高中数学反证法例题
反证法首先假设某命题不成立(即在原命题的题设下，结论不成立)，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证。下面由学习啦小编给你带来关于高中数学反证法例题，希望对你有帮助!
高中数学反证法例题一
选择题
1.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )
A.有一个解
B.有两个解
C.至少有三个解
D.至少有两个解
[答案] C
[解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.
2.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为( )
A.a、b、c都是奇数
B.a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C.a、b、c都是偶数
D.a、b、c中至少有两个偶数
[答案] B
[解析] a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数;②有两个奇数，一个偶数;③有一个奇数，两个偶数;④三个偶数.因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”.故应选B.
3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )
A.假设三内角都不大于60°
B.假设三内角都大于60°
C.假设三内角至多有一个大于60°
D.假设三内角至多有两个大于60°
[答案] B
[解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”.故应选B.
4.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )
A.假设a，b，c都是偶数
B.假设a、b，c都不是偶数
C.假设a，b，c至多有一个偶数
D.假设a，b，c至多有两个偶数
[答案] B
[解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数.
5.命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是( )
A.a
B.a≤b
C.a=b
D.a≥b
[答案] B
[解析] “a>b”的否定应为“a=b或a
6.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )
A.一定是异面直线
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
[答案] C
[解析] 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线.故应选C.
7.设a，b，c∈(-∞，0)，则三数a+1b，c+1a，b+1c中( )
A.都不大于-2
B.都不小于-2
C.至少有一个不大于-2
D.至少有一个不小于-2
[答案] C
[解析] a+1b+c+1a+b+1c
=a+1a+b+1b+c+1c
∵a，b，c∈(-∞，0)，
∴a+1a=--a+-1a≤-2
b+1b=--b+-1b≤-2
c+1c=--c+-1c≤-2
∴a+1b+c+1a+b+1c≤-6
∴三数a+1b、c+1a、b+1c中至少有一个不大于-2，故应选C.
8.若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则( )
A.过点P有且仅有一条直线与l、m都平行
B.过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直
C.过点P有且仅有一条直线与l、m都相交
D.过点P有且仅有一条直线与l、m都异面
[答案] B
[解析] 对于A，若存在直线n，使n∥l且n∥m
则有l∥m，与l、m异面矛盾;对于C，过点P与l、m都相交的直线不一定存在，反例如图(l∥α);对于D，过点P与l、m都异面的直线不唯一.
9.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
[答案] C
[解析] 因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手.故应选C.
10.已知x1>0，x1≠1且xn+1=xn(x2n+3)3x2n+1(n=1,2…)，试证“数列{xn}或者对任意正整数n都满足xnxn+1”，当此题用反证法否定结论时，应为( )
A.对任意的正整数n，都有xn=xn+1
B.存在正整数n，使xn=xn+1
C.存在正整数n，使xn≥xn+1且xn≤xn-1
D.存在正整数n，使(xn-xn-1)(xn-xn+1)≥0
[答案] D
[解析] 命题的结论是“对任意正整数n，数列{xn}是递增数列或是递减数列”，其反设是“存在正整数n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列”.故应选D.
高中数学反证法例题二
填空题
11.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________.
[答案] 没有一个是三角形或四边形或五边形
[解析] “至少有一个”的否定是“没有一个”.
12.用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________.
[答案] a，b都不能被5整除
[解析] “至少有一个”的否定是“都不能”.
13.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A=∠B=90°不成立;
②所以一个三角形中不能有两个直角;
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°.
正确顺序的序号排列为____________.
[答案] ③①②
[解析] 由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.
14.用反证法证明质数有无限多个的过程如下：
假设______________.设全体质数为p1、p2、…、pn，令p=p1p2…pn+1.
显然，p不含因数p1、p2、…、pn.故p要么是质数，要么含有______________的质因数.这表明，除质数p1、p2、…、pn之外，还有质数，因此原假设不成立.于是，质数有无限多个.
[答案] 质数只有有限多个 除p1、p2、…、pn之外
[解析] 由反证法的步骤可得.
高中数学反证法例题三
解答题
15.已知：a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0.
求证：a>0，b>0，c>0.
[证明] 用反证法：
假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，
不妨设a<0，b<0，c>0，则由a+b+c>0，
可得c>-(a+b)，
又a+b<0，∴c(a+b)<-(a+b)(a+b)
ab+c(a+b)<-(a+b)(a+b)+ab
即ab+bc+ca<-a2-ab-b2
∵a2>0，ab>0，b2>0，∴-a2-ab-b2=-(a2+ab+b2)<0，即ab+bc+ca<0，
这与已知ab+bc+ca>0矛盾，所以假设不成立.
因此a>0，b>0，c>0成立.
16.已知a，b，c∈(0,1).求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能同时大于14.
[证明] 证法1：假设(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于14.∵a、b、c都是小于1的正数，∴1-a、1-b、1-c都是正数.(1-a)+b2≥(1-a)b>14=12，
同理(1-b)+c2>12，(1-c)+a2>12.
三式相加，得
(1-a)+b2+(1-b)+c2+(1-c)+a2>32，
即32>32，矛盾.
所以(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于14.
证法2：假设三个式子同时大于14，即(1-a)b>14，(1-b)c>14，(1-c)a>14，三式相乘得
(1-a)b(1-b)c(1-c)a>143①
因为0
同理，0
所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤143.②
因为①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立.
17.已知函数f(x)是(-∞，+∞)上的增函数，a，b∈R.
(1)若a+b≥0，求证：f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b);
(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论.
[解析] (1)证明：∵a+b≥0，∴a≥-b.
由已知f(x)的单调性得f(a)≥f(-b).
又a+b≥0?b≥-a?f(b)≥f(-a).
两式相加即得：f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
(2)逆命题：
f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)?a+b≥0.
下面用反证法证之.
假设a+b<0，那么：
a+b<0?a<-b?f(a)
?f(a)+f(b)
这与已知矛盾，故只有a+b≥0.逆命题得证.
18.(2010?湖北理，20改编)已知数列{bn}的通项公式为bn=1423n-1.求证：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列.
[解析] 假设数列{bn}存在三项br、bs、bt(rbs>br，则只可能有2bs=br+bt成立.
∴2?1423s-1=1423r-1+1423t-1.
两边同乘3t-121-r，化简得3t-r+2t-r=2?2s-r3t-s，
由于r
故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列.
