新人教版数学八年级上册期末试卷
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新人教版数学八年级上册期末试题
一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分)
1.下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列四组线段中，可以组成三角形的是( )
A.1，2，3 B.2，3，4 C.4，4，8 D.3，4，9
3.点A(﹣2，3)关于x轴的对称点A′的坐标为( )
A.(2，﹣3) B.(﹣2，﹣3) C.(﹣2，3) D.( 2，3)
4.下列运算中正确的是( )
A.(x3)2=x5 B.2a﹣5•a3=2a8 C. D.6x3÷(﹣3x2)=2x
5.如果a：b=1：2，那么 =( )
A.﹣2 B.2 C.3 D.﹣3
6.如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB=EF，∠B=∠F，AE=10，AC=6，则CD的长为( )
A.2 B.4 C.4.5 D.3
7.如图所示，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，则∠B的度数是( )
A.40° B.35° C.25° D.20°
8.如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D.若ED=5，则CE的长为( )
A.10 B.8 C.5 D.2.5
9.运动会上，初二(3)班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根.乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
10.如图，已知AB∥CD，OA、OC分别平分∠BAC和∠ACD，OM⊥AC于点M，且OM=3，则AB、CD之间的距离为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
二、填空题(本题共10小题，每小题4分，共40分)
11.某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为 .
12.如果x2﹣Mx+9是一个完全平方式，则M的值是 .
13.若分式 的值为零，则x的值为 .
14.某细胞的直径为0.000000256m，则它用科学记数法表示为 .
15.已知：a+b= ，ab=1，化简(a﹣2)(b﹣2)的结果是 .
16.因式分解：xy2﹣4x= .
17.等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为 度.
18.如图，△AEB≌△ACD，AB=10cm，∠A=60°，∠ADC=90°，则AD= .
19.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=8cm，DE是BC边上的垂直平分线，△ABD的周长为14cm，则△ABC的面积是 cm2.
20.用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，则第n个图案中正三角形的个数为 (用含n的代数式表示).
三、解答题(共26分)
21.计算：
(1)(﹣ )﹣2﹣( ﹣1)0﹣|﹣2|+(﹣3)3×
(2)(x﹣3)2﹣(2x+1)(2x﹣1)﹣7
(3)(1﹣ )÷ .
22.先化简，再求值： ﹣ ÷ ，其中a=2.
23.解方程： + = .
四、几何作图或证明(共20分)
24.如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的定点，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小(在图中作出点P，保留作图痕迹，不写作法)
25.已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，CB=FE，BC∥EF，
求证：AB∥DE.
26.如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M.
(1)求证：△ABC≌△DCB;
(2)过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论.
五、探索解答(共24分)
27.如图1，小明将一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张全等直角三
角形纸片(如图2)，量得两直角边长为5cm、5 cm，较小锐角为
30°.
(1)直角三角形的斜边长是 cm.
(2)将剪得的两个直角三角形拼成等腰三角形，请作出所有不同的等腰三角形，并求其周长.
28.某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造.该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍.如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天.
(1)这项工程的规定时间是多少天?
(2)已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元.为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成.则该工程施工费用是多少?
29.如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC;△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP.
(1)示例：在图1中，通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系.
答：AB与AP的数量关系和位置关系分别是 、 .
(2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ.请你观察、测量，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系.答：BQ与AP的数量关系和位置关系分别是 、 .
(3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP、BQ.你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?若成立，给出证明;若不成立，请说明理由.
新人教版数学八年级上册期末试卷参考答案
一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分)
1.下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的概念结合4个汽车标志图案的形状求解.
【解答】解：由轴对称图形的概念可知第1个，第2个，第3个都是轴对称图形.
第4个不是轴对称图形，是中心对称图形.
故是轴对称图形的有3个.
故选C.
【点评】本题考查了轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形.
2.下列四组线段中，可以组成三角形的是( )
A.1，2，3 B.2，3，4 C.4，4，8 D.3，4，9
【考点】三角形三边关系.
【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可.
