小升初奥数知识点：完全平方数及余数同余与周期

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　　小升初奥数知识点：余数、同余与周期

　　一、同余的定义：

　　①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

　　②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。

　　二、同余的性质：

　　二、同余的性质：

　　①自身性：a≡a(mod m);

　　②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m);

　　③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m);

　　④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m);

　　⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m);

　　⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m);

　　⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c);

　　三、关于乘方的预备知识：

　　①若A=a×b，则MA=Ma×b=(Ma)b

　　②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md

　　四、被3、9、11除后的余数特征

　　①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或(mod 3);

　　②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);

　　五、费尔马小定理：如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。

　　余数及其应用

　　基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0

　　余数的性质：

　　①余数小于除数。

　　②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。

　　③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。

　　④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。

　　小升初奥数知识点：完全平方数

　　完全平方数特征：

　　1. 末位数字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。

　　2. 除以3余0或余1;反之不成立。

　　3. 除以4余0或余1;反之不成立。

　　4. 约数个数为奇数;反之成立。

　　5. 奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。

　　6. 奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。

　　7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。

　　平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)

　　完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2

　　完全平方差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2