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八年级数学上册线段、角的轴对称性试卷

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  只有脚踏实地做八年级数学测试题的人,才能够说:路,就在我的脚下。小编整理了关于八年级数学上册线段、角的轴对称性试卷,希望对大家有帮助!

  八年级数学上册线段、角的轴对称性试试题

  一、选择题(共14小题)

  1.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P(  )

  A.有且只有1个

  B.有且只有2个

  C.组成∠E的角平分线

  D.组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)

  2.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于(  )

  A.10 B.7 C.5 D.4

  3.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,DE=1,则BC=(  )

  A. B.2 C.3 D. +2

  4.如图,在边长为 的等边三角形ABC中,过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P,则点P到边AB所在直线的距离为(  )

  A. B. C. D.1

  5.如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为(  )

  A.6 B.5 C.4 D.3

  6.如图,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点,则DM的长是(  )

  A.2 B. C. D.

  7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,AC=3,BC=4,则CD的长是(  )

  A.1 B. C. D.2

  8.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,得到下列四个结论:

  ①OA=OD;

  ②AD⊥EF;

  ③当∠A=90°时,四边形AEDF是正方形;

  ④AE+DF=AF+DE.

  其中正确的是(  )

  A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④

  9.如图,AD是△ABC的角平分线,则AB:AC等于(  )

  A.BD:CD B.AD:CD C.BC:AD D.BC:AC

  10.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于 MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是(  )

  ①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC:S△ABC=1:3.

  A.1 B.2 C.3 D.4

  11.如图,三角形ABC中,∠A的平分线交BC于点D,过点D作DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,下面四个结论:

  ①∠AFE=∠AEF;

  ②AD垂直平分EF;

  ③ ;

  ④EF一定平行BC.

  其中正确的是(  )

  A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④

  12.如图,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是(  )

  A.3 B.4 C.6 D.5

  13.如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD,下列结论中不正确的是(  )

  A.∠BAC=70° B.∠DOC=90° C.∠BDC=35° D.∠DAC=55°

  14.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,AD平分∠BAC交BC于D,则BD的长为(  )

  A. B. C. D.

  二、填空题(共13小题)

  15.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线.若AB=6,则点D到AB的距离是      .

  16.在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比是      .

  17.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DC=3,则点D到AB的距离是      .

  18.如图,在菱形ABCD中,点P是对角线AC上的一点,PE⊥AB于点E.若PE=3,则点P到AD的距离为      .

  19.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,AD=3,BC=10,则△BDC的面积是      .

  20.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,且AB=4,BD=5,那么点D到BC的距离是      .

  21.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3,则△ABD的面积为      .

  22.如图,∠AOB=70°,QC⊥OA于C,QD⊥OB于D,若QC=QD,则∠AOQ=      °.

  23.在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,AC=6,BC=8,CD=      .

  24.已知OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D、E,PD=10,则PE的长度为      .

  25.如图,BD是∠ABC的平分线,P为BD上的一点,PE⊥BA于点E,PE=4cm,则点P到边BC的距离为      cm.

  26.如图,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,DE⊥AC交于点E,DF⊥BC于点F,且BC=4,DE=2,则△BCD的面积是      .

  27.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC与BC相交于点D,若AD=4,CD=2,则AB的长是      .

  三、解答题(共3小题)

  28.如图,四边形ABCD中,AC为∠BAD的角平分线,AB=AD,E、F两点分别在AB、AD上,且AE=DF.请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半.

  29.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是△ABC的一条角平分线.点O、E、F分别在BD、BC、AC上,且四边形OECF是正方形.

  (1)求证:点O在∠BAC的平分线上;

  (2)若AC=5,BC=12,求OE的长.

  30.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.

  (1)求DE的长;

  (2)求△ADB的面积.

  八年级数学上册线段、角的轴对称性试卷参考答案

  一、选择题(共14小题)

  1.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P(  )

  A.有且只有1个

  B.有且只有2个

  C.组成∠E的角平分线

  D.组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)

  【考点】角平分线的性质.

  【分析】根据角平分线的性质分析,作∠E的平分线,点P到AB和CD的距离相等,即可得到S△PAB=S△PCD.

