高一年级下学期数学期末试卷
数学可能很难，都是大家不要放弃哦，今天小编就给大家来分享一下高一数学，希望大家来多多参考哦
高一下学期数学期末试卷带答案
第Ⅰ卷(满分100分)
一、选择题：本大题共11个小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若a，b，c是平面内任意三个向量，λ∈R，下列关系式中，不一定成立的是
A.a+b=b+a B.λ(a+b)=λa+λb
C.(a+b)+c=a+(b+c) D.b=λa
2.下列命题正确的是
A.若a、b都是单位向量，则a=b
B.若AB→=DC→，则A、B、C、D四点构成平行四边形
C.若两向量a、b相等，则它们是起点、终点都相同的向量
D.AB→与BA→是两平行向量
3.cos 12°cos 18°-sin 12°sin 18°的值等于
A.32 B.12 C.-12 D.-32
4.函数f(x)=tan x1+tan2x的最小正周期为
A.π4 B.π2 C.π D.2π
5.设a，b是非零向量，则下列不等式中不恒成立的是
A.|a+b|≤|a|+|b| B.|a|-|b|≤|a+b|
C.|a|-|b|≤|a|+|b| D.|a|≤|a+b|
6.函数f(x)=Asin(ωx+φ)A，ω，φ为常数，A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f(π)=
A.-22 B.62 C.22 D.-62
7.如图，角α、β均以Ox为始边，终边与单位圆O分别交于点A、B，则OA→•OB→=
A.sin(α-β) B.sin(α+β)
C.cos(α-β) D.cos(α+β)
8.已知π4<α<π2，且sin α•cos α=310，则sin α-cos α的值是
A.-105 B.105 C.25 D.-25
9.已知α∈0，π2，cosπ6+α=13，则sin α的值等于
A.22-36 B.22+36 C.26-16 D.-26-16
10.将函数y=3sin 2x+π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数
A.在区间π12，7π12上单调递减
B.在区间π12，7π12上单调递增
C.在区间-π6，π3上单调递减
D.在区间-π6，π3上单调递增
11.设O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的三点，动点P满足OP→=OA→+λAB→AB→•cos B+AC→AC→•cos C，λ∈0，+∞，则点P的轨迹必经过△ABC的
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
答题卡
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得 分
答 案
二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.已知直线x=π4是函数f(x)=sin(2x+φ)的图象上的一条对称轴，则实数φ的最小正值为________.
13.已知sin α+cos β=1，cos α+sin β=0，则sin(α+β)=________.
14.已知AB→⊥AC→，AB→•AC→=1.点P为线段BC上一点，满足AP→=AB→AB→+AC→4AC→.若点Q为△ABC外接圆上一点，则AQ→•AP→的最大值等于________.
三、解答题：本大题共3个小题，共30分.
15.(本小题满分8分)
已知5sin α-cos αcos α+sin α=1.
(1)求tan α的值;
(2)求tan2a+π4的值.
16.(本小题满分10分)
已知向量a=(2sin α，1)，b=1，sinα+π4 .
(1)若角α的终边过点(3，4)，求a•b的值;
(2)若a∥b，求锐角α的大小.
17.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=sinπ2-xsin x-3cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值;
(2)讨论f(x)在π6，2π3上的单调性.
第Ⅱ卷(满分50分)
一、填空题：本大题共2个小题，每小题6分.
18.两等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn、Tn，且SnTn=7n+2n+3，则a2+a20b7+b15等于________.
19.设函数f(x)=(x+1)2+sin xx2+1的最大值为M，最小值为m，则M+m=________.
二、解答题：本大题共3个小题，共38分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
20.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点.
(1)证明：BE⊥DC;
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值.
21.(本小题满分13分)
在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=3，∠A=120°，BD=3.
(1)求AD的长;
(2)若∠BCD=105°，求四边形ABCD的面积.
22.(本小题满分13分)
已知函数f(x)=x|x-a|+bx(a，b∈R).
(1)当b=-1时，函数f(x)恰有两个不同的零点，求实数a的值;
(2)当b=1时，
①若对于任意x∈[1，3]，恒有f(x)x≤2x+1，求a的取值范围;
②若a>0，求函数f(x)在区间[0，2]上的最大值g(a).
数学参考答案
一、选择题
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答 案 D D A C D B C B C B D
1.D 【解析】选项A，根据向量的交换律可知正确;选项B，向量具有数乘的分配律，可知正确;选项C，根据向量的结合律可知正确;选项D，a，b不一定共线，故D不正确.故选D.
