泰兴市九年级数学上册期末试卷
经历了九年级的一学期的努力奋战，同学们检验学习成果的时刻就要到了，同学们要准备哪些数学期末试题来练习呢?下面是学习啦小编为大家带来的关于泰兴市九年级数学上册期末试卷，希望会给大家带来帮助。
泰兴市九年级数学上册期末试卷：
一、选择题(每题3分，共18分)
1.数据：2，3，3，5，7的极差是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考点】极差.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】根据极差的定义解答，即用7减去2即可.
【解答】解：数据2，3，3，5，7的极差是7﹣2=5.
故选D.
【点评】极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值.
2.在平面直角坐标系中，直线OA过点(2，1)，则tanα的值是( )
A.2 B. C. D.
【考点】锐角三角函数的定义;坐标与形性质.
【分析】根据在直角三角形中，锐角的正切为对边比邻边，可得答案.
【解答】解：如： ，
tanα= = .
故选：B.
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.
3.在比例尺是1：46000的城市交通游览上，某条道路的上距离长约8cm，则这条道路的实际长度约为( )
A.368×103cm B.36.8×104cm C.3.68×105cm D.3.68×106cm
【考点】比例线段;科学记数法—表示较大的数.
【分析】根据比例尺=上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可.
【解答】解：设这条道路的实际长度为xcm，则：
= ，
解得x=368000.
368000cm=3.68×105cm.
所以这条道路的实际长度为3.68×105cm.
故选C.
【点评】本题主要考查了比例线段，比例尺的意义，能够根据比例尺正确进行计算.也考查了科学记数法.
4.关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是( )
A.m≥﹣1 B.m>﹣1 C.m≤﹣1且m≠0 D.m≥﹣1且m≠0
【考点】根的判别式.
【分析】根据方程有实数根，得出△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可.
【解答】解：由题意知，△=4+4m≥0，
∴m≥﹣1，
故选A.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数)根的判别式.当△>0，方程有两个不相等的实数根;当△=0，方程有两个相等的实数根;当△<0，方程没有实数根.以及一元二次方程的意义.
5.⊙O是△ABC的外接圆，已知∠OAB=40°，则∠ACB的度数为( )
A.45° B.40° C.80° D.50°
【考点】圆周角定理.
【分析】由OA=OB，可求得∠OBA=∠OAB=40°，继而求得∠AOB的度数，然后由圆周角定理，求得答案.
【解答】解：∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=40°，
∴∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠OBA=100°，
∴∠ACB= ∠AOB=50°.
故选：D.
【点评】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质.此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.
6.关于二次函数 的象与性质，下列结论错误的是( )
A.抛物线与x轴有两个交点
B.当x=1时，函数有最大值
C.抛物线可由 经过平移得到
D.当﹣1
【考点】二次函数的性质.
【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得求解.
【解答】解：A、∵a=﹣ <0，顶点(1，2)，
∴抛物线与x轴有两个交点;
B、∵抛物线开口向下，顶点(1，2)∴当x=1时，函数有最大值2;
C、抛物线可由 向右平移1个单位，向上平移2个单位得到;
D、∵当﹣1
综上所述，结论错误的是D.
故选D.
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性.
二、填空题(每题3分，共30分)
7.若x=0是关于x的方程x2﹣x﹣a2+9=0的一个根，则a的值为±3.
【考点】一元二次方程的解.
【专题】计算题.
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=0代入原方程得到关于a的一元二次方程，然后解此方程即可.
【解答】解：把x=0代入x2﹣x﹣a2+9=0得﹣a2+9=0，解得a=±3.
故答案为±3.
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.
8.人数相同的九年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下： =90，S甲2=1.234，S乙2=2.001，则成绩较为稳定的班级是甲班(填甲班或乙班).
【考点】方差.
【分析】由于S甲2
【解答】解：∵ =90，S甲2=1.234，S乙2=2.001，
∴S甲2
∴甲班的成绩较为稳定.