  【解答】解:作∠E的平分线,

  可得点P到AB和CD的距离相等,

  因为AB=CD,

  所以此时点P满足S△PAB=S△PCD.

  故选D.

  【点评】此题考查角平分线的性质,关键是根据AB=CD和三角形等底作出等高即可.

  2.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于(  )

  A.10 B.7 C.5 D.4

  【考点】角平分线的性质.

  【分析】作EF⊥BC于F,根据角平分线的性质求得EF=DE=2,然后根据三角形面积公式求得即可.

  【解答】解:作EF⊥BC于F,

  ∵BE平分∠ABC,ED⊥AB,EF⊥BC,

  ∴EF=DE=2,

  ∴S△BCE= BC•EF= ×5×2=5,

  故选C.

  【点评】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积,作出辅助线求得三角形的高是解题的关键.

  3.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,DE=1,则BC=(  )

  A. B.2 C.3 D. +2

  【考点】角平分线的性质;含30度角的直角三角形.

  【分析】根据角平分线的性质即可求得CD的长,然后在直角△BDE中,根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半,即可求得BD长,则BC即可求得.

  【解答】解:∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,∠C=90°,

  ∴CD=DE=1,

  又∵直角△BDE中,∠B=30°,

  ∴BD=2DE=2,

  ∴BC=CD+BD=1+2=3.

  故选C.

  【点评】本题考查了角的平分线的性质以及直角三角形的性质,30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半,理解性质定理是关键.

  4.如图,在边长为 的等边三角形ABC中,过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P,则点P到边AB所在直线的距离为(  )

  A. B. C. D.1

  【考点】角平分线的性质;等边三角形的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理.

  【分析】根据△ABC为等边三角形,BP平分∠ABC,得到∠PBC=30°,利用PC⊥BC,所以∠PCB=90°,在Rt△PCB中, =1,即可解答.

  【解答】解:∵△ABC为等边三角形,BP平分∠ABC,

  ∴∠PBC= =30°,

  ∵PC⊥BC,

  ∴∠PCB=90°,

  在Rt△PCB中, =1,

  ∴点P到边AB所在直线的距离为1,

  故选:D.

  【点评】本题考查了等边三角形的性质、角平分线的性质、利用三角函数求值,解决本题的关键是等边三角形的性质.

  5.如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为(  )

  A.6 B.5 C.4 D.3

  【考点】角平分线的性质.

  【分析】过点P作PE⊥OB于点E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PD,从而得解.

  【解答】解:如图,

  过点P作PE⊥OB于点E,

  ∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA于D,

  ∴PE=PD,

  ∵PD=6,

  ∴PE=6,

  即点P到OB的距离是6.

  故选:A.

  【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,是基础题,比较简单,熟记性质是解题的关键.

  6.如图,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点,则DM的长是(  )

  A.2 B. C. D.

  【考点】角平分线的性质;含30度角的直角三角形;直角三角形斜边上的中线;勾股定理.

  【分析】由OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,易得△OCP是等腰三角形,∠COP=30°,又由含30°角的直角三角形的性质,即可求得PE的值,继而求得OP的长,然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可求得DM的长.

  【解答】解:∵OP平分∠AOB,∠AOB=60°,

  ∴∠AOP=∠COP=30°,

  ∵CP∥OA,

  ∴∠AOP=∠CPO,

  ∴∠COP=∠CPO,

  ∴OC=CP=2,

  ∵∠PCE=∠AOB=60°,PE⊥OB,

  ∴∠CPE=30°,

  ∴CE= CP=1,

  ∴PE= = ,

  ∴OP=2PE=2 ,

  ∵PD⊥OA,点M是OP的中点,

  ∴DM= OP= .

  故选:C.

  【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定、含30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.

  7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,AC=3,BC=4,则CD的长是(  )

  A.1 B. C. D.2

  【考点】角平分线的性质;三角形的面积;勾股定理.

  【分析】过点D作DE⊥AB于E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD,利用勾股定理列式求出AB,再根据△ABC的面积公式列出方程求解即可.

  【解答】解:如图,过点D作DE⊥AB于E,

  ∵∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,

  ∴DE=CD,

  由勾股定理得,AB= = =5,

  S△ABC= AB•DE+ AC•CD= AC•BC,

  即 ×5•CD+ ×3•CD= ×3×4,

  解得CD= .

