高三理科第一学期数学期中试卷
对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂,认真思考,尽量让自己理出头绪,做完题后要总结归纳,今天小编就给大家分享一下高三数学,一起来学习吧
关于高三上学期数学期中试卷
第Ⅰ卷
一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)
1.设集合U={x|x<5,x∈N*},M={x|x2-5x+6=0},则∁UM=
A.{1,4} B.{1,5} C.{2,3} D.{3,4}
2.复数2+i1-2i的共轭复数是( ).
A.-35i B.35i C.-i D.i
3.在等比数列{an}中,若a3,a7是方程x2+4x+2=0的两根,则a5的值是
A.-2 B.-2 C.±2 D.2
4.已知双曲线x24-y2b2=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
A.5 B.42
C.3 D.5
5.阅读如右图所示的程序框图,输出的S值为
A.0 B.1+2
C.1+22 D.2-1
6.若sin α+cos αsin α-cos α=12,则tan 2α=
A.-34 B.34 C.-43 D.43
7.若 ,则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
8.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为
A.14+22 B.14+23
C.18 D.20
9.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为
A.22 B.23 C.36 D.26
10.点 在椭圆 上, , 是椭圆的两个焦点, ,且 的三条边 , , 成等差数列,则此椭圆的离心率是
A. B. C. D.
11.在△ABC中,|AB→+AC→|=3|AB→-AC→|,|AB→|=|AC→|=3,则CB→•CA→的值为
A.3 B.-3 C.-92 D.92
12.已知函数 , ,如果对于任意的 , ,都有 成立,则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分)
13.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a= .
14.P为曲线y=ln x上的一动点,Q为直线y=x+1上的一动点,则|PQ|的最小值是 .
15.若不等式组x+y-2≤0,x+2y-2≥0,x-y+2m≥0表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m的值为 .
16.已知函数f(n)=n2,当n为正奇数时,-n2,当n为正偶数时,且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于 .
三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分)
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sin2A+sinAsinB-6sin2B=0.
(1)求ab的值;
(2)若cosC=34,求sinB的值.
18.(本题满分12分)
某市需对某环城快速车道进行限速,为了调研该道路车速情况,于某个时段随机对100辆车的速度进行取样,测量的车速制成如下条形图:
经计算样本的平均值μ=85,标准差σ=2.2,以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度,现规定车速小于μ-3σ或车速大于μ+2σ是需矫正速度.
(1)从该快速车道上所有车辆中任取1个,求该车辆需矫正速度的概率;
(2)从样本中任取2辆车,求这2辆车均需矫正速度的概率;
(3)从该快速车道上所有车辆中任取2个,记其中需矫正速度的个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
19.(本题满分12分)
如图,四边形 为菱形, , 平面 ,
为 中点.
(1)求证:平面 平面 ;
(2)求平面 与平面 所成二面角(锐角)的余弦值.
20.(本题满分12分)
已知F1,F2为椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P(1,32)在椭圆E上,且|PF1|+|PF2|=4.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过F1的直线l1,l2分别交椭圆E于A,C和B,D,且l1⊥l2,问是否存在常数λ,使得1|AC|,λ,1|BD|成等差数列?若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由.
21.(本题满分12分)
已知函数f(x)=sin x-xcos x(x≥0).
(1)求函数f(x)在区间[0,2π]上的最大值;
(2)若对任意x∈(0,+∞),不等式f(x)
请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22.(本题满分10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈0,π2.
(1)求C的参数方程;
(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=3x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
23.(本题满分10分)【选修4-5:不等式选讲】
已知函数f(x)=|3x+2|.
(1)解不等式|x-1|
(2)已知m+n=1(m,n>0),若|x-a|-f(x)≤1m+1n(a>0)恒成立,求实数a的取值范围.
答案
一.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C B A B B A D D D D C
二.
题号 13 14 15 16
答案 -1 2
1 100
三.
17.解 (1)因为sin2A+sinAsinB-6sin2B=0,sinB≠0,
所以sinAsinB2+sinAsinB-6=0,得sinAsinB=2或sinAsinB=-3(舍去).
由正弦定理得ab=sinAsinB=2.
(2)由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=34.①
将ab=2,即a=2b代入①,得5b2-c2=3b2,
得c=2b.
由余弦定理cosB=a2+c2-b22ac,得
cosB=2b2+2b2-b22×2b×2b=528,
则sinB=1-cos2B=148.
18.解:(1)记事件A为“从该快速车道上所有车辆中任取1个,该车辆需矫正速度”.
因为μ-3σ=78.4,μ+2σ=89.4,
由样本条形图可知,所求的概率为P(A)=P(X<μ-3σ)+P(X>μ+2σ)=P(X<78.4)+P(X>89.4)=1100+4100=120.
(2)记事件B为“从样本中任取2辆车,这2辆车均需矫正速度”.
由题设可知样本容量为100,又需矫正速度的个数为5辆车,
故所求概率为P(B)=C25C2100=1495.
(3)需矫正速度的个数ξ服从二项分布,即ξ~B2,120,
∴P(ξ=0)=C02120019202=361400,
P(ξ=1)=C12120119201=19200,
P(ξ=2)=C22120219200=1400,
因此ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P 361400
19200
1400
∴数学期望E(ξ)=2×120=110.