故答案为甲班.
【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，计算公式是：s2= [(x1﹣x¯)2+(x2﹣x¯)2+…+(xn﹣x¯)2];方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小;反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.
9.已知⊙O的半径为5cm，点O到直线MN的距离为4，则⊙O与直线MN的位置关系为相交.
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】根据圆心O到直线MN的距离小于半径即可判定直线MN与⊙O的位置关系为相交.
【解答】解：∵圆心O到直线MN的距离是4cm，小于⊙O的半径为5cm，
∴直线MN与⊙O相交.
故答案为：相交.
【点评】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答.若d
10.一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是 .
【考点】几何概率.
【分析】设圆的面积为6，易得到阴影区域的面积为4，然后根据概率公式计算即可.
【解答】解：设圆的面积为6，
∵圆被分成6个相同扇形，
∴每个扇形的面积为1，
∴阴影区域的面积为4，
∴指针指向阴影区域的概率 = ;
故答案为： .
【点评】本题考查了求几何概率的方法：先利用几何性质求出整个几何形的面积n，再计算出其中某个区域的几何形的面积m，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率= .
11.已知△ABC∽△DEF，且 ，则 = .
【考点】相似三角形的性质.
【分析】直接利用相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方进而得出答案.
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且 ，
∴ = .
故答案为： .
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形的性质是解题关键.
12.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，cosB= ，则AC的长为6.
【考点】锐角三角函数的定义;勾股定理.
【分析】首先根据三角函数值计算出BC长，再利用勾股定理可计算出AC长.
【解答】解：∵AB=10，cosB= ，
∴BC=10× =8，
∴AC= =6，
故答案为：6.
【点评】此题主要考查了三角函数，以及勾股定理，关键是掌握锐角三角函数定义.
13.一个圆锥的底面半径为1厘米，母线长为2厘米，则该圆锥的侧面积是2π厘米2(结果保留π).
【考点】圆锥的计算.
【分析】根据圆锥侧面积的求法：S侧= •2πr•l=πrl，把r=1厘米，l=2厘米代入圆锥的侧面积公式，求出该圆锥的侧面积是多少即可.
【解答】解：该圆锥的侧面积是：
S侧= •2πr•l=πrl=π×1×2=2π(厘米2).
故答案为：2π.
【点评】此题主要考查了圆锥的侧面积的计算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：S侧= •2πr•l=πrl.
14.四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB=60°，则∠BCD的度数是120°.
【考点】圆内接四边形的性质.
【分析】根据圆内接四边形的对角互补解答即可.
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠DAB=180°，又∠DAB=60°，
∴∠BCD=120°，
故答案为：120°.
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.
15.正方形OABC与正方形ODEF是位似形，O为位似中心，相似比为1： ，点A的坐标为(1，0)，则E点的坐标为( ， ).
【考点】位似变换;坐标与形性质.
【分析】由题意可得OA：OD=1： ，又由点A的坐标为(1，0)，即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标.
【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似形，O为位似中心，相似比为1： ，
∴OA：OD=1： ，
∵点A的坐标为(1，0)，
即OA=1，
∴OD= ，
∵四边形ODEF是正方形，
∴DE=OD= .
∴E点的坐标为：( ， ).
故答案为：( ， ).
【点评】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质.此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键.
16.在直角坐标系xOy中，若抛物线y= +2x交x轴的负半轴于A，以O为旋转中心，将线段OA按逆时针方向旋转α(0°<α≤360°)，再沿水平方向向右或向左平移若干个单位长度，对应线段的一个端点正好落在抛物线的顶点处，请直接写出所有符合题意的α的值是30°或150°.
【考点】抛物线与x轴的交点;坐标与形变化-平移;坐标与形变化-旋转.
【分析】首先求出抛物线的顶点坐标以及AO的长，再利用平移的性质结合AO只是左右平移，进而得出旋转的角度.