【解答】解：A、∵1+2=3，∴不能组成三角形，故A选项错误;
B、∵2+3>4，∴能组成三角形，故B选项正确;
C、∵4+4=8，∴不能组成三角形，故C选项错误;
D、∵4+3<9，∴不能组成三角形，故D选项错误.
故选：B.
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边是解答此题的关键.
3.点A(﹣2，3)关于x轴的对称点A′的坐标为( )
A.(2，﹣3) B.(﹣2，﹣3) C.(﹣2，3) D.( 2，3)
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案.
【解答】解：A(﹣2，3)关于x轴的对称点A′的坐标为(﹣2，﹣3);
故选：B.
【点评】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数;(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数;(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.
4.下列运算中正确的是( )
A.(x3)2=x5 B.2a﹣5•a3=2a8 C. D.6x3÷(﹣3x2)=2x
【考点】整式的混合运算.
【专题】计算题.
【分析】A、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断;
B、原式利用同分母幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断;
C、原式利用负指数幂法则计算得到结果，即可做出判断;
D、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断.
【解答】解：A、(x3)2=x6，故选项错误;
B、2a﹣5•a3=2a﹣2，故选项错误;
C、3﹣2= ，故选项正确;
D、6x3÷(﹣3x2)=﹣2x，故选项错误.
故选C.
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
5.如果a：b=1：2，那么 =( )
A.﹣2 B.2 C.3 D.﹣3
【考点】比例的性质.
【分析】根据两內项之积等于两外项之积用a表示出b，然后代入比例式进行计算即可得解.
【解答】解：∵a：b=1：2，
∴b=2a，
∴ = =﹣3.
故选D.
【点评】本题考查了比例的性质，用a表示出b是解题的关键.
6.如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB=EF，∠B=∠F，AE=10，AC=6，则CD的长为( )
A.2 B.4 C.4.5 D.3
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】先证明△ABC≌△EFD，得出AC=ED=6，再求出AD=AE﹣ED=4，即可得出CD=AC﹣AD=2.
【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠A=∠E，
在△ABC和△EFD中，
，
∴△ABC≌△EFD(ASA)，
∴AC=ED=6，
∴AD=AE﹣ED=10﹣6=4，
∴CD=AC﹣AD=6﹣4=2.
故选A.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质;证明三角形全等是解决问题的关键.
7.如图所示，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，则∠B的度数是( )
A.40° B.35° C.25° D.20°
【考点】等腰三角形的性质.
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ADC的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角与内角的关系求出∠B的度数即可.
【解答】解：∵△ABC中，AC=AD，∠DAC=80°，
∴∠ADC= =50°，
∵AD=BD，∠ADC=∠B+∠BAD=50°，
∴∠B=∠BAD=( )°=25°.
故选C.
【点评】此题比较简单，考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理.
8.如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D.若ED=5，则CE的长为( )
A.10 B.8 C.5 D.2.5
【考点】线段垂直平分线的性质;含30度角的直角三角形.
【分析】根据线段垂直平分线性质得出BE=CE，根据含30度角的直角三角形性质求出BE的长，即可求出CE长.
【解答】解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE，∠BDE=90°(线段垂直平分线的性质)，
∵∠B=30°，
∴BE=2DE=2×5=10(直角三角形的性质)，
∴CE=BE=10.
故选A.
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，关键是得到BE=CE和求出BE长，题目比较典型，难度适中.
9.运动会上，初二(3)班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根.乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
【考点】由实际问题抽象出分式方程.
【专题】压轴题.
【分析】若设甲种雪糕的价格为x元，根据等量关系“甲种雪糕比乙种雪糕多20根”可列方程求解.
【解答】解：设甲种雪糕的价格为x元，则
甲种雪糕的根数： ;
乙种雪糕的根数： .
可得方程： ﹣ =20.
故选B.
【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的.本题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键.
10.如图，已知AB∥CD，OA、OC分别平分∠BAC和∠ACD，OM⊥AC于点M，且OM=3，则AB、CD之间的距离为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【考点】角平分线的性质;平行线之间的距离.