2.D 【解析】A.单位向量长度相等，但方向不一定相同，故A不对;B.A、B、C、D四点可能共线，故B不对;C.只要方向相同且长度相等，则这两个向量就相等，与始点、终点无关，故C不对;D.因AB→和BA→方向相反，是平行向量，故D对.故选D.
3.A 【解析】cos 12°cos 18°-sin 12°sin 18°=cos (12°+18°)=cos 30°=32，故选A.
4.C 【解析】函数f(x)=tan x1+tan2x=sin xcos xcos2x+sin2x=12sin 2x的最小正周期为2π2=π，故选C.
5.D 【解析】由向量模的不等关系可得：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.
|a+b|≤|a|+|b|，故A恒成立.
|a|-|b|≤|a+b|，故B恒成立.
|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，故C恒成立.
令a=(2，0)，b=(-2，0)，则|a|=2，|a+b|=0，则D不成立.故选D.
6.B 【解析】根据函数的图象A=2.
由图象得：T=47π12-π3=π，
所以ω=2πT=2.
当x=π3时，fπ3=2sin2•π3+φ=0，
∴2π3+φ=kπ，φ=-2π3+kπ.k∈Z.
由于|φ|<π2，取k=1，解得：φ=π3，所以f(x)=2sin2x+π3.
则：f(π)=62，故选B.
7.C 【解析】根据题意，角α，β均以Ox为始边，终边与单位圆O分别交于点A，B，
则A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)，
则有OA→•OB→=cos αcos β+sin αsin β=cos (α-β);
故选C.
8.B 【解析】∵(sin α-cos α)2=sin 2α-2sin αcos α+cos 2α
=(sin 2α+cos 2α)-2sin αcos α;
又∵sin 2α+cos 2α=1，sin αcos α=310，
∴(sin α-cos α)2=1-2×310=25;
得sin α-cos α=±105;
由π4<α<π2，知22
则sin α-cos α的值是105.故选B.
9.C 【解析】∵α∈(0，π2)，∴π6+α∈π6，2π3，
由cosπ6+α=13，得sinπ6+α=1-cos2π6+α=223，
则sin α=sinπ6+α-π6
=sinπ6+αcosπ6-cosπ6+αsinπ6=223×32-13×12=26-16.故选C.
10.B 【解析】将y=3sin2x+π3的图象向右平移π2个单位长度后得到y=3sin2x-π2+π3，即y=3sin2x-2π3的图象，令-π2+2kπ≤2x-2π3≤π2+2kπ，k∈Z，化简可得x∈π12+kπ，7π12+kπ，k∈Z，即函数y=3sin 2x-2π3的单调递增区间为π12+kπ，7π12+kπ，k∈Z，令k=0，可得y=3sin2x-2π3在区间π12，7π12上单调递增，故选B.
11.D 【解析】由题意可得OP→-OA→=AP→=λAB→AB→•cos B+AC→AC→•cos C，
所以AP→•BC→=λAB→•BC→AB→•cos B+AC→•BC→AC→•cos C
=λ-BC→+BC→=0，所以AP→⊥BC→，即点P在BC边的高所在直线上，即点P的轨迹经过△ABC的垂心，故选D.
二、填空题
12.π 【解析】(略)
13.-12 【解析】sin α+cos β=1，
两边平方可得：sin 2α+2sin αcos β+cos 2β=1，①，
cos α+sin β=0，
两边平方可得：cos 2α+2cos αsin β+sin 2β=0，②，
由①+②得：2+2(sin αcos β+cos αsin β)=1，即2+2sin(α+β)=1，
∴2sin(α+β)=-1.
∴sin(α+β)=-12.
14.178 【解析】∵AB→⊥AC→，|AB→|•|AC→|=1，建立如图所示坐标系，设B1t，0，C(0，t)，AB→=1t，0，AC→=(0，t)，AP→=AB→|AB→|+AC→4|AC→|=t1t，0+14t(0，t)=(1，14)，∴P(1，14)，
∵P为线段BC上一点，∴可设PC→=λPB→，从而有-1，t-14=λ1t-1，-14，即λ1t-1=-1，t-14=-14λ，解之得t=12.
∴B2，0，C0，12.显然P1，14为BC中点，∴点P为△ABC外接圆圆心.Q在△ABC外接圆上，又当AQ过点P时AQ→有最大值为2AP→=172，
此时AP→与AQ→夹角为θ=0°，cos θ=1.∴AP→•AQ→max=172×174=178.