  故选C.

  【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,三角形的面积,勾股定理,熟记性质并根据三角形的面积列出方程是解题的关键.

  8.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,得到下列四个结论:

  ①OA=OD;

  ②AD⊥EF;

  ③当∠A=90°时,四边形AEDF是正方形;

  ④AE+DF=AF+DE.

  其中正确的是(  )

  A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④

  【考点】角平分线的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的判定.

  【专题】压轴题.

  【分析】①如果OA=OD,则四边形AEDF是矩形,∠A=90°,不符合题意,所以①不正确.

  ②首先根据全等三角形的判定方法,判断出△AED≌△AFD,AE=AF,DE=DF;然后根据全等三角形的判定方法,判断出△AE0≌△AFO,即可判断出AD⊥EF.

  ③首先判断出当∠A=90°时,四边形AEDF的四个角都是直角,四边形AEDF是矩形,然后根据DE=DF,判断出四边形AEDF是正方形即可.

  ④根据△AED≌△AFD,判断出AE=AF,DE=DF,即可判断出AE+DF=AF+DE成立,据此解答即可.

  【解答】解:如果OA=OD,则四边形AEDF是矩形,∠A=90°,不符合题意,

  ∴①不正确;

  ∵AD是△ABC的角平分线,

  ∴∠EAD∠FAD,

  在△AED和△AFD中,

  ∴△AED≌△AFD(AAS),

  ∴AE=AF,DE=DF,

  ∴AE+DF=AF+DE,

  ∴④正确;

  在△AEO和△AFO中,

  ,

  ∴△AE0≌△AF0(SAS),

  ∴EO=FO,

  又∵AE=AF,

  ∴AO是EF的中垂线,

  ∴AD⊥EF,

  ∴②正确;

  ∵当∠A=90°时,四边形AEDF的四个角都是直角,

  ∴四边形AEDF是矩形,

  又∵DE=DF,

  ∴四边形AEDF是正方形,

  ∴③正确.

  综上,可得

  正确的是:②③④.

  故选:D.

  【点评】(1)此题主要考查了三角形的角平分线的性质和应用,以及直角三角形的性质和应用,要熟练掌握.

  (2)此题还考查了全等三角形的判定和应用,要熟练掌握.

  (3)此题还考查了矩形、正方形的性质和应用,要熟练掌握.

  9.如图,AD是△ABC的角平分线,则AB:AC等于(  )

  A.BD:CD B.AD:CD C.BC:AD D.BC:AC

  【考点】角平分线的性质.

  【专题】压轴题.

  【分析】先过点B作BE∥AC交AD延长线于点E,由于BE∥AC,利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质,可得∴△BDE∽△CDA,∠E=∠DAC,再利用相似三角形的性质可有 = ,而利用AD时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD,于是BE=AB,等量代换即可证.

  【解答】解:如图

  过点B作BE∥AC交AD延长线于点E,

  ∵BE∥AC,

  ∴∠DBE=∠C,∠E=∠CAD,

  ∴△BDE∽△CDA,

  ∴ = ,

  又∵AD是角平分线,

  ∴∠E=∠DAC=∠BAD,

  ∴BE=AB,

  ∴ = ,

  ∴AB:AC=BD:CD.

  故选:A.

  【点评】此题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论.关键是作平行线.

  10.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于 MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是(  )

  ①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC:S△ABC=1:3.

  A.1 B.2 C.3 D.4

  【考点】角平分线的性质;线段垂直平分线的性质;作图—基本作图.

  【分析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线;

  ②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°,则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数;

  ③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形,由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上;

  ④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比.

  【解答】解:①根据作图的过程可知,AD是∠BAC的平分线.

  故①正确;

  ②如图,∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,

  ∴∠CAB=60°.

  又∵AD是∠BAC的平分线,

  ∴∠1=∠2= ∠CAB=30°,

  ∴∠3=90°﹣∠2=60°,即∠ADC=60°.

  故②正确;

  ③∵∠1=∠B=30°,

  ∴AD=BD,

  ∴点D在AB的中垂线上.

  故③正确;

  ④∵如图,在直角△ACD中,∠2=30°,

  ∴CD= AD,

  ∴BC=CD+BD= AD+AD= AD,S△DAC= AC•CD= AC•AD.

