初二数学下第五章生活中的轴对称单元检测试卷A
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初二数学下第五章生活中的轴对称单元检测试题A
一.选择题 (本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)
1.在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是( )
2.如图所示，l是四边形ABCD的对称轴，AD∥BC，现给出下列结论：
①AB∥CD;②AB=BC;③AB⊥BC;④AO=OC.其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是( )
A.750米 B.1000米 C.1500米 D.2000米
4.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于( )
A.2：5 B.14：25 C.16：25 D.4：21
5.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是( )
A.线段CD的中点 B.OA与OB的中垂线的交点
C.OA与CD的中垂线的交点 D.CD与∠AOB的平分线的交点
6.和三角形三个顶点的距离相等的点是( )
A.三条角平分线的交点 B.三边中线的交点
C.三边上高所在直线的交点 D.三边的垂直平分线的交点
7.如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C，连接AC、BC.若∠ABC=67°，则∠1=( )
A.23° B.46° C.67° D.78°
8.在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是( )
A.∠A=40°，∠B=50° B.∠A=40°，∠B=60°
C.∠A=20°，∠B=80° D.∠A=40°，∠B=80°
9.如图，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论正确的有几个?( )
①△ABD≌△ACD;②AB=AC;③∠B=∠C;④AD是△ABC的角平分线.
A.1 B.2 C.3 D.4
10.等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为( )
A.4 B. C.2 D.3
11.如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.不能确定形状
12.如图，△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为( )
A.9 B.8 C.6 D.12
二.填空题(共6小题，共24分)
13.如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有 种.
14.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ范围是 .
15.如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于D，若△ADB的周长是10cm，AB=4cm，则AC= cm.
16.等腰三角形的两边长分别是3和5，则这个等腰三角形的周长为 .
17.如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒.
18.已知射线OM.以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB= (度)
三.解答题(共8小题)
19.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是28cm2，AB=16cm，AC=12cm，求DE的长.
20.如图.AB=AC，MB=MC.求证：直线AM是线段BC的垂直平分线.
21.如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F.
求证：DE=DF.
22.如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD=BE，求证：△ABC为等腰三角形.
23.如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，若AB=12，△AMN的周长为29，求AC的长.
24.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少?
25.如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上.
(1)折叠后，DC的对应线段是 ，CF的对应线段是 ;
(2)若∠1=50°，求∠2、∠3的度数;
(3)若AB=8，DE=10，求CF的长度.
26.如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外)，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M.
(1)求证：△ABQ≌△CAP;
(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗?若变化，请说明理由;若不变，求出它的度数.
(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗?若变化，请说明理由;若不变，则求出它的度数.
初二数学下第五章生活中的轴对称单元检测试卷A答案
一.选择题(共12小题)
1.分析： 根据轴对称图形的概念进行判断即可.
解：A、不是轴对称图形，故选项错误;
B、是轴对称图形，故选项正确;
C、不是轴对称图形，故选项错误;
D、不是轴对称图形，故选项错误.
故选：B.
2. 分析： 根据轴对称图形的性质，四边形ABCD沿直线l对折能够完全重合，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CAD=∠ACB=∠BAC=∠ACD，然后根据内错角相等，两直线平行即可判定AB∥CD，根据等角对等边可得AB=BC，然后判定出四边形ABCD是菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分即可判定AO=OC;只有四边形ABCD是正方形时，AB⊥BC才成立.
解：∵l是四边形ABCD的对称轴，
∴∠CAD=∠BAC，∠ACD=∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，
∴∠CAD=∠ACB=∠BAC=∠ACD，
∴AB∥CD，AB=BC，故①②正确;
又∵l是四边形ABCD的对称轴，
∴AB=AD，BC=CD，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AO=OC，故④正确，
∵菱形ABCD不一定是正方形，
∴AB⊥BC不成立，故③错误，
综上所述，正确的结论有①②④共3个.
故选C.
3. 分析： 如图，连接B和A关于CD对称的对称点，交CD于M，因此从A到M再到B点为最短距离.
解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于M，
∴CA′=AC，
∵AC=DB，
∴CA′=BD，
由分析可知，点M为饮水处，
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACD=∠A′CD=∠BDC=90°，
又∵∠A′MC=∠BMD，
在△CA′M和△DBM中，
，
∴△CA′M≌△DBM(AAS)，
∴A′M=BM，CM=DM，
即M为CD中点，
∴AM=BM=A′M=500，
所以最短距离为2AM=2×500=1000米，
故选B.
