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高1数学绝对值三角不等式知识点

凤婷分享

  数学课本中不等式这一部分包含绝对值三角不等式,同学们需要重点关注,下面是学习啦小编给大家带来的高1数学绝对值三角不等式知识点,希望对你有帮助。

  高1数学绝对值三角不等式知识点(一)

  绝对值三角不等式

  绝对值三角不等式:

  1、基本形式

  如果a,b都是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立;

  2、变式

  如果a,b都是实数,则

  。

  三角不等式的解法

  利用三角函数线或正弦、余弦、正切函数的图象写出解集.

  高1数学绝对值三角不等式知识点(二)

  绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法

  二.教学目的

  1、掌握绝对值的三角不等式;

  2、掌握不等式证明的基本方法

  三.知识分析

  [绝对值的三角不等式]

  定理1若a,b为实数,则

  ,当且仅当ab≥0时,等号成立。

  几何说明:(1)当ab>0时,它们落在原点的同一边,此时a与-b的距离等于它们到原点距离之和。

  (2)如果ab<0,则a,b分别落在原点两边,a与-b的距离严格小于a与b到原点距离之和(下图为ab<0,a>0,b<0的情况,ab<0的其他情况可作类似解释)。

  |a-b|表示a-b与原点的距离,也表示a到b之间的距离。

  定理2设a,b,c为实数,则

  ,等号成立

  ,即b落在a,c之间。

  推论1

  推论2

  [不等式证明的基本方法]

  1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法,也是一种常用的方法,基本不等式就是用比较法证得的。

  比较法有差值、比值两种形式,但比值法必须考虑正负。

  比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述。

  如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则可考虑用到判别式法证。

  2、所谓综合法,就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证明的结论,可简称为“由因导果”,在使用综合法证明不等式时,要注意基本不等式的应用。

  所谓分析法,就是从所要证明的不等式出发,不断地用充分条件替换前面的不等式,或者是显然成立的不等式,可简称“执果索因”,在使用分析法证明不等式时,习惯上用“

  ”表述。

  综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,其中分析法既可以寻找解题思路,如果表述清楚,也是一个完整的证明过程.注意综合法与分析法的联合运用。

  3、反证法:从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。

  4、放缩法:欲证A≥B,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,使得

  ,

  ,再利用传递性,达到证明的目的.这种方法叫做放缩法。

  【典型例题】

  例1、已知函数

  ,设a、b∈R,且a≠b,求证:

  思路:本题证法较多,下面用分析法和放缩法给出两个证明:

  证明:

  证法一:

  ①

  当ab≤-1时,式①显然成立;

  当ab>-1时,式①

  ②

  ∵a≠b,∴式②成立。故原不等式成立。

  证法二:当a=-b时,原不等式显然成立;

  当a≠-b时,

  ∴原不等式成立。

  点评:此题还可以用三角代换法,复数代换法、数形结合等证明,留给读者去思考。

  例2、设m等于|a|、|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证:

  。

  思路:本题的关键是对题设条件的理解和运用,|a|、|b|和1这三个数中哪一个最大?如果两两比较大小,将十分复杂,但我们可以得到一个重要的信息:m≥|a|、m≥|b|、m≥1。

  证明:

  故原不等式成立。

  点评:将题设条件中的文字语言“m等于|a|、|b|、1中最大的一个”转化为符号的语言“m≥|a|、m≥|b|、m≥1”是证明本题的关键。

  例3、函数

  的定义域为[0,1]且

  。当

  ∈[0,1],

  时都有

  ,求证:

  。

  证明:不妨设

  ,以下分两种情形讨论。

  若

  则

  ,若

  则

  综上所述

  点评:对于绝对值符号内的式子,采用加减某个式子后,重新组合,运用绝对值不等式的性质变形,是证明绝对值不等式的典型方法。

  例4、已知a>0,b>0,求证:

  。

  思路:如果用差值比较法,下一步将是变形,显然需要通分,是统一通分,还是局部通分?从题目结构特点看,应采取局部通分的方法。

  证明:

  ①

  ②

  ∴原不等式成立。

  点评:在上面得到①式后,其分子的符号可由题设条件作出判断,但它没有②明显,所以,变形越彻底,越有利于最后的判断,本题还可以用比值比较法证明,留给读者去完成。

  例5、设x>0,y>0,且x≠y,求证:

  思路:注意到x、y的对称性,可能会想到重要不等式,但后续思路不好展开,故我们可采用分析法,从消去分数指数幂入手。

  证明:∵x>0,y>0,且x≠y,

  点评:在不便运用比较法或综合法时,应考虑用分析法。应注意分析法表述方法,其中寻求充分条件的语句常用符号“

  ”表述。本题应用了分析法,既找到了解题思路,又使问题完满地得到了解决,可谓一举两得。

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