【解答】解：由题意可得：y= +2x= (x+2)2﹣2，
故抛物线的顶点坐标为：(2，﹣2)，
当y=0时，0= (x+2)2﹣2
解得：x1=0，x2=4，
故AO=4，
∵将线段OA按逆时针方向旋转α(0°<α≤360°)，再沿水平方向向右或向左平移若干个单位长度，对应线段的一个端点正好落在抛物线的顶点处，
∴旋转后对应点A′到x轴的距离为：2，
过点A′作A′C⊥x轴于点C，
当∠COA′=30°，
则CA′= A′O=2，
故α为30°时符合题意，
同理可得：α为150°时也符合题意，
综上所述：所有符合题意的α的值是30°或150°.
故答案为：30°或150°.
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及旋转与平移变换，正确得出对应点的特点是解题关键.
三、解答题(共102分)
17.计算或解方程：
(1)|2﹣tan60°|﹣(π﹣3.14)0+ + .
(2)x2﹣6x+5=0(配方法)
【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;解一元二次方程-配方法;特殊角的三角函数值.
【专题】计算题;实数.
【分析】(1)原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项化为最简二次根式，计算即可得到结果;
(2)方程利用完全平方公式变形，开方即可求出解.
【解答】解：(1)原式=2﹣ ﹣1+4+ =5;
(2)方程整理得：x2﹣6x=﹣5，
配方得：x2﹣6x+9=4，即(x﹣3)2=4，
开方得：x﹣3=2或x﹣3=﹣2，
解得：x1=5，x2=1.
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
18.前不久，我校初一、初二两个年级举行作文竞赛，根据初赛成绩，每个年级各选出5名选手分别组成初一代表队和初二代表队参加学校决赛.两个队各选出的5名选手的决赛成绩如所示.
(1)根据示填写下表;
平均数(分) 中位数(分) 众数(分)
初一 85 85 85
初二 85 80 100
(2)结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好.
【考点】条形统计;加权平均数;中位数;众数.
【分析】(1)根据众数、中位数以及平均数的定义即可解答;
(2)首先比较平均数，然后根据中位数的大小判断.
【解答】解：(1)初一队的成绩的平均数是： (75+80+85+85+100)=85，
初一队成绩的众数是85分;
初二队的成绩从小到大排列是：70，75，80，100，100.则中位数是80分.
平均数(分) 中位数(分) 众数(分)
初一 85 85 85
初二 85 80 100
(2)两队的平均成绩相同，而初一队的中位数较大，因而初一队成绩较好.
【点评】本题考查的是条形统计的综合运用.读懂统计，从统计中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计能清楚地表示出每个项目的数据.
19.有5张形状、大小和质地都相同的卡片，正面分别写有字母：A，B，C，D，E和一个等式，背面完全一致.现将5张卡片分成两堆，第一堆：A，B，C;第二堆：D，E，并从第一堆中抽出第一张卡片，再从第二堆中抽出第二张卡片.
(1)请用画树状或列表法表示出所有可能结果;(卡片可用A，B，C，D，E表示)
(2)将“第一张卡片上x的值是第二张卡片中方程的解”记作事件M，求事件M的概率.
【考点】列表法与树状法.
【专题】计算题.
【分析】(1)画出树状展示所有6种等可能的结果数;
(2)根据方程解得定义，找出第一张卡片上x的值是第二张卡片中方程的解的结果数，然后根据概率公式求解.
【解答】解：(1)画树状为：
共有6种等可能的结果数;
(2)因为第一张卡片上x的值是第二张卡片中方程的解的结果数为2，
所以事件M的概率= = .
【点评】本题考查了列表法或树状法：通过列表法或树状法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率.
20.某商店6月份的利润是2000元，要使8月份的利润达到3380元，平均每月利润增长的百分率是多少?
【考点】一元二次方程的应用.
【专题】增长率问题.