三、解答题
15.【解析】(1)由题意，cos α≠0，由5sin α-cos αcos α+sin α=1，可得5tan α-11+tan α=1，
即5tan α-1=1+tan α，解得tan α=12.(4分)
(2)由(1)得tan 2α=2tan α1-tan2α=43，
tan2α+π4=tan 2α+11-tan 2α=-7.(8分)
16.【解析】(1)角α的终边过点(3，4)，∴r=32+42=5，
∴sin α=yr=45，cos α=xr=35;
∴a•b=2sin α+sinα+π4
=2sin α+sin αcosπ4+cos αsinπ4
=2×45+45×22+35×22=322.(5分)
(2)若a∥b，则2sin αsina+π4=1，
即2sin αsin αcosπ4+cos αsinπ4=1，
∴sin 2α+sin αcos α=1，
∴sin αcos α=1-sin 2α=cos 2α，
对锐角α有cos α≠0，
∴tan α=1，
∴锐角α=π4.(10分)
17.【解析】(1)f(x)=sinπ2-xsin x-3cos 2x
=cos xsin x-32(1+cos 2x)
=12sin 2x-32cos 2x-32=sin2x-π3-32，
因此f(x)的最小正周期为π，最大值为2-32.(6分)
(2)当x∈π6，2π3时，0≤2x-π3≤π，从而当0≤2x-π3≤π2，即π6≤x≤5π12时，f(x)单调递增;π2≤2x-π3≤π即512π≤x≤2π3时，f(x)单调递减.
综上可知，f(x)在π6，5π12上单调递增;在5π12，2π3上单调递减.(12分)
18.14924 【解析】a2+a20b7+b15=a1+a21b1+b21=S21T21=14924.
19.2 【解析】可以将函数式整理为f(x)=x2+1+2x+sin xx2+1=1+2x+sin xx2+1，不妨令g(x)=2x+sin xx2+1，易知函数g(x)为奇函数关于原点对称，∴函数f(x)图象关于点(0，1)对称.若x=x0时，函数f(x)取得最大值M，则由对称性可知，当x=-x0时，函数f(x)取得最小值m，因此，M+m=f(x0)+f(-x0)=2.
20.【解析】(1)如图，取PD中点M，连接EM、AM.由于E、M分别为PC、PD的中点，故EM∥DC，且EM=12DC，又由已知，可得EM∥AB且EM=AB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE∥AM.
因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，从而CD⊥平面PAD，因为AM?平面PAD，于是CD⊥AM，又BE∥AM，所以BE⊥CD.(5分)
(2)连接BM，由(1)有CD⊥平面PAD，
得CD⊥PD，而EM∥CD，故PD⊥EM，又因为AD=AP，M为PD的中点，故PD⊥AM，可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，故平面BEM⊥平面PBD.所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，而BE⊥EM，可得∠EBM为锐角，故∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角.
依题意，有PD=22，而M为PD中点，可得AM=2，进而BE=2.故在直角三角形BEM中，tan∠EBM=EMBE=ABBE=12，因此sin∠EBM=33.
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为33.(13分)
21.【解析】(1)∵在四边形ABCD中，
AD∥BC，AB=3，∠A=120°，BD=3.
∴由余弦定理得cos 120°=3+AD2-92×3×AD，
解得AD=3(舍去AD=-23)，
∴AD的长为3.(5分)
(2)∵AB=AD=3，∠A=120°，∴∠ADB=12(180°-120°)=30°，又AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB=30°.
∵∠BCD=105°，∠DBC=30°，∴∠BDC=180°-105°-30°=45°，△BCD中，由正弦定理得BCsin 45°=3sin 105°，解得BC=33-3.(9分)
从而S△BDC=12BC•BDsin∠DBC=12×(33-3)×3×sin 30°=94(3-1).(10分)
S△ABD=12AB×ADsin A=12×3×3×sin 120°=343.(11分)
∴S=S△ABD+S△BDC=123-94.(13分)
22.【解析】(1)当b=-1时，f(x)=x|x-a|-x=x(|x-a|-1)，
由f(x)=0，解得x=0或|x-a|=1，
由|x-a|=1，解得x=a+1或x=a-1.
