辽宁省高三数学一模试卷答案解析
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辽宁省高三数学一模试卷答案解析选择题
(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.(5分)(2015•沈阳一模)若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合(∁UM)∩N等于( )
A. {2，3} B. {2，3，5，6} C. {1，4} D. {1，4，5，6}
【考点】： 交、并、补集的混合运算.
【专题】： 集合.
【分析】： 根据集合的基本运算即可得到结论.
【解析】： 解：由补集的定义可得∁UN={2，3，5}，
则(∁UN)∩M={2，3}，
故选：A
【点评】： 本题主要考查集合的基本运算，比较基础.
2.(5分)(2015•沈阳一模)设复数z满足(1﹣i)z=2i，则z=( )
A. ﹣1+i B. ﹣1﹣i C. 1+i D. 1﹣i
【考点】： 复数代数形式的乘除运算.
【专题】： 计算题.
【分析】： 根据所给的等式两边同时除以1﹣i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果.
【解析】： 解：∵复数z满足z(1﹣i)=2i，
∴z= =﹣1+i
故选A.
【点评】： 本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算.
3.(5分)(2014•安徽)“x<0”是“ln(x+1)<0”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【考点】： 充要条件.
【专题】： 计算题;简易逻辑.
【分析】： 根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.
【解析】： 解：∵x<0，∴x+1<1，当x+1>0时，ln(x+1)<0;
∵ln(x+1)<0，∴0
∴“x<0”是ln(x+1)<0的必要不充分条件.
故选：B.
【点评】： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础.
4.(5分)(2015•沈阳一模)抛物线y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是( )
A. (0，a) B. (a，0) C. (0， ) D. ( ，0)
【考点】： 抛物线的简单性质.
【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】： 先将抛物线的方程化为标准式，再求出抛物线的焦点坐标.
【解析】： 解：由题意知，y=4ax2(a≠0)，则x2= ，
所以抛物线y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是(0， )，
故选：C.
【点评】： 本题考查抛物线的标准方程、焦点坐标，属于基础题.
5.(5分)(2015•沈阳一模)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sn+2﹣Sn=36，则n=( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【考点】： 等差数列的性质.
【专题】： 等差数列与等比数列.
【分析】： 由Sn+2﹣Sn=36，得an+1+an+2=36，代入等差数列的通项公式求解n.
【解析】： 解：由Sn+2﹣Sn=36，得：an+1+an+2=36，
即a1+nd+a1+(n+1)d=36，
又a1=1，d=2，
∴2+2n+2(n+1)=36.
解得：n=8.
故选：D.
【点评】： 本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础题.
6.(5分)(2015•沈阳一模)已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸 (单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )
A. B. C. 2cm3 D. 4cm3
【考点】： 棱柱、棱锥、棱台的体积.
【专题】： 空间位置关系与距离.
【分析】： 由题目给出的几何体的三视图，还原得到原几何体，然后直接利用三棱锥的体积公式求解.
【解析】： 解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，
如图，
故 ，
故选B.
【点评】： 本题考查了棱锥的体积，考查了空间几何体的三视图，能够由三视图还原得到原几何体是解答该题的关键，是基础题.
7.(5分)(2015•沈阳一模)已知x，y满足约束条件 ，则z=2x+y的最大值为( )
A. 3 B. ﹣3 C. 1 D.
【考点】： 简单线性规划.
【专题】： 计算题.
【分析】： 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可.
【解析】： 解：作图
易知可行域为一个三角形，
当直线z=2x+y过点A(2，﹣1)时，z最大是3，
故选A.
【点评】： 本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题.
8.(5分)(2015•沈阳一模)执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【考点】： 程序框图.
【专题】： 计算题;规律型;算法和程序框图.
【分析】： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出输出不满足条件S=0+1+2+8+…<100时，k+1的值.
【解析】： 解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，
可知：该程序的作用是：
输出不满足条件S=0+1+2+8+…<100时，k+1的值.
第一次运行：满足条件，s=1，k=1;
第二次运行：满足条件，s=3，k=2;
第三次运行：满足条件，s=11<100，k=3;满足判断框的条件，继续运行，
第四次运行：s=1+2+8+211>100，k=4，不满足判断框的条件，退出循环.
故最后输出k的值为4.
故选：A.
【点评】： 本题考查根据流程图(或伪代码)输出程序的运行结果.这是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图(或伪代码)，从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模.
9.(5分)(2015•沈阳一模)已知函数 ，若 ，则f(﹣a)=( )
A. B. C. D.
【考点】： 函数的值.
【专题】： 计算题.
【分析】： 利用f(x)=1+ ，f(x)+f(﹣x)=2即可求得答案.
【解析】： 解：∵f(x)= =1+ ，
∴f(﹣x)=1﹣ ，
∴f(x)+f(﹣x)=2;
∵f(a)= ，
∴f(﹣a)=2﹣f(a)=2﹣ = .
故选C.
【点评】： 本题考查函数的值，求得f(x)+f(﹣x)=2是关键，属于中档题.