4.分析： 在Rt△BEC中利用勾股定理计算出AB=10，根据折叠的性质得到AD=BD=5，EA=EB，设AE=x，则BE=x，EC=8﹣x，在Rt△BEC中根据勾股定理计算出x= ，则EC=8﹣ = ，
利用三角形面积公式计算出S△BCE= BC•CE= ×6× = ，在Rt△BED中利用勾股定理计算出ED= = ，利用三角形面积公式计算出S△BDE= BD•DE= ×5× = ，然后求出两面积的比.
解：在Rt△BAC中，BC=6，AC=8，
∴AB= =10，
∵把△ABC沿DE使A与B重合，
∴AD=BD，EA=EB，
∴BD= AB=5，
设AE=x，则BE=x，EC=8﹣x，
在Rt△BEC中，∵BE2=EC2+BC2，即x2=(8﹣x)2+62，
∴x= ，
∴EC=8﹣x=8﹣ = ，
∴S△BCE= BC•CE= ×6× = ，
在Rt△BED中，∵BE2=ED2+BD2，
∴ED= = ，
∴S△BDE= BD•DE= ×5× = ，
∴S△BCE：S△BDE= ： =14：25.
故选B.
5. 分析： 利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交点.
解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交于点P.
故选D.
6. 分析： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
解：根据线段垂直平分线的性质可得：三角形三个顶点的距离相等的点是三边的垂直平分线的交点.
故选D.
7.分析： 首先由题意可得：AB=AC，根据等边对等角的性质，即可求得∠ACB的度数，又由直线l1∥l2，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠2的度数，然后根据平角的定义，即可求得∠1的度数.
解：根据题意得：AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=67°，
∵直线l1∥l2，
∴∠2=∠ABC=67°，
∵∠1+∠ACB+∠2=180°，
∴∠1=180°﹣∠2﹣∠ACB=180°﹣67°﹣67°=46°.
故选B.
8.分析： 根据等腰三角形性质，利用三角形内角定理对4个选项逐一进行分析即可得到答案.
解;当顶角为∠A=40°时，∠C=70°≠50°，
当顶角为∠B=50°时，∠C=65°≠40°
所以A选项错误.
当顶角为∠B=60°时，∠A=60°≠40°，
当∠A=40°时，∠B=70°≠60°，
所以B选项错误.
当顶角为∠A=40°时，∠C=70°=∠B，
所以C选项正确.
当顶角为∠A=40°时，∠B=70°≠80°，
当顶角为∠B=80°时，∠A=50°≠40°
所以D选项错误.
故选C.
9.分析： 由AD⊥BC，D为BC的中点，利用SAS可证明△ABD≌△ACD，然后利用全等三角形的性质即可求证出②③④.
解：∵AD⊥BC，D为BC的中点，
∴∠ADB=∠ADC=90°，BD=BC，
AD为公共边，
∴△ABD≌△ACD，
∴AB=AC，∠B=∠C，
∠BAD=∠CAD，
即AD是△ABC的角平分线.
故选D.
10.分析： 根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题.
解：∵等边三角形高线即中点，AB=2，
∴BD=CD=1，
在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，
∴AD= ，
∴S△ABC= BC•AD= ×2× = ，
故选B.
11. 分析： 先证得△ABE≌△ACD，可得AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°，即可证明△ADE是等边三角形.
解：∵△ABC为等边三角形
∴AB=AC
∵∠1=∠2，BE=CD
∴△ABE≌△ACD
∴AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°
∴△ADE是等边三角形.
故选B.
12.分析： 根据∠B=60°，AB=AC，即可判定△ABC为等边三角形，由BC=3，即可求出△ABC的周长.
解：在△ABC中，∵∠B=60°，AB=AC，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠A=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵BC=3，∴△ABC的周长为：3BC=9，
故选A.
二.填空题(共6小题)
13.分析： 根据轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合及正方形的对称轴是两条对角线所在的直线和两组对边的垂直平分线，得出结果.
解：在1，2，3处分别涂黑都可得一个轴对称图形，
故涂法有3种，
故答案为：3.
14.分析： 由OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA=2，根据角平分线的性质得到点P到OM的距离等于2，再根据直线外一点与直线上所有点的连线段中垂线段最短即可得到PQ≥2.
解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA=2，
∴点P到OM的距离等于2，
而点Q是射线OM上的一个动点，
∴PQ≥2.
故答案为PQ≥2.
15.分析： 根据线段的垂直平分线性质得出CD=BD，求出△ADB的周长AD+DB+AB=AC+AB=10cm，求出即可.
