广州市文科数学一模考试卷(2)
广州市文科数学一模考试卷答案
一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分)
1.设集合S={x|x<﹣5或x>5}，T={x|﹣7
A.{x|﹣7
【考点】交集及其运算.
【分析】利用交集定义和不等式性质求解.
【解答】解：∵集合S={x|x<﹣5或x>5}，T={x|﹣7
∴S∩T={x|﹣7
故选：A.
2.在区间[﹣1，m]上随机选取一个数x，若x≤1的概率为 ，则实数m的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考点】几何概型.
【分析】利用几何概型的公式，利用区间长度的比值得到关于m 的等式解之.
【解答】解：由题意x≤1的概率为 ，则 ，解得m=4;
故选C.
3.设f(x)= ，则f(f(2))的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法.
【分析】考查对分段函数的理解程度，f(2)=log3(22﹣1)=1，所以f(f(2))=f(1)=2e1﹣1=2.
【解答】解：f(f(2))=f(log3(22﹣1))=f(1)=2e1﹣1=2，故选C.
4.已知双曲线 ﹣ =1的左、右焦点分别为F1、F2，且F2为抛物线y2=2px的焦点，设P为两曲线的一个公共点，则△PF1F2的面积为( )
A.18 B.18 C.36 D.36
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】求出P的坐标，即可求出△PF1F2的面积.
【解答】解：由题意， =6，p=12，
双曲线方程与抛物线方程联立，可得P(9，6 )，
∴△PF1F2的面积为 =36 ，
故选D.
5.若实数x、y满足 ，则z=2x﹣y的最大值为( )
A. B. C.1 D.2
【考点】简单线性规划.
【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=2x可得结论.
【解答】解：作出约束条件 ，所对应的可行域(如图△ABO)，
变形目标函数可得y=2x﹣z，平移直线y=2x可知当直线经过点A时，
直线的截距最小，z取最大值，由 可得 ，A( ， )
代值计算可得z=2x﹣y的最大值为1，
故选：C.
6.已知命题p：∀x∈R，x2﹣2xsinθ+1≥0;命题q：∃α，β∈R，sin(α+β)≤sinα+sinβ，则下列命题中的真命题为( )
A.(￢p)∧q B.￢(p∧q) C.(￢p)∨q D.p∧(￢q)
【考点】复合命题的真假.
【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可.
【解答】解：关于命题p：∀x∈R，x2﹣2xsinθ+1≥0，△=4sin2θ﹣4≤0，故p是真命题，
关于命题q：∃α，β∈R，sin(α+β)≤sinα+sinβ，是真命题，
∴(￢p)∨q是真命题，
故选：C.
7.若函数f(x)为区间D上的凸函数，则对于D上的任意n个值x1、x2、…、xn，总有f(x1)+f(x2)+…+f(xn)≤nf( )，现已知函数f(x)=sinx在[0， ]上是凸函数，则在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为( )
A. B. C. D.
【考点】三角函数的化简求值.
【分析】利用凸函数对于D上的任意n个值x1、x2、…、xn，总有f(x1)+f(x2)+…+f(xn)≤nf( )，将函数f(x)=sinx在[0， ]，sinA+sinB+sinC ，得到所求.
【解答】解：由已知凸函数的性质得到sinA+sinB+sinC =3sin = ;
所以在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为 ;
故选D.
8.三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A.48π B.32π C.12π D.8π
【考点】球的体积和表面积.
【分析】以AB，BC，AA1为棱构造一个正方体，则该三棱柱的所有顶点都在该正方体的外接球上，由此能求出该球的表面积.
【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，
∴以AB，BC，AA1为棱构造一个正方体，
则该三棱柱的所有顶点都在该正方体的外接球上，
该球的半径R= = ，
∴该球的表面积为S=4πR2=4π×3=12π.
故选：C.
9.执行如图所示的程序框图，若x∈[a，b]，y∈[0，4]，则b﹣a的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考点】程序框图.
【分析】写出分段函数，利用x∈[a，b]，y∈[0，4]，即可b﹣a的最小值.