【分析】如果设平均每月增长的百分率是x，那么7月份的利润是2000(1+x)元，8月份的利润是2000(1+x)2元，而此时利润是3380元，根据8月份的利润不变，列出方程.
【解答】解：设平均每月增长的百分率是x，依题意，得
2000(1+x)2=3380，
解得x1=0.3，x2=﹣2.3(不合题意，舍去).
答：平均每月增长的百分率应该是30%.
【点评】本题考查的是平均增长率问题.明确增长前的量×(1+平均增长率)增长的次数=增长后的量是解题的关键.
21.为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°.
(1)求公益广告牌的高度AB;
(2)求加固钢缆AD和BD的长.(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
【分析】(1)根据已知和tan∠ADC= ，求出AC，根据∠BDC=45°，求出BC，根据AB=AC﹣BC求出AB;
(2)根据cos∠ADC= ，求出AD，根据cos∠BDC= ，求出BD.
【解答】解：(1)在Rt△ADC中，∵∠ADC=60°，CD=3，
∵tan∠ADC= ，
∴AC=3•tan60°=3 ，
在Rt△BDC中，∵∠BDC=45°，
∴BC=CD=3，
∴AB=AC﹣BC=(3 ﹣3)米.
(2)在Rt△ADC中，∵cos∠ADC= ，
∴AD= = =6米，
在Rt△BDC中，∵cos∠BDC= ，
∴BD= = =3 米.
【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握仰角的概念和锐角三角函数的概念是解题的关键.
22.△ABC中，AC=BC，以BC上一点O为圆心，OB为半径作⊙O交AB于点D.已知经过点D的⊙O切线恰好经过点C.
(1)试判断CD与AC的位置关系，并证明;
(2)若△ACB∽△CDB，且AC=3，求中阴影部分的面积.
【考点】切线的判定;扇形面积的计算;相似三角形的判定与性质.
【专题】计算题.
【分析】(1)连结OD，由OD=OB得∠ODB=∠B，由AC=CB得∠A=∠B，则∠A=∠ODB，于是可判断OD∥AC，根据平行线的性质得∠ACD=∠ODC，再根据切线的性质得∠ODC=90°，则∠DCA=90°，所以CD⊥AC;
(2)根据相似三角形的性质，由△ACB∽△CDB得到∠BCD=∠A，理由三角形外角性质易得∠ADC=2∠B，则∠ADC=2∠A，再利用三角形内角和定理得∠A+∠ADC=90°，可计算出∠A=30°，则∠CDB=∠B=30°，∠COD=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△ACD中可计算出CD= AC= ，再在Rt△ODC中计算出OD= CD=1，然后利用三角形的面积减去扇形的面积可得到中阴影部分的面积.
【解答】解：(1)CD⊥AC.理由如下：
连结OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B，
∵AC=CB，
∴∠A=∠B，
∴∠A=∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠ACD=∠ODC，
∵CD是⊙O切线，
∴∠ODC=90°，
∴∠DCA=90°，
∴CD⊥AC;
(2)∵△ACB∽△CDB，
∴∠BCD=∠A，
∴∠ADC=2∠B，
而∠A=∠B，
∴∠ADC=2∠A，
∵∠A+∠ADC=90°，
∴∠A=30°，
∴∠CDB=∠B=30°，
∴∠COD=60°，
在Rt△ACD中，CD= AC= ，
在Rt△ODC中，OD= CD=1，
∴中阴影部分的面积= ×1× ﹣ = ﹣ .
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了扇形的面积计算和相似三角形的性质.
23.在△ABC中，∠ACB=90°，点G是△ABC的重心，且AG⊥CG，CG的延长
线交AB于H.
(1)求证：△CAG∽△ABC;
(2)求S△AGH：S△ABC的值.
【考点】相似三角形的判定与性质;三角形的重心.