解：∵MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∵△ADB的周长是10cm，
∴AD+BD+AB=10cm，
∴AD+CD+AB=10cm，
∴AC+AB=10cm，
∵AB=4cm，
∴AC=6cm，
故答案为：6.
16.分析： 分3是腰长与底边两种情况讨论求解.
解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、5，
能组成三角形，周长=3+3+5=11，
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、5、5，
能组成三角形，周长=3+5+5=13，
综上所述，这个等腰三角形的周长是11或13.
故答案为：11或13.
17.分析： 设运动的时间为x，则AP=20﹣3x，当APQ是等腰三角形时，AP=AQ，则20﹣3x=2x，解得x即可.
解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，
AP=20﹣3x，AQ=2x
即20﹣3x=2x，
解得x=4.
故答案为：4.
18.分析： 首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度数.
解：连接AB，
根据题意得：OB=OA=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°.
故答案为：60.
三.解答题(共8小题)
19.分析： 利用角平分线的性质，得出DE=DF，再利用△ABC面积是28cm2可求DE.
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD= AB×DE+ AC×DF
∴S△ABC= (AB+AC)×DE
即 ×(16+12)×DE=28，
故DE=2(cm).
20.分析： 由AB=AC，MB=MC，根据线段垂直平分线的判定定理，可得点A在BC的垂直平分线上，点M在BC的垂直平分线上，又由两点确定一条直线，可得直线AM是线段BC的垂直平分线.
证明：∵AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∵BM=CM，
∴点M在BC的垂直平分线上，
∴直线AM是BC的垂直平分线.
21.分析： D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么DE=DF.
证明：
证法一：连接AD.
∵AB=AC，点D是BC边上的中点
∴AD平分∠BAC(三线合一性质)，
∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F.
∴DE=DF(角平分线上的点到角两边的距离相等).
证法二：在△ABC中，
∵AB=AC
∴∠B=∠C(等边对等角) …
∵点D是BC边上的中点
∴BD=DC …
∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F
∴∠BED=∠CFD=90°…
在△BED和△CFD中
∵ ，
∴△BED≌△CFD(AAS)，
∴DE=DF(全等三角形的对应边相等).
22.分析： 要证△ABC为等腰三角形，须证∠A=∠C，而由题中已知条件，DF⊥AC，BD=BE，因此，可以通过角的加减求得∠A与∠C相等，从而判断△ABC为等腰三角形.
证明：∵DF⊥AC，
∴∠DFA=∠EFC=90°.
∴∠A=∠DFA﹣∠D，∠C=∠EFC﹣∠CEF，
∵BD=BE，
∴∠BED=∠D.
∵∠BED=∠CEF，
∴∠D=∠CEF.
∴∠A=∠C.
∴△ABC为等腰三角形.
23.分析： 根据BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，BM=MO，NC=NO，从而知道，△AMN的周长是AB+AC的长，从而得解.
解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN∥BC，
∴BM=MO，CN=NO，
∴AM+MB+AN+NC=AM+MO+AN+NO=29.
∴AB+AC=29，∵AB=12，
∴AC=17.
24.分析： 先作A关于MN的对称点，连接A′B，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案.
解：如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，
则A′B就是最短路线，
在Rt△A′DB中，由勾股定理求得
A′B=DA = =17km，
答：他要完成这件事情所走的最短路程是17km.
25.分析： (1)根据折叠的性质即可得出;
(2)∠2=∠BEF.由AD∥BC得∠1=∠2，所以∠2=∠BEF=50°，从而得∠3=80°;
(3)根据勾股定理先求得AE的长度，也可求出AD，BC的长度，然后根据∠1=∠BEF=50°，可得BF=BE=10，继而可求得CF=BC﹣BF.
解：(1)由折叠的性质可得：折叠后，DC的对应线段是BC′，CF的对应线段是C′F;
(2)由折叠的性质可得：∠2=∠BEF，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2=50°.
∴∠2=∠BEF=50°，
∴∠3=180°﹣50°﹣50°=80°;
(3)∵AB=8，DE=10，
∴BE=10，
∴AE= =6，
∴AD=BC=6+10=16，
∵∠1=∠BEF=50°，
∴BF=BE=10，
∴CF=BC﹣BF=16﹣10=6.
故答案为：BC′，C′F.
26.分析： (1)根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP;
(2)由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=60°;
(3)由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=120°.
(1)证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵ ，
∴△ABQ≌△CAP(SAS);
(2)解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变.
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°…
(3)解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变.
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°﹣∠PAC=180°﹣60°=120°.