  ∴S△ABC= AC•BC= AC• AD= AC•AD,

  ∴S△DAC:S△ABC= AC•AD: AC•AD=1:3.

  故④正确.

  综上所述,正确的结论是:①②③④,共有4个.

  故选D.

  【点评】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图.解题时,需要熟悉等腰三角形的判定与性质.

  11.如图,三角形ABC中,∠A的平分线交BC于点D,过点D作DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,下面四个结论:

  ①∠AFE=∠AEF;

  ②AD垂直平分EF;

  ③ ;

  ④EF一定平行BC.

  其中正确的是(  )

  A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④

  【考点】角平分线的性质;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质.

  【分析】由三角形ABC中,∠A的平分线交BC于点D,过点D作DE⊥AC,DF⊥AB,根据角平分线的性质,可得DE=DF,∠ADE=∠ADF,又由角平分线的性质,可得AF=AE,继而证得①∠AFE=∠AEF;又由线段垂直平分线的判定,可得②AD垂直平分EF;然后利用三角形的面积公式求解即可得③ .

  【解答】解:①∵三角形ABC中,∠A的平分线交BC于点D,DE⊥AC,DF⊥AB,

  ∴∠ADE=∠ADF,DF=DE,

  ∴AF=AE,

  ∴∠AFE=∠AEF,故正确;

  ②∵DF=DE,AF=AE,

  ∴点D在EF的垂直平分线上,点A在EF的垂直平分线上,

  ∴AD垂直平分EF,故正确;

  ③∵S△BFD= BF•DF,S△CDE= CE•DE,DF=DE,

  ∴ ;故正确;

  ④∵∠EFD不一定等于∠BDF,

  ∴EF不一定平行BC.故错误.

  故选A.

  【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.

  12.如图,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是(  )

  A.3 B.4 C.6 D.5

  【考点】角平分线的性质.

  【专题】几何图形问题.

  【分析】过点D作DF⊥AC于F,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF,再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可.

  【解答】解:如图,过点D作DF⊥AC于F,

  ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB,

  ∴DE=DF,

  由图可知,S△ABC=S△ABD+S△ACD,

  ∴ ×4×2+ ×AC×2=7,

  解得AC=3.

  故选:A.

  【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,熟记性质是解题的关键.

  13.如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD,下列结论中不正确的是(  )

  A.∠BAC=70° B.∠DOC=90° C.∠BDC=35° D.∠DAC=55°

  【考点】角平分线的性质;三角形内角和定理.

  【专题】计算题.

  【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°,再根据角平分线的定义求出∠ABO,然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB,根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO,再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC,判断出AD为三角形的外角平分线,然后列式计算即可求出∠DAC.

  【解答】解:∵∠ABC=50°,∠ACB=60°,

  ∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°,

  故A选项正确,

  ∵BD平分∠ABC,

  ∴∠ABO= ∠ABC= ×50°=25°,

  在△ABO中,

  ∠AOB=180°﹣∠BAC﹣∠ABO=180°﹣70°﹣25°=85°,

  ∴∠DOC=∠AOB=85°,

  故B选项错误;

  ∵CD平分∠ACE,

  ∴∠ACD= (180°﹣60°)=60°,

  ∴∠BDC=180°﹣85°﹣60°=35°,

  故C选项正确;

  ∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线,

  ∴AD是△ABC的外角平分线,

  ∴∠DAC= (180°﹣70°)=55°,

  故D选项正确.

  故选:B.

  【点评】本题考查了角平分线的性质,三角形的内角和定理,角平分线的定义,熟记定理和概念是解题的关键.

  14.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,AD平分∠BAC交BC于D,则BD的长为(  )

  A. B. C. D.

  【考点】角平分线的性质;三角形的面积;勾股定理.

  【专题】压轴题.

  【分析】根据勾股定理列式求出BC,再利用三角形的面积求出点A到BC上的高,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点D到AB、AC上的距离相等,然后利用三角形的面积求出点D到AB的长,再利用△ABD的面积列式计算即可得解.