【分析】(1)证明：CG交AB于D，设GD=a，根据重心的性质得CG=2DG=2a，根据重心的定义得CD为AB边上的中线，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得到CD=AD=BD=3a，则∠1=∠3，再利用等角的余角相等得∠1=∠3，所以∠B=∠3，加上∠ACB=∠AGC=90°，于是根据相似三角形的判定方法得到△CAG∽△ABC;
(2)由点G是△ABC的重心，得到CG=2HG，于是得到HG= CH，求得S△AHG= S△ACH，根据CH为AB边上的中线，于是得到S△ACH= S△ABC，推出S△AHG= S△ABC，即可得到结论.
【解答】(1)证明：设GH=a，
∵点G是△ABC的重心，
∴CG=2HG=2a，CH为AB边上的中线，
∴CH=AH=BH=3a，
∴∠1=∠3，
∵AG⊥CG，
∴∠2+∠3=90°，
而∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∴∠B=∠3，
而∠ACB=∠AGC=90°，
∴△CAG∽△ABC;
(2)∵点G是△ABC的重心，
∴CG=2HG，
∴HG= CH，
∴S△AHG= S△ACH，
∵CH为AB边上的中线，
∴S△ACH= S△ABC，
∴S△AHG= S△ABC，
∴S△AGH：S△ABC=1：6.
【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点;重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查相似三角形的判定与性质.
24.某水果店出售某种水果，已知该水果的进价为6元/千克，若以9元/千克的价格销售，则每天可售出200千克;若以11元/千克的价格销售，则每天可售出120千克.通过调查验证，我发现每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系.
(1)求y(千克)与x(元)(x>0)的函数关系式;
(2)当销售单价为何值时，该水果店销售这种水果每天获取的利润达到280元?(利润=销售量×(销售单价﹣进价))
(3)该水果店在进货成本不超过720元时，销售单价定为多少元可获得最大利润?最大利润是多少?
【考点】二次函数的应用.
【分析】(1)以9元/千克的价格销售，那么每天可售出200千克;以11元/千克的价格销售，那么每天可售出120千克，就相当于直线过点(9，200)，(11，120)，然后列方程组解答即可;
(2)根据利润=销售量×(销售单价﹣进价)写出方程求出即可;
(3)根据利润=销售量×(销售单价﹣进价)写出解析式，然后利用配方法求最大值，再结合二次函数性质得出答案.
【解答】解：(1)设y(千克)与x(元)(x>0)的函数关系式为：y=kx+b，
根据题意可得： ，
解得： .
故y(千克)与x(元)(x>0)的函数关系式为：y=﹣40x+560;
(2)∵W=280元，
∴280=(﹣40x+560)×(x﹣6)
解得：x1=7，x2=13.
答：当销售单价为7元或13元时，每天可获得的利润达到W=280元;
(3)∵利润=销售量×(销售单价﹣进价)
∴W=(﹣40x+560)(x﹣6)
=﹣40x2+800x﹣3360
=﹣40(x﹣10)2+640，
当售价为10元，则y=560﹣400=160，
160×6=960(元)>720元，
则当(﹣40x+560)×6=720，
解得：x=11.
即当销售单价为11元时，每天可获得的利润最大，最大利润是600元.
【点评】此题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数的解析式的运用，在解答时理清题意设出一次函数的解析式建立方程组是关键.
25.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(﹣8，0)，点B的坐标是(0，n)(n>0).P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C.记点P关于y轴的对称点为P′(点P′不在y轴上)，连接PP′，P′A，P′C.设点P的横坐标为m.
(1)若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D.当P′D：DC=5：13时，求m的值;
(2)若∠ACP′=60°，试用m的代数式表示n;
(3)若点P在第一象限，是否同时存在m，n，使△P′CA为等腰直角三角形?若存在，请求出所有满足要求的m，n的值;若不存在，请说明理由.
【考点】一次函数综合题.
