高中数学学习记忆的口诀详解(2)
高三的数学基础知识点
第一部分 集合
(1)含n个元素的集合的子集数为2^n,真子集数为2^n-1;非空真子集的数为2^n-2;
(2) 注意：讨论的时候不要遗忘了 的情况。
(3)
第二部分 函数与导数
1.映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一，或多对一。
2.函数值域的求法：①分析法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ;
⑤换元法 ;⑥利用均值不等式 ; ⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性( 、 、 等);⑨导数法
3.复合函数的有关问题
(1)复合函数定义域求法：
① 若f(x)的定义域为〔a，b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。
(2)复合函数单调性的判定：
①首先将原函数 分解为基本函数：内函数 与外函数 ;
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;
③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
注意：外函数 的定义域是内函数 的值域。
4.分段函数：值域(最值)、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
5.函数的奇偶性
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件;
⑵ 是奇函数 ;
⑶ 是偶函数 ;
⑷奇函数 在原点有定义，则 ;
⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性;
(6)若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性;
6.函数的单调性
⑴单调性的定义：
① 在区间 上是增函数 当 时有 ;
② 在区间 上是减函数 当 时有 ;
⑵单调性的判定
1 定义法：
注意：一般要将式子 化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号;
②导数法(见导数部分);
③复合函数法(见2 (2));
④图像法。
注：证明单调性主要用定义法和导数法。
7.函数的周期性
(1)周期性的定义：
对定义域内的任意 ，若有 (其中 为非零常数)，则称函数 为周期函数， 为它的一个周期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。
(2)三角函数的周期
① ;② ;③ ;
④ ;⑤ ;
⑶函数周期的判定
①定义法(试值) ②图像法 ③公式法(利用(2)中结论)
⑷与周期有关的结论
① 或 的周期为 ;
② 的图象关于点 中心对称 周期为2 ;
③ 的图象关于直线 轴对称 周期为2 ;
④ 的图象关于点 中心对称，直线 轴对称 周期为4 ;
8.基本初等函数的图像与性质
⑴幂函数： ( ;⑵指数函数： ;
⑶对数函数: ;⑷正弦函数: ;
⑸余弦函数： ;(6)正切函数： ;⑺一元二次函数： ;
⑻其它常用函数：
1 正比例函数： ;②反比例函数： ;特别的
2 函数 ;
9.二次函数：
⑴解析式：
①一般式： ;②顶点式： ， 为顶点;
③零点式： 。
⑵二次函数问题解决需考虑的因素：
①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。
⑶二次函数问题解决方法：①数形结合;②分类讨论。
10.函数图象：
⑴图象作法 ：①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法
⑵图象变换：
1 平移变换：ⅰ ，2 ———“正左负右”
ⅱ ———“正上负下”;
3 伸缩变换：
ⅰ ， ( ———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 倍;
ⅱ ， ( ———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 倍;
4 对称变换：ⅰ ;ⅱ ;
ⅲ ; ⅳ ;
5 翻转变换：
ⅰ ———右不动，右向左翻( 在 左侧图象去掉);
ⅱ ———上不动，下向上翻(| |在 下面无图象);
11.函数图象(曲线)对称性的证明
(1)证明函数 图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(2)证明函数 与 图象的对称性，即证明 图象上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点在 的图象上，反之亦然;
注：
①曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;
②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为：f(2a-x, y)=0;
③曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
④f(a+x)=f(b-x) (x∈R) y=f(x)图像关于直线x= 对称;
特别地：f(a+x)=f(a-x) (x∈R) y=f(x)图像关于直线x=a对称;
⑤函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;
12.函数零点的求法：
⑴直接法(求 的根);⑵图象法;⑶二分法.
13.导数
⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作 ;
⑵常见函数的导数公式: ① ;② ;③ ;
④ ;⑤ ;⑥ ;⑦ ;
⑧ 。
⑶导数的四则运算法则：
⑷(理科)复合函数的导数：
⑸导数的应用：
①利用导数求切线：注意：ⅰ所给点是切点吗?ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线?