  【解答】解:∵∠BAC=90°,AB=3,AC=4,

  ∴BC= = =5,

  ∴BC边上的高=3×4÷5= ,

  ∵AD平分∠BAC,

  ∴点D到AB、AC上的距离相等,设为h,

  则S△ABC= ×3h+ ×4h= ×5× ,

  解得h= ,

  S△ABD= ×3× = BD• ,

  解得BD= .

  故选A.

  【点评】本题考查了角平分线的性质,三角形的面积,勾股定理,利用三角形的面积分别求出相应的高是解题的关键.

  二、填空题(共13小题)

  15.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线.若AB=6,则点D到AB的距离是   .

  【考点】角平分线的性质.

  【分析】求出∠ABC,求出∠DBC,根据含30度角的直角三角形性质求出BC,CD,问题即可求出.

  【解答】解:∵∠C=90°,∠A=30°,

  ∴∠ABC=180°﹣30°﹣90°=60°,

  ∵BD是∠ABC的平分线,

  ∴∠DBC= ∠ABC=30°,

  ∴BC= AB=3,

  ∴CD=BC•tan30°=3× = ,

  ∵BD是∠ABC的平分线,

  又∵角平线上点到角两边距离相等,

  ∴点D到AB的距离=CD= ,

  故答案为: .

  【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,熟记性质是解题的关键.

  16.在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比是 4:3 .

  【考点】角平分线的性质.

  【分析】估计角平分线的性质,可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等,估计三角形的面积公式,即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比.

  【解答】解:∵AD是△ABC的角平分线,

  ∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1,h2,

  ∴h1=h2,

  ∴△ABD与△ACD的面积之比=AB:AC=4:3,

  故答案为4:3.

  【点评】本题考查了角平分线的性质,以及三角形的面积公式,熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键.

  17.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DC=3,则点D到AB的距离是 3 .

  【考点】角平分线的性质.

  【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DC即可得解.

  【解答】解:作DE⊥AB于E,

  ∵AD是∠CAB的角平分线,∠C=90°,

  ∴DE=DC,

  ∵DC=3,

  ∴DE=3,

  即点D到AB的距离DE=3.

  故答案为:3.

  【点评】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,熟记性质是解题的关键.

  18.如图,在菱形ABCD中,点P是对角线AC上的一点,PE⊥AB于点E.若PE=3,则点P到AD的距离为 3 .

  【考点】角平分线的性质;菱形的性质.

  【专题】计算题.

  【分析】作PF⊥AD于D,如图,根据菱形的性质得AC平分∠BAD,然后根据角平分线的性质得PF=PE=3.

  【解答】解:作PF⊥AD于D,如图,

  ∵四边形ABCD为菱形,

  ∴AC平分∠BAD,

  ∵PE⊥AB,PF⊥AD,

  ∴PF=PE=3,

  即点P到AD的距离为3.

  故答案为:3.

  【点评】本题考查了角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了菱形的性质.

  19.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,AD=3,BC=10,则△BDC的面积是 15 .

  【考点】角平分线的性质.

  【分析】过D作DE⊥BC于E,根据角平分线性质求出DE=3,根据三角形的面积求出即可.

  【解答】解:过D作DE⊥BC于E,

  ∵∠A=90°,

  ∴DA⊥AB,

  ∵BD平分∠ABC,

  ∴AD=DE=3,

  ∴△BDC的面积是 ×DE×BC= ×10×3=15,

  故答案为:15.

  【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积的应用,注意:角平分线上的点到角两边的距离相等.

  20.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,且AB=4,BD=5,那么点D到BC的距离是 3 .

  【考点】角平分线的性质;勾股定理.

  【分析】首先过点D作DE⊥BC于E,由在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,根据角平分线的性质,即可得DE=AD,又由勾股定理求得AD的长,继而求得答案.

  【解答】解:过点D作DE⊥BC于E,

  ∵在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,

  即AD⊥BA,

  ∴DE=AD,

  ∵在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=4,BD=5,

  ∴AD= =3,

  ∴DE=AD=3,

  ∴点D到BC的距离是3.

  故答案为:3.

  【点评】此题考查了角平分线的性质与勾股定理的应用.此题难度不大,注意数形结合思想的应用,注意掌握辅助线的作法.

  21.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3,则△ABD的面积为 15 .

  【考点】角平分线的性质.

  【专题】几何图形问题.