【分析】(1)由条件可得△P′PD∽△CAD，利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值;
(2)过P′H⊥AC于H，设直线AB的解析式为y=kx+n，把x=﹣8，y=0代入得：﹣8k+n=0，于是得到直线的解析式是：y= x+n，求得PC=P′H= +n，根据三角函数的定义得到 = ，即可得到结论;
(3)分∠AP′C、∠P′AC和∠P′CA分别为直角进行讨论，由等腰三角形可先求得m的值，再根据相似三角形可得到关于n的方程，可求得n的值.
【解答】解：(1)∵PP′∥AC，
∴△P′PD∽△CAD，
∴ = = ，
∴ = ，
解得：m= ;
(2)过P′H⊥AC于H，设直线AB的解析式为y=kx+n，
把x=﹣8，y=0代入得：﹣8k+n=0，
∴k= ，
∴直线的解析式是：y= x+n，
把x=m代入得y= +n，
∴PC=P′H= +n，
∵∠ACP′=60°，
∴ = ，
∴ = ，
∴n= ;
(3)当点P在第一象限且△P′CA为等腰直角三角形时，分∠AP′C、∠P′AC和∠P′CA分别为直角进行讨论.
第一种情况：
若∠AP′C=90°，P′A=P′C，
过点P′作P′H⊥x轴于点H.
∴PP′=CH=AH=P′H= AC.
∴2m= (m+8)，
∴m= ，P′H= ，
∵△AOB∽△ACP，
∴ ，
∴n=4;
第二种情况：
若∠P′AC=90°，P′A=AC，则PP′=AC，
∴2m=m+8，
∴m=8，
∵△P′AC为等腰直角三角形，
∴四边形P′ACP为正方形，
∴PC=AC=16，
∵△AOB∽△ACP，
∴ ，即 = ，
∴n=8;
第三种情况：
若∠P′CA=90°，则点P′，P都在第一象限内，这与条件矛盾.
∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形.
∴所有满足条件的m= ，n=4或m=8，n=8.
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质及等腰直角三角形的性质、坐标与形等知识点的综合应用，在(1)中由条件证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例得到关于m的方程是解题的关键;在(3)中分三种情况分别讨论是解题的关键;属于基础知识的综合考查，难度不大，注意对基础知识的熟练应用.
26.(14分)已知点A(x1，y1)、B(x2，y2)在二次函数y=x2+mx+n的象上，当x1=1、x2=3时，y1=y2.
(1)①求m;②若抛物线与x轴只有一个公共点，求n的值.
(2)若P(a，b1)，Q(3，b2)是函数象上的两点，且b1>b2，求实数a的取值范围.
(3)若对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，求n的范围.
【考点】抛物线与x轴的交点;二次函数象上点的坐标特征.
【专题】计算题.
【分析】(1)①利用抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线x=2，则根据抛物线对称轴方程得到﹣ =2，然后解方程即可得到m的值;
②利用△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到△=m2﹣4n=0，然后解方程即可得到n的值;
(2)利用二次函数的性质，由于x1=1、x2=3时，y1=y2，点P到直线x=2的距离比点Q到直线x=2的距离要大，于是可得到a<1或a>3;
(3)由于对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，则判断二次函数y=x2﹣4x+n的最小值大于或等于1，根据顶点坐标公式得到 ≥1，然后解不等式即可.
【解答】解：(1)①∵当x1=1、x2=3时，y1=y2，
∴点A与点B为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
即﹣ =2，
∴m=﹣4;
②∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴△=m2﹣4n=0，
而m=﹣4，
∴n=4;
(2)∵x1=1、x2=3时，y1=y2，
而抛物线开口向上，
∴当a>3时，b1>b2，或a<1时，b1>b2，
即实数a的取值范围为a<1或a>3;
(3)∵对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，
∴二次函数y=x2﹣4x+n的最小值大于或等于1，
即 ≥1，
∴n≥5.
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标转化为解关于x的一元二次方程;△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数.也考查了二次函数的性质.利用数形结合的思想是解决本题的关键.
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1.七年级数学上学期期末试卷