【解答】解：由题意，y= ，
x∈[a，b]，y∈[0，4]，则b﹣a的最小值为2，此时区间为[0，2]或[2，4]，
故选A.
10.已知向量 、 、 满足 = + ，| |=2，| |=1，E、F分别是线段BC、CD的中点，若 • =﹣ ，则向量 与 的夹角为( )
A. B. C. D.
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】由题意画出图形，结合 • 求得< ， >的值，即可求出向量 与 的夹角.
【解答】解：如图所示，
• =( ﹣ )•( ﹣ )= • ﹣ ﹣ =﹣ ;
由| |=| |=2，| |=| |=1，
可得 • =1，
∴cos< ， >= ，
∴< ， >= ，
即向量 与 的夹角为 .
故选：B.
11.一块边长为6cm的正方形铁皮按如图(1)所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图(2)放置，若其正视图为等腰直角三角形(如图(3))，则该容器的体积为( )
A. B. C. D.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】推导出PM+PN=6，且PM=PN，MN=3 ，PM=3，设MN中点为O，则PO⊥平面ABCD，由此能求出该容器的体积.
【解答】解：如图(2)，△PMN是该四棱锥的正视图，
由图(1)知：PM+PN=6，且PM=PN，
由△PMN为等腰直角三角形，知MN=3 ，PM=3，
设MN中点为O，则PO⊥平面ABCD，∴PO= ，
∴该容器的体积为 = =9 .
故选：D.
12.已知椭圆E： + =1的一个顶点为C(0，﹣2)，直线l与椭圆E交于A、B两点，若E的左焦点为△ABC的重心，则直线l的方程为( )
A.6x﹣5y﹣14=0 B.6x﹣5y+14=0 C.6x+5y+14=0 D.6x+5y﹣14=0
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】先由椭圆左焦点F1恰为△ABC的重心，得相交弦AB的中点坐标，再由点A、B在椭圆上，利用点差法，将中点坐标代入即可的直线l的斜率，最后由直线方程的点斜式写出直线方程即可.
【解答】解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，椭圆 + =1的左焦点为(﹣1，0)，
∵点C(0，﹣2)，且椭圆左焦点F1恰为△ABC的重心
∴ =﹣1， =0
∴x1+x2=﹣3，y1+y2=2 ①
∵ ， ，
∴两式相减得： + =0
将①代入得： = ，即直线l的斜率为k= = ，
∵直线l 过AB中点(﹣ ，1)
∴直线l的方程为y﹣1= (x+ )
故答案为6x﹣5y+14=0，
故选B.
二、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分)
13.若复数a+i是纯虚数，则实数a= 0 .
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】利用纯虚数的定义即可得出.
【解答】解：∵复数a+i是纯虚数，则实数a=0.
故答案为：0.
14.曲线y=sinx+1在点(0，1)处的切线方程为 x﹣y+1=0 .
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】先对函数y=sinx+1进行求导，再根据导数的几何意义求出曲线y=sinx+1在点x=0处的切线斜率，由点斜式方程进而可得到切线方程.
【解答】解：∵y′=cosx，
∴切线的斜率k=y′|x=0=1，
∴切线方程为y﹣1=x﹣0，
即x﹣y+1=0.
故答案为：x﹣y+1=0.
15.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x+2)=﹣f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(37.5)等于 ﹣0.5 .
【考点】抽象函数及其应用.
【分析】根据题意，由f(x+2)=﹣f(x)可得f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x)，即函数f(x)的周期为4，即有f(37.5)=f(1.5)，结合题意可得f(1.5)=f[2+(﹣0.5)]=﹣f(﹣0.5)，结合函数的奇偶性可得f(0.5)=﹣f(﹣0.5)，进而结合函数在0≤x≤1上的解析式可得f(0.5)的值，综合即可得答案.
【解答】解：根据题意，由于f(x+2)=﹣f(x)，则有f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x)，即函数f(x)的周期为4，
则有f(37.5)=f(1.5+4×9)=f(1.5)，
又由f(x+2)=﹣f(x)，则有f(1.5)=f[2+(﹣0.5)]=﹣f(﹣0.5)，
又由函数为奇函数，则f(0.5)=﹣f(﹣0.5)，
又由当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(0.5)=0.5;
则有f(37.5)=f(1.5)=﹣f(﹣0.5)=f(0.5)=0.5，
故f(37.5)=0.5;
故答案为：0.5.