  【分析】要求△ABD的面积,现有AB=10可作为三角形的底,只需求出该底上的高即可,需作DE⊥AB于E.根据角平分线的性质求得DE的长,即可求解.

  【解答】解:作DE⊥AB于E.

  ∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,

  ∴DE=CD=3.

  ∴△ABD的面积为 ×3×10=15.

  故答案是:15.

  【点评】此题主要考查角平分线的性质;熟练运用角平分线的性质定理,是很重要的,作出并求出三角形AB边上的高时解答本题的关键.

  22.如图,∠AOB=70°,QC⊥OA于C,QD⊥OB于D,若QC=QD,则∠AOQ= 35 °.

  【考点】角平分线的性质.

  【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断OQ是∠AOB的平分线,然后根据角平分线的定义解答即可.

  【解答】解:∵QC⊥OA于C,QD⊥OB于D,QC=QD,

  ∴OQ是∠AOB的平分线,

  ∵∠AOB=70°,

  ∴∠AOQ= ∠A0B= ×70°=35°.

  故答案为:35.

  【点评】本题考查了角平分线的判定以及角平分线的定义,根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断OQ是∠AOB的平分线是解题的关键.

  23.在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,AC=6,BC=8,CD= 3 .

  【考点】角平分线的性质;勾股定理.

  【分析】过点D作DE⊥AB于E,利用勾股定理列式求出AB,再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE,然后根据△ABC的面积列式计算即可得解.

  【解答】解:如图,过点D作DE⊥AB于E,

  ∵∠C=90°,AC=6,BC=8,

  ∴AB= = =10,

  ∵AD平分∠CAB,

  ∴CD=DE,

  ∴S△ABC= AC•CD+ AB•DE= AC•BC,

  即 ×6•CD+ ×10•CD= ×6×8,

  解得CD=3.

  故答案为:3.

  【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键.

  24.已知OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D、E,PD=10,则PE的长度为 10 .

  【考点】角平分线的性质.

  【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PD.

  【解答】解:∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB,

  ∴PE=PD=10.

  故答案为:10.

  【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,熟记性质是解题的关键,作出图形更形象直观.

  25.如图,BD是∠ABC的平分线,P为BD上的一点,PE⊥BA于点E,PE=4cm,则点P到边BC的距离为 4 cm.

  【考点】角平分线的性质.

  【分析】BD是∠ABC的平分线,再根据角平分线的性质即可得到点P到BC的距离.

  【解答】解:∵BD是∠ABC的平分线,PE⊥AB于点E,PE=4cm,

  ∴点P到BC的距离=PE=4cm.

  故答案为4.

  【点评】本题考查了角平分线的性质.由已知能够注意到P到BC的距离即为PE长是解决的关键.

  26.如图,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,DE⊥AC交于点E,DF⊥BC于点F,且BC=4,DE=2,则△BCD的面积是 4 .

  【考点】角平分线的性质.

  【专题】压轴题.

  【分析】首先根据CD平分∠ACB交AB于点D,可得∠DCE=∠DCF;再根据DE⊥AC,DF⊥BC,可得∠DEC=∠DFC=90°,然后根据全等三角形的判定方法,判断出△CED≌△CFD,即可判断出DF=DE;最后根据三角形的面积=底×高÷2,求出△BCD的面积是多少即可.

  【解答】解:∵CD平分∠ACB交AB于点D,

  ∴∠DCE=∠DCF,

  ∵DE⊥AC,DF⊥BC,

  ∴∠DEC=∠DFC=90°,

  在△DEC和△DFC中,

  (AAS)

  ∴△DEC≌△DFC,

  ∴DF=DE=2,

  ∴S△BCD=BC×DF÷2

  =4×2÷2

  =4

  答:△BCD的面积是4.

  故答案为:4.

  【点评】(1)此题主要考查了角平分线的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

  (2)此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用,以及三角形的面积的求法,要熟练掌握.

  27.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC与BC相交于点D,若AD=4,CD=2,则AB的长是 4  .

  【考点】角平分线的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理.

  【专题】计算题.

  【分析】先求出∠CAD=30°,求出∠BAC=60°,∠B=30°,根据勾股定理求出AC,再求出AB=2AC,代入求出即可.