∵f(x)恰有两个不同的零点且a+1≠a-1，
∴a+1=0或a-1=0，得a=±1.(4分)
(2)当b=1时，f(x)=x|x-a|+x，
①∵对于任意x∈[1，3]，恒有f(x)x≤2x+1，
即x|x-a|+xx≤2x+1，即|x-a|≤2x+1-1，
∵x∈[1，3]时，2x+1-1>0，
∴1-2x+1≤x-a≤2x+1-1，
即x∈[1，3]时恒有a≤x+2x+1-1，a≥x-2x+1+1，成立.
令t=x+1，当x∈[1，3]时，t∈[2，2]，x=t2-1.
∴x+2x+1-1=t2+2t-2=(t+1)2-3≥(2+1)2-3=22，
∴x-2x+1+1=t2-2t=(t-1)2-1≤0，
综上，a的取值范围是[0，22].(8分)
②f(x)=-x2+ax+x，x≤ax2-ax+x，x>a=-x-a+122+(a+1)24，x≤a，x-a-122-(a-1)24，x>a.
当0
这时y=f(x)在[0，2]上单调递增，
此时g(a)=f(2)=6-2a;
当1
y=f(x)在0，a+12上单调递增，在a+12，a上单调递减，在[a，2]上单调递增，
∴g(a)=maxfa+12，f(2)，fa+12=(a+1)24，f(2)=6-2a，
而fa+12-f(2)=(a+1)24-(6-2a)=(a+5)2-484，
当1
当43-5≤a<2时，g(a)=fa+12=(a+1)24;
当2≤a<3时，a-12
这时y=f(x)在0，a+12上单调递增，在a+12，2上单调递减，
此时g(a)=fa+12=(a+1)24;
当a≥3时，a+12≥2，y=f(x)在[0，2]上单调递增，
此时g(a)=f(2)=2a-2.
综上所述，x∈[0，2]时，g(a)=6-2a，0
有关高一数学下学期期末试卷
第Ⅰ卷(选择题，满分60分)
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
3.考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)
1. 的值是
A. B. C. D.
2. 已知 ，则下列不等式正确的是
A. B. C. D.
3. 已知等比数列 中， ， ，则
A.4 B.-4 C. D.16
4. 若向量 ， ， ，则 等于
A. B.
C. D.
5. 在 中， =60°， ， ，则 等于
A.45°或135° B.135°
C.45° D.30°
6. 在 中，已知 ，那么 一定是
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D.正三角形
7. 不等式 对任何实数 恒成立，则 的取值范围是
A. (﹣3，0 ) B. (﹣3，0]
C. [﹣3，0 ) D. [﹣3，0]
8. 《莱茵德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的 是较小的三份之和，则最小的1份为
A. 磅 B. 磅 C. 磅 D. 磅
9. 如图，为测得河对岸塔 的高，先在河岸上选一点 ，使 在塔底 的正东方向上，此时测得点 的仰角为 再由点 沿北偏东 方向走 到位置 ，测得 ，则塔 的高是
A. 10
B. 102
C. 103
D. 10
10. 已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且 ，则使得 为质数的正整数 的个数是
A.2 B.3 C.4 D.5
11. 如图，菱形 的边长为 为 中点，若 为菱形内任意一点(含边界)，则 的最大值为
A. B. C. D.
12.对于数列 ，定义 为数列 的“诚信”值，已知某数列 的“诚信”值 ,记数列 的前 项和为 ，若 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围为
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(非选择题，满分90分)
注意事项：
1.请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2.试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 不等式 的解集为 ▲ .
14. 化简 ▲ .
15. 已知 ，并且 ， ， 成等差数列，则 的最小值为 ▲ .
16. 已知函数 的定义域为 ,若对于 、 、 分别为某个三角形的边长，则称 为“三角形函数”。给出下列四个函数：
① ; ② ;
③ ;④ .
其中为“三角形函数”的数是 ▲ .
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17.(本题满分10分)
已知 , 是互相垂直的两个单位向量， ， .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)当 为何值时， 与 共线.
▲
18.(本题满分12分)
已知 是等比数列， ，且 ， ， 成等差数列.
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)设 ，求数列 的前n项和 .
▲
19.(本题满分12分)
已知函数 .
(Ⅰ)求 的单调递增区间;
(Ⅱ)若 ， ，求 的值.
▲
20.(本题满分12分)
建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦的重要内容.习近平指出：“绿水青山就是金山银山”。某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研小组研究发现：一棵水果树的产量 (单位：千克)与肥料费用 (单位：元)满足如下关系： 。此外，还需要投入其它成本(如施肥的人工费等) 元.已知这种水果的市场售价为16元/千克，且市场需求始终供不应求。记该棵水果树获得的利润为 (单位：元)。
(Ⅰ)求 的函数关系式;
(Ⅱ)当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大?最大利润是多少?
