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高一数学函数的基本性质知识点梳理

文娟分享

  凡事预则立,不预则废。学习数学需要讲究方法和技巧,更要学会对知识点进行归纳整理。下面是学习啦小编为大家整理的高一数学函数的基本性质知识点,希望对大家有所帮助!

  高一数学函数的基本性质知识点总结

  1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.

  注意:如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合; 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.

  定义域补充

  能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:

  (1) 分式的分母不等于零;

  (2) 偶次方根的被开方数不小于零;

  (3) 对数式的真数必须大于零;

  (4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.

  (5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 . 那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .

  (6)指数为零底不可以等于零

  2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域

  再注意:

  (1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)

  (2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备)

  值域补充

  ( 1 )、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 . ( 2 ) . 应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础 . ( 3 ) . 求函数值域的常用方法有:直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等 .

  3. 函数图象知识归纳

  (1) 定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x ∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 P(x , y) 的集合 C ,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.

  C 上每一点的坐标 (x , y) 均满足函数关系 y=f(x) ,反过来,以满足 y=f(x) 的每一组有序实数对 x 、 y 为坐标的点 (x , y) ,均在 C 上 . 即记为 C={ P(x,y) | y= f(x) , x ∈A }

  图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线 ( 或直线 ), 也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成 .

  (2) 画法

  A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出 x,y 的一些对应值并列表,以 (x,y) 为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y) ,最后用平滑的曲线将这些点连接起来 .

  B、图象变换法(请参考必修4三角函数)

  常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换

  (3) 作用:

  1 、直观的看出函数的性质; 2 、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。

  发现解题中的错误。

  4.快去了解区间的概念

  (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.

  5.什么叫做映射

  一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:A B”

  给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象

  说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于映射f:A→B来说,则应满足:(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

  常用的函数表示法及各自的优点:

  函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据; 解析法:必须注明函数的定义域; 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征; 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.

  注意啊:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值

  补充一:分段函数 (参见课本P24-25)

  在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.

  补充二:复合函数

  如果 y=f(u),(u ∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为f、g的复合函数。

  高一数学解题技巧口诀:集合与函数

  内容子交并补集,还有幂指对函数。性质奇偶与增减,观察图象最明显。

  复合函数式出现,性质乘法法则辨,若要详细证明它,还须将那定义抓。

  指数与对数函数,两者互为反函数。底数非1的正数,1两边增减变故。

  函数定义域好求。分母不能等于0,偶次方根须非负,零和负数无对数;

  正切函数角不直,余切函数角不平;其余函数实数集,多种情况求交集。

  两个互为反函数,单调性质都相同;图象互为轴对称,Y=X是对称轴;

  求解非常有规律,反解换元定义域;反函数的定义域,原来函数的值域。

  幂函数性质易记,指数化既约分数;函数性质看指数,奇母奇子奇函数,

  奇母偶子偶函数,偶母非奇偶函数;图象第一象限内,函数增减看正负。

  高一数学解题技巧口诀:平面解析几何

  有向线段直线圆,椭圆双曲抛物线,参数方程极坐标,数形结合称典范。

  笛卡尔的观点对,点和有序实数对,两者—一来对应,开创几何新途径。

  两种思想相辉映,化归思想打前阵;都说待定系数法,实为方程组思想。

  三种类型集大成,画出曲线求方程,给了方程作曲线,曲线位置关系判。

  四件工具是法宝,坐标思想参数好;平面几何不能丢,旋转变换复数求。

  解析几何是几何,得意忘形学不活。图形直观数入微,数学本是数形学。

  高一数学解题技巧口诀:立体几何

  点线面三位一体,柱锥台球为代表。距离都从点出发,角度皆为线线成。

  垂直平行是重点,证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。

  方程思想整体求,化归意识动割补。计算之前须证明,画好移出的图形。

  立体几何辅助线,常用垂线和平面。射影概念很重要,对于解题最关键。

  异面直线二面角,体积射影公式活。公理性质三垂线,解决问题一大片。


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