0为什么是一个自然数

　　在过去的中小学数学教学中，数字“0”一直不属于自然数，但是现在已明确把“0”归于自然数。为什么有这样的变化?作为数学教师必须清楚。许多数学工作者都认为这仅仅是一个“规定”，用数学的行话讲即“定义”，这就是说以前定义“1，2，3，…，n…”为自然数集，而现在则定义“0，1，2，3，…，n…”为自然数集。显然这样的解释是不够的，下面谈谈笔者的理解。

　　1?自然数的功能

　　自然数是人类最早认识并用之描述自然界数量关系的数学概念。一开始它就有三个基本功能：一是基数功能，用来刻画某一类事物的多少，用现代集合论的语言来说，就是描述有限集的基数;二是序数功能，用来刻画某一类事物的顺序，用现代集合论的语言来说，就是描述有限集中元素的顺序性质;第三个是运算功能，自然数可以做加法和乘法，这些运算用来描述自然界中事物之间的数量关系，随着对运算的深入研究，使我们进一步又建立了整数、有理数、实数、复数及其运算，这样我们对自然界事物的数量关系的描述更加完整和精细。

　　2?为什么要把“0”作为自然数

　　我们从自然数的功能上回答这个问题。

　　第一、“0”不是自然数时，其基数功能不完整。我们知道“空集”是最基本的集合，也是我们描述周围现象时常用到的集合概念，在集合论中用专门的符号“Φ”表示。例如方程x2+1=0的实根集合就是一个空集。有了空集的概念后，我们可以用公理化的方法给出所有自然数的定义。首先，对任意集合A，我们定义A+=A∪{A}为集合A的后继。其次，定义：0=Φ;1=0+=Φ∪{Φ}={Φ};2=1+={Φ}∪{{Φ}}={Φ,{Φ}};3=2+={Φ,{Φ}}∪{{Φ,{Φ}}}={Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}};……从这个定义可以看出，每个自然数可看作一个集合的名称。在日常生活中，我们常用数出集合元素数目的办法来判断有限集中元素的个数，这实际上是在所给集合与某个自然数表示的集合之间建立一个一 一对应。所以用集合论的观点，我们可给出有限集及其元素个数的严格定义如下：“设A是一个集合，若在A与自然数集N的某个元素n之间存在一 一对应，则称A为有限集(否则称为无限集，即A不能与任一自然数n建立一 一对应时，称A为无限集)，且称n为集合A的基数或势(即通常所说的集合的元素个数)”。把空集划分为有限集是很自然的。但当“0”不是自然数时，就没有一个自然数可表示空集的基数，这样不管从日常生活的语义上，还是上述严格定义上，自然数描述有限集基数的功能均不完整;反之，可用“0”表示空集的基数，则“所有自然数”就可以完整刻画“所有有限集元素的多少”这一任务。这样我们从自然数的基数功能说明了把“0”作为自然数的好处。

　　第二、我们还要说明，把“0”作为自然数，不会影响其“序数功能”与“运算功能”。

　　首先，在集合论中，常常要讨论元素之间的序关系，并根据序关系的性质将集合分为“偏序集”、“线性序集”、“良序集”等，序关系为我们提供了一种比较集合中元素的手段，在日常生活中有广泛的应用。自然数的序关系具有比较好的性质，这些性质通常是用关系运算“≤、≥、<、>、=、≠”来描述的。我们说“0”作为自然数，是不会影响其“序数功能”的。

　　在“顺序”方面，除了上述性质外，自然数还有一种特殊的性质，这也是自然数区别于整数集、有理数集、实数集的本质性质，即“自然数的任一非空子集中，一定有最小的数”，也就是说自然数集还是一个良序集。尽管整数集、有理数集、实数集都是线性序集，但它们不具有自然数的特殊性质。例如，所有负整数是整数集的子集，但它无最小数。又如区间 (0，1)作为实数集的非空子集也没有最小数，而区间 (0，1)内所有有理数构成的集合作为有理数集的非空子集也没有最小数。自然数的这一特殊性质是保证数学归纳法成立的基本性质。

　　很明显，不管“0”是否归于自然数集，上面讨论的自然数的“顺序”性质都成立，当然也包括那种特殊性质。实质上没有“0”的自然数集与包括“0”的自然数集可以在下面的对应规则下看作是“完全一样”的：n→n+1，从代数学的观点来看它们是“同构”的。这样我们说明了把“0”作为自然数，不会影响其“序数功能”。

　　3?结论

　　既然“0”加盟到自然数集合中，只有好处，没有坏处，我们为什么不欢迎“0”作为自然数集合的一个成员呢?即“0”作为自然数是理所当然的，而不仅仅是一种“规定”。这可帮助我们更好地理解自然数和它的功能，也可帮助我们养成一个良好的习惯，即学习一个数学概念时，不但要记住和理解“定义”和“规定”，还要思考这些“定义”和“规定”后面的数学含义。