16.函数f(x)=sinωx+ cosωx+1(ω>0)的最小正周期为π，当x∈[m，n]时，f(x)至少有5个零点，则n﹣m的最小值为 2π .
【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.
【分析】将函数化简为f(x)=2sin(2ωx+ )+1.的最小正周期为π，可得f(x)=2sin(2x+ )+1.可知在y轴左侧的第一个零点为 ，右侧的第一个零点为 ，x∈[m，n]时，f(x)至少有5个零点，可得n﹣m的最小值.
【解答】解：函数f(x)=sinωx+ cosωx+1(ω>0)
化简可得：f(x)=2sin(2ωx+ )+1.
∵最小正周期为π，即T=π，
∴ ，可得ω=1.
∴f(x)=2sin(2x+ )+1.
根据正弦函数的图象及性质可知：函数f(x)的y轴左侧的第一个零点为 ，右侧的第一个零点为 ，x∈[m，n]时，f(x)至少有5个零点，不妨设m= ，则n= .
此时n﹣m可得最小值为2π.
故答案为2π.
三、解答题(共6小题，满分70分)
17.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知A=60°，b=5，c=4.
(1)求a;
(2)求sinBsinC的值.
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】(1)由题意和余弦定理列出式子，即可求出a的值;
(2)由条件和正弦定理求出sinB和sinC的值，代入式子求出答案.
【解答】解：(1)因为A=60°，b=5，c=4，
所以由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA
=25+16﹣ =21，
则a= ;
(2)由正弦定理得， = = ，
所以sinB= = ，sinC= =
所以sinBsinC= × = .
18.设等差数列{an}的公差为d，且2a1=d，2an=a2n﹣1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn= ，求数列{bn}的前n项和Sn.
【考点】数列递推式;数列的求和.
【分析】(1)利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出.
(2)利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出.
【解答】解：(1)∵等差数列{an}的公差为d，2an=a2n﹣1.
取n=1，则2a1=a2﹣1=a1+d﹣1，与2a1=d联立，解得d=2，a1=1.
∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1.
(2)bn= = = ，
∴数列{bn}的前n项和Sn= +…+ ，
= +…+ + ，
∴ = +…+ ﹣ = ﹣ ，
∴Sn=2﹣ .
19.某市为了解各校(同学)课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级，随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，得到如图所示分布图：
(Ⅰ)试确定图中实数a与b的值;
(Ⅱ)若将等级A、B、C、D依次按照90分、80分、60分、50分转换成分数，试分别估计两校学生国学成绩的均值;
(Ⅲ)从两校获得A等级的同学中按比例抽取5人参加集训，集训后由于成绩相当，决定从中随机选2人代表本市参加省级比赛，求两人来自同一学校的概率.
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【分析】(Ⅰ)由甲校样本频数分布条形图能求出a，由乙校样本频率分布条形图能求出b.
(Ⅱ)由样本数据能求出甲校的平均值和乙校的平均值.
(Ⅲ)由样本数据可知集训的5人中甲校抽2人，分别记作E，F，乙校抽3人，分别记作M，N，Q，从5人中任选2人，利用列举法能求出两人来自同一学校的概率.
【解答】解：(Ⅰ)∵测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级，
随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，
∴由甲校样本频数分布条形图知：
6+a+33+6=60，解得a=15，
由乙校样本频率分布条形图得：0.15+b+0.2+0.15=1，解得b=0.5.
(Ⅱ)由数据可得甲校的平均值为 = =67，
乙校的平均值为 =90×0.15+80×0.5+60×0.2+50×0.15=73.
(Ⅲ)由样本数据可知集训的5人中甲校抽2人，分别记作E，F，乙校抽3人，分别记作M，N，Q，
从5人中任选2人，一共有10个基本事件，分别为：
EF，EM，EN，EQ，FM
其中2 人来自同一学校包含中EF，MN
∴两人来自同一学校的概率p= .