【分析】作OF⊥AB，延长FO与CD交于G点，根据角平分线的性质可得，OM=OF=OG，即可求得AB与CD之间的距离.
【解答】解：作OF⊥AB，延长FO与CD交于G点，
∵AB∥CD，
∴FG垂直CD，
∴FG就是AB与CD之间的距离.
∵∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交AC于M，
∴OM=OF=OG，
∴AB与CD之间的距离等于2OM=6.
故选C.
【点评】本题主要考查角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，作出AB与CD之间的距离是正确解决本题的关键.
二、填空题(本题共10小题，每小题4分，共40分)
11.某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为 B6395 .
【考点】镜面对称.
【分析】利用镜面对称的性质求解.镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称.
【解答】解：由镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“B6395”成轴对称，则该汽车的号码是B6395.
故答案是：B6395.
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质.解决此类题应认真观察，注意技巧.
12.如果x2﹣Mx+9是一个完全平方式，则M的值是 ±6 .
【考点】完全平方式.
【专题】计算题.
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到M的值.
【解答】解：∵x2﹣Mx+9是一个完全平方式，
∴﹣M=±6，
解得：M=±6，
故答案为：±6.
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
13.若分式 的值为零，则x的值为 ﹣2 .
【考点】分式的值为零的条件.
【专题】计算题.
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值.
【解答】解：由分式的值为零的条件得|x|﹣2=0，x﹣2≠0，
由|x|﹣2=0，解得x=2或x=﹣2，
由x﹣2≠0，得x≠2，
综上所述，得x=﹣2，
故答案为：﹣2.
【点评】若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0;(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.
14.某细胞的直径为0.000000256m，则它用科学记数法表示为 2.56×10﹣7 .
【考点】科学记数法—表示较小的数.
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【解答】解：0.000000256=2.56×10﹣7，
故答案为：2.56×10﹣7.
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
15.已知：a+b= ，ab=1，化简(a﹣2)(b﹣2)的结果是 2 .
【考点】整式的混合运算—化简求值.
【专题】整体思想.
【分析】根据多项式相乘的法则展开，然后代入数据计算即可.
【解答】解：(a﹣2)(b﹣2)
=ab﹣2(a+b)+4，
当a+b= ，ab=1时，原式=1﹣2× +4=2.
故答案为：2.
【点评】本题考查多项式相乘的法则和整体代入的数学思想.
16.因式分解：xy2﹣4x= x(y+2)(y﹣2) .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
【解答】解：xy2﹣4x，
=x(y2﹣4)，
=x(y+2)(y﹣2).
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解.
17.等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为 30或150 度.
【考点】含30度角的直角三角形;等腰三角形的性质.
【专题】计算题.
【分析】分为两种情况：①高BD在△ABC内时，根据含30度角的直角三角形性质求出即可;②高CD在△ABC外时，求出∠DAC，根据平角的定义求出∠BAC即可.
【解答】解：①如图，
∵BD是△ABC的高，AB=AC，BD= AB，
∴∠A=30°，
②如图，
∵CD是△ABC边BA 上的高，DC= AC，
∴∠DAC=30°，
∴∠BAC=180°﹣30°=150°，
故答案为：30或150.
【点评】本题考查了等腰三角形性质和含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生能否求出符合条件的所有情况，注意：一定要分类讨论啊.
18.如图，△AEB≌△ACD，AB=10cm，∠A=60°，∠ADC=90°，则AD= 5cm .
【考点】全等三角形的性质.
【分析】根据勾股定理求出∠C的度数，根据全等三角形的性质得到AC=AB=10cm，根据直角三角形的性质解答即可.
【解答】解：∵∠A=60°，∠ADC=90°，
∴∠C=30°，
∵△AEB≌△ACD，
∴AC=AB=10cm，
∴AD= AC=5cm.
故答案为：5cm.
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键.
19.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=8cm，DE是BC边上的垂直平分线，△ABD的周长为14cm，则△ABC的面积是 24 cm2.