②利用导数判断函数单调性：
ⅰ 是增函数;ⅱ 为减函数;
ⅲ 为常数;
③利用导数求极值：ⅰ求导数 ;ⅱ求方程 的根;ⅲ列表得极值。
④利用导数最大值与最小值：ⅰ求的极值;ⅱ求区间端点值(如果有);ⅲ得最值。
14.(理科)定积分
⑴定积分的定义：
⑵定积分的性质：① ( 常数);
② ;
③ (其中 。
⑶微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式)：
⑷定积分的应用：①求曲边梯形的面积： ;
3 求变速直线运动的路程： ;③求变力做功： 。
第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形
1.⑴角度制与弧度制的互化： 弧度 ， 弧度， 弧度
⑵弧长公式： ;扇形面积公式： 。
2.三角函数定义：角 中边上任意一点 为 ，设 则：
3.三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦;
4.诱导公式记忆规律：“函数名不(改)变，符号看象限”;
5.⑴ 对称轴： ;对称中心： ;
⑵ 对称轴： ;对称中心： ;
6.同角三角函数的基本关系： ;
7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①
② ③ 。
8.二倍角公式：① ;
② ;③ 。
9.正、余弦定理：
⑴正弦定理： ( 是 外接圆直径 )
注：① ;② ;③ 。
⑵余弦定理： 等三个;注： 等三个。
10。几个公式:
⑴三角形面积公式： ;
⑵内切圆半径r= ;外接圆直径2R=
11.已知 时三角形解的个数的判定：
第四部分 立体几何
1.三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为 。
2.表(侧)面积与体积公式：
⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底;②侧面积：S侧= ;③体积：V=S底h
⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底;②侧面积：S侧= ;③体积：V= S底h：
⑶台体：①表面积：S=S侧+S上底S下底;②侧面积：S侧= ;③体积：V= (S+ )h;
⑷球体：①表面积：S= ;②体积：V= 。
3.位置关系的证明(主要方法)：
⑴直线与直线平行：①公理4;②线面平行的性质定理;③面面平行的性质定理。
⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理;②面面平行 线面平行。
⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论;②垂直于同一直线的两平面平行。
⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理;②面面垂直的性质定理。
⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角;②面面垂直的判定定理。
注：理科还可用向量法。
4.求角：(步骤-------Ⅰ。找或作角;Ⅱ。求角)
⑴异面直线所成角的求法：
1 平移法：平移直线，2 构造三角形;
3 ②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，4 发现两条异面直线间的关系。
注：理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角。
⑵直线与平面所成的角：
①直接法(利用线面角定义);②先求斜线上的点到平面距离h，与斜线段长度作比，得sin 。
注：理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。
⑶二面角的求法：
①定义法：在二面角的棱上取一点(特殊点)，作出平面角，再求解;
②三垂线法：由一个半面内一点作(或找)到另一个半平面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解;
③射影法：利用面积射影公式： ,其中 为平面角的大小;
注：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法;
理科还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角。
5.求距离：(步骤-------Ⅰ。找或作垂线段;Ⅱ。求距离)
⑴两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算;
⑵点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解;
⑶点到平面的距离：
①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段(确定已知面的垂面是关键)，再求解;
5 等体积法;
理科还可用向量法： 。
⑷球面距离：(步骤)
(Ⅰ)求线段AB的长;(Ⅱ)求球心角∠AOB的弧度数;(Ⅲ)求劣弧AB的长。
6.结论：
⑴从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上;
⑵立平斜公式(最小角定理公式)：
⑶正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为 ，则S侧cos =S底;
⑷长方体的性质