  【解答】解:∵在Rt△ACD中,∠C=90°,CD=2,AD=4,

  ∴∠CAD=30°,

  ∴由勾股定理得:AC= =2 ,

  ∵AD平分∠BAC,

  ∴∠BAC=60°,

  ∴∠B=30°,

  ∴AB=2AC=4 ,

  故答案为:4 .

  【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质,三角形内角和定理,勾股定理的应用,解此题的关键是求出AC长和求出∠B=30°,注意:在直角三角形中,如果有一个角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

  三、解答题(共3小题)

  28.如图,四边形ABCD中,AC为∠BAD的角平分线,AB=AD,E、F两点分别在AB、AD上,且AE=DF.请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半.

  【考点】角平分线的性质;三角形的面积.

  【分析】分别作CG⊥AB与G,CH⊥AD与H,由AC为∠BAD的角平分线,得到CG=CH,根据等底等高的三角形的面积相等得到△ABC面积=△ACD面积,又由于AE=DF,得到△AEC面积=△CDF面积,于是△BCE面积=△ABC面积﹣△AEC面积,△BCE面积=△ACD面积﹣△CDF面积,求出△BCE面积=△ACF面积,由四边形AECF面积=△AEC面积+△ACF面积,四边形AECF面积=△AEC面积+△BCE面积,得到四边形AECF面积=△ABC面积,又由于四边形ABCD面积=△ABC面积+△ACD面积,四边形ABCD面积=2△ABC面积,即可得到结果.

  【解答】解:分别作CG⊥AB与G,CH⊥AD与H,

  ∵AC为∠BAD的角平分线,

  ∴CG=CH,

  ∵AB=AD,

  ∴△ABC面积=△ACD面积,

  又∵AE=DF,

  ∴△AEC面积=△CDF面积,

  ∴△BCE面积=△ABC面积﹣△AEC面积,

  △BCE面积=△ACD面积﹣△CDF面积,

  ∴△BCE面积=△ACF面积,

  ∵四边形AECF面积=△AEC面积+△ACF面积,

  四边形AECF面积=△AEC面积+△BCE面积,

  ∴四边形AECF面积=△ABC面积,

  又∵四边形ABCD面积=△ABC面积+△ACD面积,

  又∵四边形ABCD面积=2△ABC面积,

  ∴四边形AECF面积为四边形ABCD面积的一半.

  【点评】本题考查了角平分线的性质,三角形的面积,正确的作出辅助线是解题的关键.

  29.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是△ABC的一条角平分线.点O、E、F分别在BD、BC、AC上,且四边形OECF是正方形.

  (1)求证:点O在∠BAC的平分线上;

  (2)若AC=5,BC=12,求OE的长.

  【考点】角平分线的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质.

  【分析】(1)过点O作OM⊥AB,由角平分线的性质得OE=OM,由正方形的性质得OE=OF,易得OM=OF,由角平分线的判定定理得点O在∠BAC的平分线上;

  (2)由勾股定理得AB的长,利用方程思想解得结果.

  【解答】(1)证明:过点O作OM⊥AB,

  ∵BD是∠ABC的一条角平分线,

  ∴OE=OM,

  ∵四边形OECF是正方形,

  ∴OE=OF,

  ∴OF=OM,

  ∴AO是∠BAC的角平分线,即点O在∠BAC的平分线上;

  (2)解:∵在Rt△ABC中,AC=5,BC=12,

  ∴AB= = =13,

  设CE=CF=x,BE=BM=y,AM=AF=z,

  ∴ ,

  解得: ,

  ∴CE=2,

  ∴OE=2.

  【点评】本题主要考查了正方形的性质,以及角平分线定理及性质,熟练掌握正方形的性质,运用方程思想是解本题的关键.

  30.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.

  (1)求DE的长;

  (2)求△ADB的面积.

  【考点】角平分线的性质;勾股定理.

  【分析】(1)根据角平分线性质得出CD=DE,代入求出即可;

  (2)利用勾股定理求出AB的长,然后计算△ADB的面积.

  【解答】解:(1)∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,

  ∴CD=DE,

  ∵CD=3,

  ∴DE=3;

  (2)在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB= = =10,

  ∴△ADB的面积为S△ADB= AB•DE= ×10×3=15.

  【点评】本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用,注意:角平分线上的点到角两边的距离相等.

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