、平行线的判定及性质，三角形全等是解本题的关键.
30.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF.
(1)如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF;
(2)当∠BAE≠90°时，(1)的结论是否成立?请结合图②说明理由.
【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;三角形中位线定理;旋转的性质.
【专题】几何综合题.
【分析】(1)因为AF是直角三角形ABE的中线，所以BE=2AF，然后通过△ABE≌△ACD即可求得.
(2)延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，证出△ABH≌△ACD从而证得BH=CD，然后根据三角形的中位线等于底边的一半，求得BH=2AF，即可求得.
【解答】(1)证明：如图①，
∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，
∴∠DAC=90°，
在△ABE与△ACD中
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
∴CD=BE，
∵在Rt△ABE中，F为BE的中点，
∴BE=2AF，
∴CD=2AF.
(2)成立，
证明：如图②，延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
∴∠EAB+∠DAC=180°，
∵∠EAB+∠BAH=180°，
∴∠DAC=∠BAH，
在△ABH与△ACD中，
∴△ABH≌△ACD(SAS)
∴BH=DC，
∵AD=AE，AH=AD，
∴AE=AH，
∵EF=FB，
∴BH=2AF，
∴CD=2AF.
【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质等.作出正确的辅助线是解题关键
看了“初中八年级数学上册第14章全等三角形单元试卷”的人还看了：