【考点】线段垂直平分线的性质.
【分析】根据线段垂直平分线性质得出BD=DC，求出AB+AC=14cm，求出AB，代入 ×AB×AC求出即可.
【解答】解：∵DE是BC边上的垂直平分线，
∴BD=DC，
∵△ABD的周长为14cm，
∴BD+AD+AB=14cm，
∴AB+AD+CD=14cm，
∴AB+AC=14cm，
∵AC=8cm，
∴AB=6cm，
∴△ABC的面积是 AB×AC= ×6×8=24(cm2)，
故答案为：24.
【点评】本题考查了三角形的面积和线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.
20.用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，则第n个图案中正三角形的个数为 4n+2 (用含n的代数式表示).
【考点】规律型：图形的变化类.
【专题】压轴题;规律型.
【分析】分析可知规律是每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个.
【解答】解：第一个图案正三角形个数为6=2+4;
第二个图案正三角形个数为2+4+4=2+2×4;
第三个图案正三角形个数为2+2×4+4=2+3×4;
…;
第n个图案正三角形个数为2+(n﹣1)×4+4=2+4n=4n+2.
故答案为：4n+2.
【点评】此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和空间想象能力.
三、解答题(共26分)
21.计算：
(1)(﹣ )﹣2﹣( ﹣1)0﹣|﹣2|+(﹣3)3×
(2)(x﹣3)2﹣(2x+1)(2x﹣1)﹣7
(3)(1﹣ )÷ .
【考点】实数的运算;整式的混合运算;分式的混合运算;零指数幂;负整数指数幂.
【专题】计算题;实数.
【分析】(1)原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，第四项利用乘方的意义及立方根定义计算即可得到结果;
(2)原式利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号合并即可得到结果;
(3)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果.
【解答】解：(1)原式=9﹣1﹣2+9=6+9=15;
(2)原式=x2﹣6x+9﹣4x2+1﹣7=﹣3x2﹣6x+3;
(3)原式= • = .
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
22.先化简，再求值： ﹣ ÷ ，其中a=2.
【考点】分式的化简求值.
【分析】先进行分式的化简，然后将a的值代入求解.
【解答】解：原式= ﹣ •
= ﹣
= ，
当a=2时，原式= .
【点评】本题考查了分式的化简，解答本题的关键是把分式化到最简，然后代值计算.
23.解方程： + = .
【考点】解分式方程.
【分析】利用解分式方程的步骤与方法求得方程的解即可.
【解答】解： + =
方程两边同乘(x+2)(x﹣2)得
x+2(x﹣2)=x+2
解得：x=3
检验：当x=3，(x+2)(x﹣2)≠0，
所以原分式方程的解为x=3.
【点评】此题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤与方法是解决问题的关键.
四、几何作图或证明(共20分)
24.如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的定点，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小(在图中作出点P，保留作图痕迹，不写作法)
【考点】轴对称-最短路线问题.
【分析】由题意可知DE的长度固定，故此△PDE的周长最小即PD+PE有最小值，先作出点D关于BC的对称点D′，连接D′E交BC于点P，点P即为所求.
【解答】解：如图所示：
【点评】本题主要考查的是轴对称﹣最短路线问题，明确当点D′、P、E在一条直线上时，三角形PDE的周长最小是解题的关键.
25.已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，CB=FE，BC∥EF，
求证：AB∥DE.
【考点】全等三角形的判定与性质;平行线的判定与性质.
【专题】证明题.
【分析】由题中条件可得△ABC≌△DEF，进而可得∠A=∠D，进而可得出结论.
【解答】证明：∵BC∥EF，
∴∠BCF=∠EFC，
∴∠ACB=∠EFD，
∵AF=DC，
∴AC=DF，
又BC=EF，
∴△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠D，
∴AB∥DE(内错角相等，两直线平行)
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及平行线的性质及判定问题，能够熟练掌握.
26.如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M.
(1)求证：△ABC≌△DCB;
(2)过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论.
【考点】菱形的判定;全等三角形的判定.