①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 则：cos2 +cos2 +cos2 =1;sin2 +sin2 +sin2 =2 。
②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为 则有cos2 +cos2 +cos2 =2;sin2 +sin2 +sin2 =1 。
⑸正四面体的性质：设棱长为 ，则正四面体的：
1 高： ;②对棱间距离： ;③相邻两面所成角余弦值： ;④内切2 球半径： ;外接球半径： ;
第五部分 直线与圆
1.直线方程
⑴点斜式： ;⑵斜截式： ;⑶截距式： ;
⑷两点式： ;⑸一般式： ，(A，B不全为0)。
(直线的方向向量：( ，法向量(
2.求解线性规划问题的步骤是：
(1)列约束条件;(2)作可行域，写目标函数;(3)确定目标函数的最优解。
3.两条直线的位置关系：
4.直线系
5.几个公式
⑴设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，⊿ABC的重心G：( );
⑵点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离： ;
⑶两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是 ;
6.圆的方程：
⑴标准方程：① ;② 。
⑵一般方程： (
注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆 A=C≠0且B=0且D2+E2-4AF>0;
7.圆的方程的求法：⑴待定系数法;⑵几何法;⑶圆系法。
8.圆系：
⑴ ;
注：当 时表示两圆交线。
⑵ 。
9.点、直线与圆的位置关系：(主要掌握几何法)
⑴点与圆的位置关系：( 表示点到圆心的距离)
① 点在圆上;② 点在圆内;③ 点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系：( 表示圆心到直线的距离)
① 相切;② 相交;③ 相离。
⑶圆与圆的位置关系：( 表示圆心距， 表示两圆半径，且 )
① 相离;② 外切;③ 相交;
④ 内切;⑤ 内含。
10.与圆有关的结论：
⑴过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2;
过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;
⑵以A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。
第六部分 圆锥曲线
1.定义：⑴椭圆： ;
⑵双曲线： ;⑶抛物线：略
2.结论
⑴焦半径：①椭圆： (e为离心率); (左“+”右“-”);
②抛物线：
⑵弦长公式：
;
注：(Ⅰ)焦点弦长：①椭圆： ;②抛物线： =x1+x2+p= ;(Ⅱ)通径(最短弦)：①椭圆、双曲线： ;②抛物线：2p。
⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： ( 同时大于0时表示椭圆， 时表示双曲线);
⑷椭圆中的结论：
①内接矩形最大面积 ：2ab;
②P，Q为椭圆上任意两点，且OP 0Q，则 ;
③椭圆焦点三角形：<Ⅰ>. ，( );<Ⅱ>.点 是 内心， 交 于点 ，则 ;
④当点 与椭圆短轴顶点重合时 最大;
⑸双曲线中的结论：
①双曲线 (a>0,b>0)的渐近线： ;
②共渐进线 的双曲线标准方程为 为参数， ≠0);
③双曲线焦点三角形：<Ⅰ>. ，( );<Ⅱ>.P是双曲线 - =1(a>0，b>0)的左(右)支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为 ;
④双曲线为等轴双曲线 渐近线为 渐近线互相垂直;
(6)抛物线中的结论：
①抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB性质：<Ⅰ>. x1x2= ;y1y2=-p2;
<Ⅱ>. ;<Ⅲ>.以AB为直径的圆与准线相切;<Ⅳ>.以AF(或BF)为直径的圆与 轴相切;<Ⅴ>. 。
②抛物线y2=2px(p>0)内结直角三角形OAB的性质：
<Ⅰ>. ; <Ⅱ>. 恒过定点 ;
<Ⅲ>. 中点轨迹方程： ;<Ⅳ>. ，则 轨迹方程为： ;<Ⅴ>. 。
③抛物线y2=2px(p>0)，对称轴上一定点 ，则：
<Ⅰ>.当 时，顶点到点A距离最小，最小值为 ;<Ⅱ>.当 时，抛物线上有关于 轴对称的两点到点A距离最小，最小值为 。
3.直线与圆锥曲线问题解法：
⑴直接法(通法)：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。
注意以下问题：
①联立的关于“ ”还是关于“ ”的一元二次方程?
②直线斜率不存在时考虑了吗?
③判别式验证了吗?
⑵设而不求(代点相减法)：--------处理弦中点问题
步骤如下：①设点A(x1，y1)、B(x2,y2);②作差得 ;③解决问题。
4.求轨迹的常用方法：(1)定义法：利用圆锥曲线的定义; (2)直接法(列等式);(3)代入法(相关点法或转移法);⑷待定系数法;(5)参数法;(6)交轨法。
第七部分 平面向量
⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则： ① a‖b(b≠0) a= b ( x1y2-x2y1=0;
② a⊥b(a、b≠0) a•b=0 x1x2+y1y2=0 .
