高一数学必修一函数知识点(2)
高一数学必修一函数的练习题
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.设集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2-2x=0，x∈R}，则M∪N=( )
A.{0} B.{0,2}
C.{-2,0} D.{-2,0,2}
解析 M={x|x(x+2)=0.，x∈R}={0，-2}，N={x|x(x-2)=0，x∈R}={0,2}，所以M∪N={-2,0,2}.
答案 D
2.设f：x→|x|是集合A到集合B的映射，若A={-2,0,2}，则A∩B=( )
A.{0} B.{2}
C.{0,2} D.{-2,0}
解析 依题意，得B={0,2}，∴A∩B={0,2}.
答案 C
3.f(x)是定义在R上的奇函数，f(-3)=2，则下列各点在函数f(x)图象上的是( )
A.(3，-2) B.(3,2)
C.(-3，-2) D.(2，-3)
解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(-3)=-f(3).
又f(-3)=2，∴f(3)=-2，∴点(3，-2)在函数f(x)的图象上.
答案 A
4.已知集合A={0,1,2}，则集合B={x-y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A.1 B.3
C.5 D.9
解析 逐个列举可得.x=0，y=0,1,2时，x-y=0，-1，-2;x=1，y=0,1,2时，x-y=1,0，-1;x=2，y=0,1,2时，x-y=2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为-2，-1,0,1,2.共5个.
答案 C
5.若函数f(x)满足f(3x+2)=9x+8，则f(x)的解析式是( )
A.f(x)=9x+8
B.f(x)=3x+2
C.f(x)=-3x-4
D.f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4
解析 ∵f(3x+2)=9x+8=3(3x+2)+2，∴f(x)=3x+2.
答案 B
6.设f(x)=x+3 x>10，fx+5 x≤10，则f(5)的值为( )
A.16 B.18
C.21 D.24
解析 f(5)=f(5+5)=f(10)=f(15)=15+3=18.
答案 B
7.设T={(x，y)|ax+y-3=0}，S={(x，y)|x-y-b=0}，若S∩T={(2,1)}，则a，b的值为( )
A.a=1，b=-1 B.a=-1，b=1
C.a=1，b=1 D.a=-1，b=-1
解析 依题意可得方程组2a+1-3=0，2-1-b=0，⇒a=1，b=1.
答案 C
8.已知函数f(x)的定义域为(-1,0)，则函数f(2x+1)的定义域为( )
A.(-1,1) B.-1，-12
C.(-1,0) D.12，1
解析 由-1<2x+1<0，解得-1
答案 B
9.已知A={0,1}，B={-1,0,1}，f是从A到B映射的对应关系，则满足f(0)>f(1)的映射有( )
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
解析 当f(0)=1时，f(1)的值为0或-1都能满足f(0)>f(1);当f(0)=0时，只有f(1)=-1满足f(0)>f(1);当f(0)=-1时，没有f(1)的值满足f(0)>f(1)，故有3个.
答案 A
10.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(-∞，0](x1≠x2)，有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0，则当n∈N*时，有( )
A.f(-n)
B.f(n-1)
C.f(n+1)
D.f(n+1)
解析 由题设知，f(x)在(-∞，0]上是增函数，又f(x)为偶函数，
∴f(x)在[0，+∞)上为减函数.
∴f(n+1)
又f(-n)=f(n)，
∴f(n+1)
答案 C
11.函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列说法：
①f(0)=0; ②若f(x)在[0，+∞)上有最小值为-1，则f(x)在(-∞，0]上有最大值为1;③若f(x)在[1，+∞)上为增函数，则f(x)在(-∞，-1]上为减函数;④若x>0时，f(x)=x2-2x，则x<0时，f(x)=-x2-2x.其中正确说法的个数是( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析 ①f(0)=0正确;②也正确;③不正确，奇函数在对称区间上具有相同的单调性;④正确.
答案 C
12.f(x)满足对任意的实数a，b都有f(a+b)=f(a)•f(b)且f(1)=2，则f2f1+f4f3+f6f5+…+f2014f2013=( )
A.1006 B.2014
C.2012 D.1007
解析 因为对任意的实数a，b都有f(a+b)=f(a)•f(b)且f(1)=2，由f(2)=f(1)•f(1)，得f2f1=f(1)=2，
由f(4)=f(3)•f(1)，得f4f3=f(1)=2，
……
由f(2014)=f(2013)•f(1)，
得f2014f2013=f(1)=2，
∴f2f1+f4f3+f6f5+…+f2014f2013=1007×2=2014.
答案 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)
13.函数y=x+1x的定义域为________.
解析 由x+1≥1，x≠0得函数的定义域为{x|x≥-1，且x≠0}.
答案 {x|x≥-1，且x≠0}
14.f(x)=x2+1 x≤0，-2x x>0，若f(x)=10，则x=________.
解析 当x≤0时，x2+1=10，∴x2=9，∴x=-3.
当x>0时，-2x=10，x=-5(不合题意，舍去).
∴x=-3.
答案 -3
15.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(-∞，4]，则该函数的解析式f(x)=________.
解析 f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2为偶函数，则2a+ab=0，∴a=0，或b=-2.
又f(x)的值域为(-∞，4]，∴a≠0，b=-2，∴2a2=4.
∴f(x)=-2x2+4.
答案 -2x2+4
16.在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为800元，购买2000吨，每吨为700元，那么客户购买400吨，单价应该是________元.
解析 设一次函数y=ax+b(a≠0)，把x=800，y=1000，
和x=700，y=2000，代入求得a=-10，b=9000.