【专题】证明题;探究型.
【分析】(1)由SSS可证△ABC≌△DCB;
(2)BN=CN，可先证明四边形BMCN是平行四边形，由(1)知，∠MBC=∠MCB，可得BM=CM，于是就有四边形BMCN是菱形，则BN=CN.
【解答】(1)证明：如图，在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC，AC=DB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB;
(2)解：据已知有BN=CN.证明如下：
∵CN∥BD，BN∥AC，
∴四边形BMCN是平行四边形，
由(1)知，∠MBC=∠MCB，
∴BM=CM(等角对等边)，
∴四边形BMCN是菱形，
∴BN=CN.
【点评】此题主要考查全等三角形和菱形的判定.
五、探索解答(共24分)
27.如图1，小明将一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张全等直角三
角形纸片(如图2)，量得两直角边长为5cm、5 cm，较小锐角为
30°.
(1)直角三角形的斜边长是 10 cm.
(2)将剪得的两个直角三角形拼成等腰三角形，请作出所有不同的等腰三角形，并求其周长.
【考点】图形的剪拼.
【分析】(1)直接利用勾股定理得出答案;
(2)利用等腰三角形的性质分别得出符合题意的图形.
【解答】解：(1)∵两直角边长为5cm、5 cm，
∴直角三角形的斜边长是： =10(cm);
故答案为：10;
(2)如图所示：
图1中三角形的周长为：5+5+10+10=30(cm)，
图2中三角形的周长为：5 +5 +10+10=10 +20(cm).
【点评】此题主要考查了勾股定理以及图形的剪拼，正确利用等腰三角形的性质得出是解题关键.
28.某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造.该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍.如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天.
(1)这项工程的规定时间是多少天?
(2)已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元.为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成.则该工程施工费用是多少?
【考点】分式方程的应用.
【分析】(1)设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要10天完成，可得出方程解答即可;
(2)先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可.
【解答】解：(1)设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：
( + )×15+ =1.
解得：x=30.
经检验x=30是原分式方程的解.
答：这项工程的规定时间是30天.
(2)该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷( + )=22.5(天)，
则该工程施工费用是：22.5×=225000(元).
答：该工程的费用为225000元.
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答.
29.如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC;△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP.
(1)示例：在图1中，通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系.
答：AB与AP的数量关系和位置关系分别是 AB=AP 、 AB⊥AP .
(2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ.请你观察、测量，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系.答：BQ与AP的数量关系和位置关系分别是 BQ=AP 、 BQ⊥AP .
(3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP、BQ.你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?若成立，给出证明;若不成立，请说明理由.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】(1)由于AC⊥BC，且AC=BC，边EF与边AC重合，且EF=FP，则△ABC与△EFP是全等的等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=∠CAP=45°，AB=AP，则∠BAP=90°，于是AP⊥AB;
(2)延长BO交AP于H点，可得到△OPC为等腰直角三角形，则有OC=PC，根据“SAS”可判断△ACP≌△BCO，则AP=BO，∠CAP=∠CBO，利用三角形内角和定理可得到∠AHO=∠BCO=90°，即AP⊥BO;
(3)BO与AP所满足的数量关系为相等，位置关系为垂直.证明方法与(2)一样.
【解答】解：(1)AB=AP，AB⊥AP;
(2)BQ=AP，BQ⊥AP;
(3)成立.
证明：如图，∵∠EPF=45°，
∴∠CPQ=45°.
∵AC⊥BC，
∴∠CQP=∠CPQ，
CQ=CP.
在Rt△BCQ和Rt△ACP中，
∴Rt△BCQ≌Rt△ACP(SAS)
∴BQ=AP;
延长QB交AP于点N，
∴∠PBN=∠CBQ.
∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，
∴∠BQC=∠APC.
在Rt△BCQ中，∠BCQ+∠CBQ=90°，
∴∠APC+∠PBN=90°.
∴∠PNB=90°.
∴QB⊥AP.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等;全等三角形的对应边相等.也考查了等腰直角三角形的判定与性质.
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