⑵a•b=|a||b|cos=x2+y1y2;
注：①|a|cos叫做a在b方向上的投影;|b|cos叫做b在a方向上的投影;
6 a•b的几何意义：a•b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。
⑶cos= ;
⑷三点共线的充要条件：P，A，B三点共线 ;
附：(理科)P，A，B，C四点共面 。
第八部分 数列
1.定义：
⑴等差数列 ;
⑵等比数列
;
2.等差、等比数列性质
等差数列 等比数列
通项公式
前n项和
性质 ①an=am+ (n-m)d, ①an=amqn-m;
②m+n=p+q时am+an=ap+aq ②m+n=p+q时aman=apaq
③ 成AP ③ 成GP
④ 成AP, ④ 成GP,
等差数列特有性质：
1 项数为2n时：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n); ; ;
2 项数为2n-1时：S2n-1=(2n-1) ; ; ;
3 若 ;若 ;
若 。
3.数列通项的求法：
⑴分析法;⑵定义法(利用AP,GP的定义);⑶公式法：累加法( ;
⑷叠乘法( 型);⑸构造法( 型);(6)迭代法;
⑺间接法(例如： );⑻作商法( 型);⑼待定系数法;⑽(理科)数学归纳法。
注：当遇到 时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式。
4.前 项和的求法：
⑴拆、并、裂项法;⑵倒序相加法;⑶错位相减法。
5.等差数列前n项和最值的求法：
⑴ ;⑵利用二次函数的图象与性质。
第九部分 不等式
1.均值不等式：
注意：①一正二定三相等;②变形， 。
2.绝对值不等式：
3.不等式的性质：
⑴ ;⑵ ;⑶ ;
;⑷ ; ;
;⑸ ;(6)
。
4.不等式等证明(主要)方法：
⑴比较法：作差或作比;⑵综合法;⑶分析法。
第十部分 复数
1.概念：
⑴z=a+bi∈R b=0 (a,b∈R) z= z2≥0;
⑵z=a+bi是虚数 b≠0(a,b∈R);
⑶z=a+bi是纯虚数 a=0且b≠0(a,b∈R) z+ =0(z≠0) z2<0;
⑷a+bi=c+di a=c且c=d(a,b,c,d∈R);
2.复数的代数形式及其运算：设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，则：
(1) z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i;⑵ z1.z2 = (a+bi)•(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;⑶z1÷z2 = (z2≠0) ;
3.几个重要的结论：
;⑶ ;⑷
⑸ 性质：T=4; ;
(6) 以3为周期，且 ; =0;
(7) 。
4.运算律：(1)
5.共轭的性质：⑴ ;⑵ ;⑶ ;⑷ 。
6.模的性质：⑴ ;⑵ ;⑶ ;⑷ ;
第十一部分 概率
1.事件的关系：
⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作 ;
⑵事件A与事件B相等：若 ，则事件A与B相等，记作A=B;
⑶并(和)事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作 (或 );
⑷并(积)事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作 (或 ) ;
⑸事件A与事件B互斥：若 为不可能事件( )，则事件A与互斥;
(6)对立事件： 为不可能事件， 为必然事件，则A与B互为对立事件。
2.概率公式：
⑴互斥事件(有一个发生)概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B);
⑵古典概型： ;
⑶几何概型： ;
第十二部分 统计与统计案例
1.抽样方法
⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。
注：①每个个体被抽到的概率为 ;
②常用的简单随机抽样方法有：抽签法;随机数法。
⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的
规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。
注：步骤：①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号 ;
④按预先制定的规则抽取样本。
⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。
注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数
2.总体特征数的估计：
⑴样本平均数 ;
⑵样本方差 ;
⑶样本标准差 = ;
3.相关系数(判定两个变量线性相关性)：
注：⑴ >0时，变量 正相关; <0时，变量 负相关;
⑵① 越接近于1，两个变量的线性相关性越强;② 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
4.回归分析中回归效果的判定：
⑴总偏差平方和： ⑵残差： ;⑶残差平方和： ;⑷回归平方和： - ;⑸相关指数 。
注：① 得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好;
② 越接近于1，，则回归效果越好。
5.独立性检验(分类变量关系)：
随机变量 越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。
第十四部分 常用逻辑用语与推理证明
1. 四种命题：
⑴原命题：若p则q; ⑵逆命题：若q则p;
⑶否命题：若 p则 q;⑷逆否命题：若 q则 p