∴y=-10x+9000，于是当y=400时，x=860.
答案 860
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知集合A={x|2≤x≤8}，B={x|1a}，U=R.
(1)求A∪B，(∁UA)∩B;
(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围.
解 (1)A∪B={x|2≤x≤8}∪{x|1
={x|1
∁UA={x|x<2，或x>8}.
∴(∁UA)∩B={x|1
(2)∵A∩C≠∅，∴a<8.
18.(本小题满分12分)设函数f(x)=1+x21-x2.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性;
(3)求证：f1x+f(x)=0.
解 (1)由解析式知，函数应满足1-x2≠0，即x≠±1.
∴函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠±1}.
(2)由(1)知定义域关于原点对称，
f(-x)=1+-x21--x2=1+x21-x2=f(x).
∴f(x)为偶函数.
(3)证明：∵f1x=1+1x21-1x2=x2+1x2-1，
f(x)=1+x21-x2，
∴f1x+f(x)=x2+1x2-1+1+x21-x2
=x2+1x2-1-x2+1x2-1=0.
19.(本小题满分12分)已知y=f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x.
(1)求当x<0时，f(x)的解析式;
(2)作出函数f(x)的图象，并指出其单调区间.
解 (1)当x<0时，-x>0，
∴f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x.
又f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(-x)=f(x).
∴当x<0时，f(x)=x2+2x.
(2)由(1)知，f(x)=x2-2x x≥0，x2+2x x<0.
作出f(x)的图象如图所示：
由图得函数f(x)的递减区间是(-∞，-1]，[0,1].
f(x)的递增区间是[-1,0]，[1，+∞).
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2x+1x+1，
(1)判断函数在区间[1，+∞)上的单调性，并用定义证明你的结论.
(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值.
解 (1)函数f(x)在[1，+∞)上是增函数.证明如下：
任取x1，x2∈[1，+∞)，且x1
f(x1)-f(x2)=2x1+1x1+1-2x2+1x2+1=x1-x2x1+1x2+1，
∵x1-x2<0，(x1+1)(x2+1)>0，
所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)
所以函数f(x)在[1，+∞)上是增函数.
(2)由(1)知函数f(x)在[1,4]上是增函数，最大值f(4)=95，最小值f(1)=32.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且f(x)为增函数，f(x•y)=f(x)+f(y).
(1)求证：fxy=f(x)-f(y);
(2)若f(3)=1，且f(a)>f(a-1)+2，求a的取值范围.
解 (1)证明：∵f(x)=fxy•y=fxy+f(y)，(y≠0)
∴fxy=f(x)-f(y).
(2)∵f(3)=1，∴f(9)=f(3•3)=f(3)+f(3)=2.
∴f(a)>f(a-1)+2=f(a-1)+f(9)=f[9(a-1)].
又f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，
∴a>0，a-1>0，a>9a-1，∴1
22.(本小题满分12分)某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系：
x30404550
y6030150
(1)在所给的坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式.
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润?
解 (1)由题表作出(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)的对应点，它们近似地分布在一条直线上，如图所示.
设它们共线于直线y=kx+b，则50k+b=0，45k+b=15，⇒k=-3，b=150.
∴y=-3x+150(0≤x≤50，且x∈N*)，经检验(30,60)，(40,30)也在此直线上.
∴所求函数解析式为y=-3x+150(0≤x≤50，且x∈N*).
(2)依题意P=y(x-30)=(-3x+150)(x-30)=-3(x-40)2+300.
∴当x=40时，P有最大值300，故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润.
高一数学必修1函数及其表示的教案
重点难点教学：
1.正确理解映射的概念;
2.函数相等的两个条件;
3.求函数的定义域和值域。
一.教学过程：
1. 使学生熟练掌握函数的概念和映射的定义;
2. 使学生能够根据已知条件求出函数的定义域和值域; 3. 使学生掌握函数的三种表示方法。
二.教学内容： 1.函数的定义
设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()fx和它对应，那么称:fAB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作：
(),yfxxA
其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域(domain)，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{()|}fxxA叫值域(range)。显然，值域是集合B的子集。
注意：
① “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”;
②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x. 2.构成函数的三要素 定义域、对应关系和值域。 3、映射的定义
设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意
一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从 集合A到集合B的一个映射。
4. 区间及写法：
设a、b是两个实数，且a
(1) 满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b];
(2) 满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b);
5.函数的三种表示方法 ①解析法 ②列表法 ③图像法
高一数学必修一函数的介绍
1. 函数的奇偶性
(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x) ;
(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则 f(0)=0(可用于求参数);
(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);
(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;
(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;
2. 复合函数的有关问题
(1)复合函数定义域求法：若已知 的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;
3.函数图像(或方程曲线的对称性)
(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;
(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;
(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;
4.函数的周期性
(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;
(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;
(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;
(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2 的周期函数;
(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数;
(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2 的周期函数;
5.方程k=f(x)有解 k∈D(D为f(x)的值域);
6.a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min;
7.(1) (a>0,a≠1,b>0,n∈R+); (2) l og a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1);
(3) l og a b的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 );
8. 判断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A中元素必须都有象且唯一;(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
9. 能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。
10.对于反函数，应掌握以下一些结论：(1)定义域上的单调函数必有反函数;(2)奇函数的反函数也是奇函数;(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;(4)周期函数不存在反函数;(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;(5) y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).
11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;
12. 依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题
13. 恒成立问题的处理方法：(1)分离参数法;(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解;
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