10.(5分)(2015•沈阳一模)在△ABC中，若| + |=| ﹣ |，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则 • =( )
A. B. C. D.
【考点】： 平面向量数量积的运算.
【专题】： 计算题;平面向量及应用.
【分析】： 运用向量的平方即为模的平方，可得 =0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求.
【解析】： 解：若| + |=| ﹣ |，
则 = ，
即有 =0，
E，F为BC边的三等分点，
则 =( + )•( + )=( )•( )
=( + )•( + )
= + + = ×(1+4)+0= .
故选B.
【点评】： 本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量共线的定理，考查运算能力，属于中档题.
11.(5分)(2015•沈阳一模)函数y= 的图象与函数y=2sinπx(﹣2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【考点】： 奇偶函数图象的对称性;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的图象.
【专题】： 压轴题;数形结合.
【分析】： 的图象由奇函数 的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点(1，0)中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点(1，0)，故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2.由此不难得到正确答案.
【解析】： 解：函数 ，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心(1，0)，作出两个函数的图象如图
当1
而函数y2在(1，4)上出现1.5个周期的图象，
在 和 上是减函数;
在 和 上是增函数.
∴函数y1在(1，4)上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H
相应地，y1在(﹣2，1)上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D
且：xA+xH=xB+xG═xC+xF=xD+xE=2，故所求的横坐标之和为8
故选D
【点评】： 发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间(1，4)上的交点个数是本题的难点所在.
12.(5分)(2015•广西校级一模)定义在R上的函数f(x)满足：f(x)+f′(x)>1，f(0)=4，则不等式exf(x)>ex+3(其中e为自然对数的底数)的解集为( )
A. (0，+∞) B. (﹣∞，0)∪(3，+∞) C. (﹣∞，0)∪(0，+∞) D. (3，+∞)
【考点】： 利用导数研究函数的单调性;导数的运算.
【专题】： 导数的综合应用.
【分析】： 构造函数g(x)=exf(x)﹣ex，(x∈R)，研究g(x)的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解
【解析】： 解：设g(x)=exf(x)﹣ex，(x∈R)，
则g′(x)=exf(x)+exf′(x)﹣ex=ex[f(x)+f′(x)﹣1]，
∵f(x)+f′(x)>1，
∴f(x)+f′(x)﹣1>0，
∴g′(x)>0，
∴y=g(x)在定义域上单调递增，
∵exf(x)>ex+3，
∴g(x)>3，
又∵g(0)═e0f(0)﹣e0=4﹣1=3，
∴g(x)>g(0)，
∴x>0
故选：A.
【点评】： 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键.
辽宁省高三数学一模试卷答案解析填空题
(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.)
13.(5分)(2015•沈阳一模)若双曲线E的标准方程是 ，则双曲线E的渐进线的方程是 y= x .
【考点】： 双曲线的简单性质.
【专题】： 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】： 求出双曲线的a，b，再由渐近线方程y= x，即可得到所求方程.
【解析】： 解：双曲线E的标准方程是 ，
则a=2，b=1，
即有渐近线方程为y= x，
即为y= x.
故答案为：y= x.
【点评】： 本题考查双曲线的方程和性质：渐近线方程，考查运算能力，属于基础题.
14.(5分)(2015•沈阳一模)已知{an}是等比数列， ，则a1a2+a2a3+…+anan+1= .
【考点】： 数列的求和;等比数列的通项公式.
【专题】： 计算题.
【分析】： 首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{anan+1}每项的特点发现仍是等比数列，根据等比数列求和公式可得出答案.
【解析】： 解：由 ，解得 .
数列{anan+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为 ，
所以，
故答案为 .
【点评】： 本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用.应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息.
15.(5分)(2015•沈阳一模)若直线l： (a>0，b>0)经过点(1，2)则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是 3+2 .
【考点】： 直线的截距式方程.
【专题】： 直线与圆.
【分析】： 把点(1，1)代入直线方程，得到 =1，然后利用a+b=(a+b)( )，展开后利用基本不等式求最值.
【解析】： 解：∵直线l： (a>0，b>0)经过点(1，2)
∴ =1，
∴a+b=(a+b)( )=3+ ≥3+2 ，当且仅当b= a时上式等号成立.
∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2 .
故答案为：3+2 .
【点评】： 本题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中档题.
16.(5分)(2015•沈阳一模)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A= ，AC=4，AA1=4，M为AA1的中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q=3QC.则异面直线PQ与AC所成角的正弦值 .
【考点】： 异面直线及其所成的角.
【专题】： 空间角.
【分析】： 以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PQ与AC所成角的正弦值.
【解析】： 解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，
建立空间直角坐标系，
则由题意得A(0，4，0)，C(0，0，0)，
B(4 ，0，0)，M(0，4，2)，A1(0，4，4)，
P(2 ，2，1)， = = (0，4，4)=(0，1，1)，
∴Q(0，1，1)， =(0，﹣4，0)， =(﹣2 ，﹣1，0)，
设异面直线PQ与AC所成角为θ，
cosθ=|cos< >|=| |= ，
∴sinθ= = .
故答案为： .
【点评】： 本题考查异面直线PQ与AC所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.
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