注：原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。
2.充要条件的判断：
(1)定义法----正、反方向推理;
(2)利用集合间的包含关系：例如：若 ，则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B，则A是B的充要条件;
3.逻辑连接词：
⑴且(and) ：命题形式 p q; p q p q p q p
⑵或(or)：命题形式 p q; 真 真 真 真 假
⑶非(not)：命题形式 p . 真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
4.全称量词与存在量词
⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用 表示;
全称命题p： ;
全称命题p的否定 p： 。
⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用 表示;
特称命题p： ;
特称命题p的否定 p： ;
第十五部分 推理与证明
1.推理：
⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。
①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。
注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。
注：类比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。
注：演绎推理是由一般到特殊的推理。
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
⑴大前提---------已知的一般结论;
⑵小前提---------所研究的特殊情况;
⑶结 论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。
二.证明
⒈直接证明
⑴综合法
一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。
⑵分析法
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)，这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。
2.间接证明------反证法
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。
附：数学归纳法(仅限理科)
一般的证明一个与正整数 有关的一个命题，可按以下步骤进行：
⑴证明当 取第一个值 是命题成立;
⑵假设当 命题成立，证明当 时命题也成立。
那么由⑴⑵就可以判定命题对从 开始所有的正整数都成立。
这种证明方法叫数学归纳法。
注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行;
3 的取值视题目而4 定，5 可能是1，6 也可能是2等。
第十六部分 理科选修部分
1. 排列、组合和二项式定理
⑴排列数公式: =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= (m≤n,m、n∈N*),当m=n时为全排列 =n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!;
⑵组合数公式： (m≤n), ;
⑶组合数性质： ;
⑷二项式定理：
①通项： ②注意二项式系数与系数的区别;
⑸二项式系数的性质：
①与首末两端等距离的二项式系数相等;②若n为偶数，中间一项(第 +1项)二项式系数最大;若n为奇数，中间两项(第 和 +1项)二项式系数最大;
③
(6)求二项展开式各项系数和或奇(偶)数项系数和时，注意运用赋值法。
2. 概率与统计
⑴随机变量的分布列：
①随机变量分布列的性质：pi≥0,i=1,2,…; p1+p2+…=1;
②离散型随机变量：
X x1 X2 … xn …
P P1 P2 … Pn …
期望：EX= x1p1 + x2p2 + … + xnpn + … ;
方差：DX= ;
注： ;
③两点分布：
X 0 1 期望：EX=p;方差：DX=p(1-p).
P 1-p p
4 超几何分布：
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则 其中， 。
称分布列
X 0 1 … m
P …
为超几何分布列， 称X服从超几何分布。
⑤二项分布(独立重复试验)：
若X～B(n,p),则EX=np, DX=np(1- p);注： 。
⑵条件概率：称 为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
注：①0 P(B|A) 1;②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
⑶独立事件同时发生的概率：P(AB)=P(A)P(B)。
⑷正态总体的概率密度函数： 式中 是参数，分别表示总体的平均数(期望值)与标准差;
(6)正态曲线的性质：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交;②曲线是单峰的，关于直线x= 对称;
③曲线在x= 处达到峰值 ;④曲线与x轴之间的面积为1;
5 当 一定时，6 曲线随 质的变化沿x轴平移;
7 当 一定时，8 曲线形状由 确定： 越大，9 曲线越“矮胖”，10 表示总体分布越集中;
越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。
注：P =0.6826;P =0.9544
P =0.9974
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