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中考数学复习:旋转、圆及数学定理

惠敏分享

  初中的数学是不是让你抓破脑袋?有哪些好的数学学习方法呢?以下是小编给大家带来的中考数学复习:旋转、圆及数学定理,仅供考生参考,欢迎大家阅读!

  2019年中考数学复习:数学定理

  点、线、角

  点的定理:过两点有且只有一条直线

  点的定理:两点之间线段最短

  角的定理:同角或等角的补角相等

  角的定理:同角或等角的余角相等

  直线定理:过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

  直线定理:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短

  几何平行

  平行定理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行

  推论:如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行

  证明两直线平行定理:同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行

  两直线平行推论:两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补

  三角形内角定理

  定理:三角形两边的和大于第三边

  推论:三角形两边的差小于第三边

  三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°

  全等三角形判定

  定理:全等三角形的对应边、对应角相等

  边角边定理(SAS):有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

  角边角定理(ASA):有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

  推论(AAS):有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

  边边边定理(SSS):有三边对应相等的两个三角形全等

  斜边、直角边定理(HL):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

  角的平分线

  定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

  定理2:到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上

  角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

  等腰三角形性质

  等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)

  推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

  等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

  等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)

  对称定理

  定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

  逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上

  线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

  定理1:关于某条直线对称的两个图形是全等形

  定理2:如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

  定理3:两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上

  逆定理:如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称

  直角三角形定理

  定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

  判定定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

  勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^2

  勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2,那么这个三角形是直角三角形

  多边形内角和定理

  定理:四边形的内角和等于360°;四边形的外角和等于360°

  多边形内角和定理:n边形的内角和等于(n-2)×180°

  推论:任意多边的外角和等于360°

  平行四边形定理

  平行四边形性质定理:

  1.平行四边形的对角相等

  2.平行四边形的对边相等

  3.平行四边形的对角线互相平分

  推论:夹在两条平行线间的平行线段相等

  平行四边形判定定理:

  1.两组对角分别相等的四边形是平行四边形

  2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

  3.对角线互相平分的四边形是平行四边形

  4.一组对边平行相等的四边形是平行四边形

  矩形定理

  矩形性质定理1:矩形的四个角都是直角

  矩形性质定理2:矩形的对角线相等

  矩形判定定理1:有三个角是直角的四边形是矩形

  矩形判定定理2:对角线相等的平行四边形是矩形

  菱形定理

  菱形性质定理1:菱形的四条边都相等

  菱形性质定理2:菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角

  菱形面积=对角线乘积的一半,即S=(a×b)÷2

  菱形判定定理1:四边都相等的四边形是菱形

  菱形判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形

  2019年中考数学复习:旋转、圆

  ★圆知识点汇总

  ★圆的半径:r

  ★直径:d

  ★圆周率:π(数值为3.1415926至3.1415927之间……无限不循环小数),通常采用3.14作为π的值

  ★圆面积:S=πr^2或S=π(d/2)^2

  ★半圆的面积:S半圆=(πr^2)/2

  ★圆环面积:S大圆-S小圆=π(R^2-r^2)(R为大圆半径,r为小圆半径)

  ★圆的周长:C=2πr或c=πd

  ★半圆的周长:d+πd/2或者d+πr

  ★垂径定理

  ★垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧

  ★进一步结论

  ★平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧

  △特别注意:这两个定理,哪个定律规定弦不是直径。注意选择题陷阱。

  ▌1、在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径

  圆上各点到定点的距离都等于定长

  到定点的距离等于定长的点都在同个平面上

  因此,圆心为O、半径为r的圆可以看成所有到定点O距离等于定长r的点的集合

  ▌2、弧、弦、圆心角

  弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。

  圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆

  弦:连接圆上任意两点的线段,叫做弦。经过圆心的弦,叫做直径

  圆心角:顶点在圆心的角

  圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴

  圆是中心对称图形,圆心O是它的对称中心

  ▌3、圆周角

  顶点在圆上,并且两边都圆相交的角叫做圆周角。

  ▌4、圆周角定理

  在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半

  推论:

  半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90度的圆周角所对应的弦是直径。

  推论:

  圆的内接四边形对角之和为180度

  注意:对内接四边形的判定,必须4个顶点都在圆上。

  ▌5、点和圆的位置关系

  点P在圆内d点P在圆上d=r

  点P在圆外d>r

  ▌6、不在同一直线上的三个点确定一个圆

  注意:不在同一直线这一要点

  经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫作三角形的外接圆

  外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫作这个三角形的外心

  特殊的:直角△的外心在斜边上的中点。

  一般求△外心的题往往是直角△或者等腰△,等腰△请结合垂径定理和勾股定理

  ▌7、直线和圆的位置关系

  直线l和圆O相交(有两个公共点)d直线l和圆O相切(有一个公共点)d=r直线为切线,点为切点

  直线l和圆O相离(没有公共点)d>r

  ▌8、切线的判定定理

  经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

  在灵活运用该定理的同时,切莫忘记第三大点中的判定方法!(往往在出现角平分线、等腰三角形的场所,我们需要用到此方法去判定相切)

  ▌9、切线的性质定理

  圆的切线垂直于过切点的半径

  这两个定理的运用:前者是不清楚直线与圆的关系,进行判断。后者是已知直线与圆相切,进行性质分析。

  ▌10、切线长定理

  经过圆外一点作过圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫作这点到圆的切线长

  从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。这个定理叫作切线长定理。

  ▌11、三角形的的内心

  与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

  内切圆的圆心是三角形三条角一部分线的交点,叫作三角形的内心。

  注意内心外心的区别和应用。三角形的内心必然在△内部,外心则有可能在外部

  内切圆半径的计算方法

  三角形面积=内切圆半径*三角形周长/2

  例题(2011广东南塘二模)Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,内切圆半径=;

  ▌12、点和圆的位置关系

  点P在圆内d点P在圆上d=r

  点P在圆外d>r

  ▌13、三个相等:

  在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。

  在同圆或等圆中,如果两两弧相等,那么它们所对应的圆心角相等,所对的弦相等。

  在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对应的圆心角相等,所对的弧相等。

  ▌14、直线和圆的位置关系

  直线与圆相交(两个交点)d直线与圆相切(一个交点)d=r

  直线与圆相离(没有交点)d>r

  ▌15、圆和圆的位置关系

  圆与圆相交(两个交点)R-r圆与圆相切(一个交点)d=R-r(内切)d=R+r(外切)

  圆与圆外离(没有交点)d>R+r

  圆与圆内含(没有交点)d还一种最特殊情况,同心圆d=0

  注意:相切一定要看清楚,是内切还是外切,还是两种都可能

  学生可尝试画一个数轴区域示意图

  ▌16、对圆而言,请注重其对称性

  相切的两个圆,不论内切外切,显然,切点和两个圆心应该在同一直线上。

  ▌17、扇形的弧长及面积

  扇形:由两条半径及两条半径组成的角对应的弧形成的图形

  扇形弧长:

  注意区别弧长与周长

  扇形面积

  弧长及面积的关系

  ▌18、正多边形

  正多边形:各边长相等,各顶角相等的多边形

  我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心

  外接圆的半径叫做正多边形的半径

  正多边形的每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角

  中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距

  正多边形的计算:遵循每条边所对应的圆心角的度数为360/n即可,利用垂径定理,等腰三角形进行解答。

  ▌19、圆锥的侧面积和全面积

  圆锥是由一个底面和一个侧面围成的

  我们把连接圆锥顶点和底边圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线

  圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,那么这个扇形的半径为l,扇形的弧长为,因此圆锥的侧面积为,圆锥的全面积为

  圆锥侧面展开扇形的中心角可通过此扇形的弧长及半径,进行计算

  ▌20、把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。

  点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。

  如果图形上的P经过旋转变为点P’,那么这两个点叫做这个旋转的对应点

  把一个图形绕着某一个点旋转180度

  如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形。

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