▲
21.(本题满分12分)
如图：在 中， ，点 在线段 上，且 .
(Ⅰ)若 ， .求 的长;
(Ⅱ)若 ，求△DBC的面积最大值.
▲
22.(本题满分12分)
已知数列 的前 项和为 且 .
(Ⅰ)求证 为等比数列，并求出数列 的通项公式;
(Ⅱ)设数列 的前 项和为 ，是否存在正整数 ，对任意 ，不等式 恒成立?若存在，求出 的最小值，若不存在，请说明理由.
▲
数学试题参考答案及评分意见
一、选择题(5′×12=60′)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B A D C A B D B A D C
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 14.1 15.9 16. ①④
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17.(10分)
解：(1)因为 , 是互相垂直的单位向量，所以 ,
; …………2分
∴ …5分
(2) ∵ 与 共线，
∴ ，又 不共线; …………8分
∴ …………10分
【解法二】
解：设 与 的夹角为 ，则由 ， 是互相垂直的单位向量，不妨设 , 分别为平面直角坐标系中 轴、 轴方向上的单位向量，则 …………1分
(1)
∴ …………5分
(2) ，
∵ 与 共线，∴ …………8分
∴ …………10分
18.(12分)
(1)设等比数列 的公比为 ，由 ， ， 成等差数列
∴ ， …………2分
即 ∴
∴ . …………6分
(2)由
…………8分
两式作差：
…………10分
∴ …………12分
19.(12分)
解:(1)
……………3分
令 ， ……………5分
所以， 的单调递增区间为 ， . ……………6分
(2) ，
∵ ∴ ∴ ……………9分
∴ ……………10分
. ……………12分
20.(12分)
(1) ……………6分
(2)当 ……………8分
当
当且仅当 时，即 时等号成立 ……………11分
答：当投入的肥料费用为30元时， 种植该果树获得的最大利润是430元. …12分
21.(12分)
∵ ……………1分
(1)法一、在 中,设 , 由余弦定理可得： ①
……………2分
在 和 中，由余弦定理可得：
又因为
∴ 得 ② ……………4分
由①②得 ∴ . ……………6分
法二、向量法： 得 ……………3分
得 ……5分
∴ ……………6分
(2) ……………7分
由
∴ (当且仅当 取等号) ……………10分
由 ，可得
∴ 的面积最大值为 . ……………12分
22.(12分)
解析：(1)证明：当 时， ……………1分
当 时， ……………2分
两式作差：
得 ， ……………4分
以1为首项，公比为2的等比数列; ……………5分
(2) 代入 得 ……………6分
由
∴ 为递增数列， ……………7分
∴
………9分
当 时， ;
当 时， ;
当 时，
; ∵ ……………11分
∴存在正整数 对任意 ，不等式 恒成立，
正整数 的最小值为1 ……………12分
高一数学下学期期末试题带答案
第I卷(60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知 ，其中 是第二象限角，则 = ( )
A. B. C. D.
2、要得到 的图象只需将 的图象( )
A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位
C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位
3、执行如图所示的程序框图，输出的 值为( )
A. B.
C. D.2
4、已知 ，那么 的值为( )
A. B. C. D.
5、与函数 的图象不相交的一条直线是( )
A. B. C. D.
6、设 =(1，2)， =(1，1)， = + .若 ⊥ ，则实数 的值等于( )
A. B. C.53 D.32
7、直线 : ,圆 : , 与 的位置关系是( )
A.相交 B.相离 C.相切 D.不能确定
8、某班有男生30人，女生20人，按分层抽样方法从班级中选出5人负责校园开放日的接待工作.现从这5人中随机选取2人，至少有1名男生的概率是( )
A. B. C. D.
9、已知方程 ，则 的最大值是( )
A.14- B.14+ C.9 D.14
10、已知函数 的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为 和 ，图象在 轴上的截距为 ，给出下列四个结论：
① 的最小正周期为π;
② 的最大值为2;
③ ;
④ 为奇函数.
其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11、在直角三角形 中，点 是斜边 的中点，点 为线段 的中点， ( )
A.2 B.4 C.5 D.10
12、设 ,其中 ，若 在区间 上为增函
数，则 的最大值为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(90分)
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分,共20分。
13、欧阳修的《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.已知铜钱是直径为3 的圆，中间有边长为1 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则油正好落入孔中的概率是________.
