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数学必修一知识点总结(2)

文娟分享

  第二章 基本初等函数

  一、指数函数

  (一)指数与指数幂的运算

  1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中>1,且∈*.

  u 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。

  当是奇数时,,当是偶数时,

  2.分数指数幂

  正数的分数指数幂的意义,规定:

  u 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义

  3.实数指数幂的运算性质

  (1)·;

  (2);

  (3).

  (二)指数函数及其性质

  1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.

  注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.

  2、指数函数的图象和性质

a>1

0<a<1

定义域 R

定义域 R

值域y>0

值域y>0

在R上单调递增

在R上单调递减

非奇非偶函数

非奇非偶函数

函数图象都过定点(0,1)

函数图象都过定点(0,1)

  注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:

  (1)在[a,b]上,值域是或;

  (2)若,则;取遍所有正数当且仅当;

  (3)对于指数函数,总有;

  二、对数函数

  (一)对数

  1.对数的概念:一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作:(— 底数,— 真数,— 对数式)

  说明:1 注意底数的限制,且;

  2 ;

  3 注意对数的书写格式.

  两个重要对数:

  1 常用对数:以10为底的对数;

  2 自然对数:以无理数为底的对数的对数.

  u 指数式与对数式的互化

  幂值 真数

  = N= b

  底数

  指数 对数

  (二)对数的运算性质

  如果,且,,,那么:

  1 ·+;

  2 -;

  3 .

  注意:换底公式

  (,且;,且;).

  利用换底公式推导下面的结论

  (1);(2).

  (二)对数函数

  1、对数函数的概念:函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞).

  注意:1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:, 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.

  2 对数函数对底数的限制:,且.

  2、对数函数的性质:

a>1

0<a<1

定义域x>0

定义域x>0

值域为R

值域为R

在R上递增

在R上递减

函数图象都过定点(1,0)

函数图象都过定点(1,0)

  (三)幂函数

  1、幂函数定义:一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.

  2、幂函数性质归纳.

  (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);

  (2)时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当时,幂函数的图象下凸;当时,幂函数的图象上凸;

  (3)时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.

  例题:

  1. 已知a>0,a0,函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是       (  )

  2.计算: ① ;②= ;= ;

  ③ =

  3.函数y=log(2x2-3x+1)的递减区间为

  4.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍,则a=

  5.已知,(1)求的定义域(2)求使的的取值范围

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