高一数学必修一的知识点总结介绍(2)

　　高一的数学的重要的知识点总结

　　1高一数学函数知识点归纳

　　1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，写作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合B={f(x)∣x∈A }叫做函数的值域。

　　2、函数定义域的解题思路：

　　⑴ 若x处于分母位置，则分母x不能为0。

　　⑵ 偶次方根的被开方数不小于0。

　　⑶ 对数式的真数必须大于0。

　　⑷ 指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。

　　⑸ 指数为0时，底数不得为0。

　　⑹ 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。

　　⑺ 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。

　　3、相同函数

　　⑴ 表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。

　　⑵ 定义域一致，对应法则一致。

　　4、函数值域的求法

　　⑴ 观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。

　　⑵ 图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。

　　⑶ 配方法：主要用于二次函数，配方成 y=(x-a)2+b 的形式。

　　⑷ 代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。

　　5、函数图像的变换

　　⑴ 平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。

　　⑵ 伸缩变换：在x前加上系数。

　　⑶ 对称变换：高中阶段不作要求。

　　6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射。

　　⑴ 集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。

　　⑵ 集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。

　　⑶ 不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

　　7、分段函数

　　⑴ 在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。

　　⑵ 各部分自变量和函数值的取值范围不同。

　　⑶ 分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。

　　8、复合函数：如果(u∈M)，u=g(x) (x∈A),则，y=f[g(x)]=F(x) (x∈A)，称为f、g的复合函数。

　　1高一数学函数的性质

　　1、函数的局部性质——单调性

　　设函数y=f(x)的定义域为I，如果对应定义域I内的某个区间D内的任意两个变量x1、x2，当x1< x2时，都有f(x1)f(x2)，那么那么y=f(x)在区间D上是减函数，D是函数y=f(x)的单调递减区间。

　　⑴函数区间单调性的判断思路

　　ⅰ在给出区间内任取x1、x2，则x1、x2∈D，且x1< x2。

　　ⅱ 做差值f(x1)-f(x2)，并进行变形和配方，变为易于判断正负的形式。

　　ⅲ判断变形后的表达式f(x1)-f(x2)的符号，指出单调性。

　　⑵复合函数的单调性

　　复合函数y=f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律为“同增异减”;多个函数的复合函数，根据原则“减偶则增，减奇则减”。

　　⑶注意事项

　　函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成并集，如果函数在区间A和B上都递增，则表示为f(x)的单调递增区间为A和B，不能表示为A∪B。

　　2、函数的整体性质——奇偶性

　　对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x) =f(-x)，则f(x)就为偶函数;

　　对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x) =-f(x)，则f(x)就为奇函数。

　　⑴奇函数和偶函数的性质

　　ⅰ无论函数是奇函数还是偶函数，只要函数具有奇偶性，该函数的定义域一定关于原点对称。

　　ⅱ奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

　　⑵函数奇偶性判断思路

　　ⅰ先确定函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则为非奇非偶函数。

　　ⅱ确定f(x) 和f(-x)的关系：

　　若f(x) -f(-x)=0，或f(x) /f(-x)=1，则函数为偶函数;

　　若f(x)+f(-x)=0，或f(x)/ f(-x)=-1，则函数为奇函数。

　　3、函数的最值问题

　　⑴对于二次函数，利用配方法，将函数化为y=(x-a)2+b的形式，得出函数的最大值或最小值。

　　⑵对于易于画出函数图像的函数，画出图像，从图像中观察最值。

　　⑶关于二次函数在闭区间的最值问题

　　ⅰ判断二次函数的顶点是否在所求区间内，若在区间内，则接ⅱ，若不在区间内，则接ⅲ。

　　ⅱ 若二次函数的顶点在所求区间内，则在二次函数y=ax2+bx+c中，a>0时，顶点为最小值，a<0时顶点为最大值;后判断区间的两端点距离顶点的远近，离顶点远的端点的函数值，即为a>0时的最大值或a<0时的最小值。

　　ⅲ 若二次函数的顶点不在所求区间内，则判断函数在该区间的单调性

　　若函数在[a，b]上递增，则最小值为f(a)，最大值为f(b);

　　若函数在[a，b]上递减，则最小值为f(b)，最大值为f(a)。

　　高一数学基本初等函数

　　1、指数函数：函数y=ax (a>0且a≠1)叫做指数函数

　　注意：⑴由函数的单调性可以看出，在闭区间[a,b]上，指数函数的最值为：

　　a>1时，最小值f(a)，最大值f(b);0

　　⑵ 对于任意指数函数y=ax (a>0且a≠1)，都有f(1)=a。

　　2、对数函数：函数y=logax(a>0且a≠1))，叫做对数函数

　　3、幂函数：函数y=xa(a∈R)，高中阶段，幂函数只研究第I象限的情况。

　　⑴所有幂函数都在(0，+∞)区间内有定义，而且过定点(1,1)。

　　⑵a>0时，幂函数图像过原点，且在(0，+∞)区间为增函数，a越大，图像坡度越大。

　　⑶a<0时，幂函数在(0，+∞)区间为减函数。

　　当x从右侧无限接近原点时，图像无限接近y轴正半轴;

　　当y无限接近正无穷时，图像无限接近x轴正半轴。

　　幂函数总图见下页。

　　4、反函数：将原函数y=f(x)的x和y互换即得其反函数x=f-1(y)。

　　反函数图像与原函数图像关于直线y=x对称。

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