20.如图，三棱锥P﹣ABC中，PA=PC，底面ABC为正三角形.
(Ⅰ)证明：AC⊥PB;
(Ⅱ)若平面PAC⊥平面ABC，AB=2，PA⊥PC，求三棱锥P﹣ABC的体积.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】(Ⅰ)取AC中点O，连接PO，BO，由等腰三角形的性质可得PO⊥AC，BO⊥AC，再由线面垂直的判定可得AC⊥平面POB，则AC⊥PB;
(Ⅱ)由面面垂直的性质可得PO⊥平面ABC，再由已知求出三角形ABC的面积，即PO的长度，代入棱锥体积公式求得三棱锥P﹣ABC的体积.
【解答】(Ⅰ)证明：如图，
取AC中点O，连接PO，BO，
∵PA=PC，∴PO⊥AC，
又∵底面ABC为正三角形，∴BO⊥AC，
∵PO∩OB=O，∴AC⊥平面POB，则AC⊥PB;
(Ⅱ)解：∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，
PO⊥AC，∴PO⊥平面ABC，
又AB=2，PA⊥PC，可得PO=1，且 .
∴ .
21.已知圆C：(x﹣6)2+y2=20，直线l：y=kx与圆C交于不同的两点A、B.
(Ⅰ)求实数k的取值范围;
(Ⅱ)若 =2 ，求直线l的方程.
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】(Ⅰ)根据题意可得圆心C(6，0)到直线l：y=kx的距离小于半径 ，由此求得k的范围.
(Ⅱ)把直线l：y=kx代入圆C，化简后利用韦达定理，再根据 =2 ，可得x2=2x1，从而求得k的值，可得直线l的方程.
【解答】解：(Ⅰ)由题意可得，圆心C(6，0)到直线l：y=kx的距离小于半径 ，
即 < ，求得﹣
(Ⅱ)把直线l：y=kx代入圆C：(x﹣6)2+y2=20，化简可得(1+k2)x2﹣12x+16=0，
∴x1+x2= ，x1•x2= .
若 =2 ，则x2=2x1，则x1= ，x2= ，∴则x1•x2= • = ，∴k=±1，
故直线l：y=±x.
22.已知函数f(x)=alnx+x2﹣x，其中a∈R.
(Ⅰ)若a<0，讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(I)令f′(x)=0求出f(x)的极值点，结合f(x)的定义域得出f′(x)的符号变换情况，从而得出f(x)的单调性;
(II)对a进行讨论，判断f(x)在[1，+∞)上的单调性，得出f(x)在[1，+∞)上的最小值fmin(x)，即可得出结论.
【解答】解：(I)f(x)的定义域为(0，+∞)，
f′(x)= = ，
令f′(x)=0得2x2﹣x+a=0，
解得x1= ，x2= ，
∵a<0，∴x1<0，x2>0，
∴当0
∴f(x)在(0， )上单调递减，在( ，+∞)上单调递增.
(II)若a=0时，f(x)=x2﹣x，
∴f(x)在[1，+∞)上单调递增，∴fmin(x)=f(1)=0，符合题意.
若a<0，由(I)可知f(x)在(0， )上单调递减，在( ，+∞)上单调递增，
当 ≤1即﹣1≤a<0时，f(x)在[1，+∞)上单调递增，
∴fmin(x)=f(1)=0，符合题意，
当 >1即a<﹣1时，f(x)在[1， )上单调递减，在[ ，+∞)上单调递增，
∴fmin(x)=f( )
若a>0，令f′(x)=0得2x2﹣x+a=0，
∴当△=1﹣8a≤0即a 时，f′(x)≥0恒成立，∴f(x)在[1，+∞)上单调递增，
∴fmin(x)=f(1)=0，符合题意.
若0 ，则2x2﹣x+a=0有两正实数解，x1= ，x2= ，
∴f(x)在(0， )上单调递增，在( ， )上单调递减，在( ，+∞)上单调递增，
∵ <1，∴f(x)在[1，+∞)上单调递增，
∴fmin(x)=f(1)=0，符合题意，
综上，a的取值范围是[﹣1，+∞).
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