14、为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得如下实验数据，计算得回归直线方程为 .由以上信息，得到下表中 的值为________.
天数 (天)
3 4 5 6 7
繁殖个数 (千个)
2.5 3 4 4.5
15、若向量 =(2，3)，向量 =(-4，7)，则 在 上的正射影的数量为________________
16、由正整数组成的一组数据 ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为_____________.(从小到大排列)
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、(本小题满分10分)已知
(1)化简 ;
(2)若 是第三象限角，且 ，求 的值.
18、(本小题满分12分)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)， ，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率;
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数;
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
19、(本小题满分12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示.
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;
(2)计算甲班身高的样本方差;
(3)现从乙班的这10名同学中随机抽取2名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽到的概率.
20、(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2，4).
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC=OA，
求直线l的方程.
21、(本小题满分12分)已知函数 ， .
(1)求函数 的最小正周期及在区间 上的最大值和最小值;
(2)若 ，x0 ，求cos 2x0的值.
22、(本小题满分12分)已知向量 ， ，
(1)求出 的解析式，并写出 的最小正周期，对称轴，对称中心;
(2)令 ，求 的单调递减区间;
(3)若 ，求 的值.
数学答案
一、选择题
1—5;ACDAC 6—10;AADBD; 11—12;DC
二、填空题
13、 ; 14、6; 15、 ; 16、1,1,3,3
三、解答题
17、解：(1) ..........(4分)
(2) ..........(6分)
是第三象限角, ......(8分)
...........(10)
18、解：(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为
(0.02+0.04)×10=0.6 ,..........(2分)
样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.
∴从总体的400名学生中随机抽取一人其分数小于70的概率估计为0.4..........(4分)
(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为
，
分数在区间 内的人数为 ...........(6分)
所以总体中分数在区间 内的人数估计为 ...........(8分)
(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为
，
所以样本中分数不小于70的男生人数为 ...........(10分)
所以样本中的男生人数为 ，女生人数为 ，男生和女生人数的比例为 ..........(12分)
19、解：(1)由茎叶图可知，甲班的平均身高为
x=182+179+179+171+170+168+168+163+162+15810=170，..........(2分)
乙班的平均身高为y=181+170+173+176+178+179+162+165+168+15910=171.1.
所以乙班的平均身高高于甲班...........(4分)
(2)由(1)知x=170，
∴s2=110[(158-170)2+(162-170)2+(163-170)2+ (168-170)2+(168-170)2+(170-170)2+(171-170)2+(179-170)2+(179-170)2+(182-170)2]=57.2...........(8分)
(3)设身高为176 cm的同学被抽中为事件A，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有(181,176)，(181,173)，(181,178)，(181,179)，(173,176)，(173,178)，(173,179)，(176,178)，(176,179)，(178,179)共10个基本事件.
而事件有(181,176)，(173,176)，(176,178)，(176,179)共4个基本事件...........(11分)
∴P(A)=410=25. ..........(12分)
20、解：圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25，
所以圆心M(6,7)，半径为5.
(1)圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1...........(2分)
(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为4-02-0=2
设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，...........(4分)
因为BC=OA=22+42=25，而MC2=d2+ 2， ...........(6分)
则圆心M到直线l的距离d=|2×6-7+m|5=|m+5|5 ............(8分)
所以解得m=5或m=-15............(10分)
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0............(12分)
21.解：(1)由f(x)=23sin xcos x+2cos2x-1，
得f(x)=3(2sin xcos x)+(2cos2x-1)
=3sin 2x+cos 2x=2sin ，...........(2分)
所以函数f(x)的最小正周期为π............(3分)
所以函数f(x)在区间 上的最大值为2，最小值为-1............(6分)
(2) 由(1)可知f(x0)=2sin
又因为f(x0)=65，所以sin =35.
由x0∈ ，得2x0+π6∈ ...........(8分)
从而cos = =-45............(10分)
所以cos 2x0=cos =cos cosπ6+sin sinπ6
=3-4310............(12分)
22、解：(1)
...........(2分)
所以 的最小正周期 ，对称轴为
对称中心为 ...........(4分)
(2) ...........(6分)
令 得
所以 的单调减区间为 ...........(8分)
(3)若 // ，则 即
...........(10分)
...........(12分)
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5.高中数学题及答案