19.(1)证明:如图3,连接AC交BD于O点,连接EO,
∵四边形ABCD是菱形, ,
∵E为PC中点,
,
平面ABCD, 平面ABCD,
平面BED,
∴平面 平面ABCD. ………………………………………………………(6分)
(Ⅱ)解:∵四边形ABCD是菱形,
,
平面ABCD,
, ,
如图4,建立空间直角坐标系 , …………………………………………(8分)
∵y轴⊥平面BED,
∴平面BED的法向量为 .
设F为AB中点,连接CF,菱形ABCD的边长为 ,
则 , 平面PAB,
∴平面PAB的法向量为 ,
,
∴平面PBA与平面EBD所成二面角(锐角)的余弦值为 . ……………(12分)
20.解 (1)∵|PF1|+|PF2|=4,
∴2a=4,a=2.
∴椭圆E:x24+y2b2=1.
将P(1,32)代入可得b2=3,
∴椭圆E的方程为x24+y23=1.
(2)①当AC的斜率为零或斜率不存在时,1|AC|+1|BD|=13+14=712;
②当AC的斜率k存在且k≠0时,AC的方程为y=k(x+1),
代入椭圆方程x24+y23=1,并化简得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.
设A(x1,y1),C(x2,y2),
则x1+x2=-8k23+4k2,x1•x2=4k2-123+4k2.
|AC|=1+k2|x1-x2|
=1+k2[x1+x22-4x1x2]=121+k23+4k2.
∵直线BD的斜率为-1k,
∴|BD|=12[1+-1k2]3+4-1k2=121+k23k2+4.
∴1|AC|+1|BD|=3+4k2121+k2+3k2+4121+k2=712.
综上,2λ=1|AC|+1|BD|=712,
∴λ=724.
故存在常数λ=724,使得1|AC|,λ,1|BD|成等差数列.
21.解:(1)∵f′(x)=xsin x,
∴0
∴f(x)在[0,π]上是增函数,在[π,2π]上是减函数
∴f(x)max=f(π)=π
(2)f(x)
令g(x)=sin x-xcos x-ax3,
则g′(x)=xsin x-3ax2=x(sin x-3ax),
又令h(x)=sin x-3ax,
则h′(x)=cos x-3a.
①当3a≤-1,即a≤-13时,h′(x)≥0恒成立,
∴h(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴h(x)>h(0)=0,∴g′(x)>0,
∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴g(x)>g(0)=0(不合题意).
②当3a≥1,即a≥13时, h′(x)≤0,
∴h(x)在(0,+∞)上单调递减,
∴h(x)
∴g(x)在(0,+∞)上单调递减,
∴g(x)
③当-1<3a<1,即-130,h′(π)=-1-3a<0,
∴在(0,π)上,∃x0使h′(x0)=0,
且x∈(0,x0)时,h′(x)>0⇒g′(x)>0,∴g(x)在(0,x0)上单调递增,
∴存在g(x)>g(0)=0(不符合题意),
综上,a的取值范围为13,+∞.
22.解 (1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).
可得C的参数方程为x=1+cos t,y=sin t(t为参数,0≤t≤π). 4分
(2)设D(1+cos t,sin t),由(1)知C是以C(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直,
所以直线CD与l的斜率相同,tan t=3,t=π3. 8分
故D的直角坐标为1+cos π3,sin π3,
即32,32. 10分
23.解 (1)依题设,得|x-1|<|3x+2|,
所以(x-1)2<(3x+2)2,则x>-14或x<-32,
故原不等式的解集为xx>-14或x<-32.4分
(2)因为m+n=1(m>0,n>0),
所以1m+1n=(m+n)1m+1n=2+mn+nm≥4,
当且仅当m=n=12时,等号成立.
令g(x)=|x-a|-f(x)=|x-a|-|3x+2|
=2x+2+a,x<-23,-4x-2+a,-23≤x≤a,-2x-2-a,x>a, 8分
则x=-23时,g(x)取得最大值23+a,
要使不等式恒成立,只需g(x)max=23+a≤4.
解得a≤103.
高三数学上学期期中联考试卷
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一. 选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的)
1. 已知集合 ,集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A.1009 B.1010 C.2018 D.2019
3. 设函数 则 ( )
A.2 B.4 C.8 D.16
4. 下列有关命题的说法正确的是( )
A.命题“若 ,则 ”的否命题为:“若 ,则 ”.
B.命题 : ,使得 ;命题 : ,都有 ;则命题 为真.
C.命题“ ,使得 ”的否定是:“ ,均有 ”.
D.命题“若 ,则 ”的逆否命题为真命题.
5. 已知 ,若 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
6. 如右图,正六边形ABCDEF中, 的值为18,则此正六边形的边长为( )
A.2 B. C.3 D.
7. 角 是△ 的两个内角.下列六个条件中,“ ”的充分必要条件的个数是 ( )
① ; ② ; ③ ;
④ ; ⑤ ; ⑥ .
A. B. C. D.
8. “今有垣厚二丈二尺半,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠日半尺,大鼠日增半尺,小鼠前三日日倍增,后不变,问几日相逢?”意思是“今有土墙厚22.5尺,两鼠从墙两侧同时打洞,大鼠第一天打洞一尺,小鼠第一天打洞半尺,大鼠之后每天打洞长度比前一天多半尺,小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍,三天之后小鼠每天打洞按第三天长度保持不变,问两鼠几天打通相逢?”两鼠相逢最快需要的天数为( )
A.4 B.5 C. 6 D.7
9.函数 的图象大致为( )
A B C D
10.已知函数 在区间 为单调函数,则 的最大值是( )
A. B. C. D.
11. 在 中, , 是 的内心,若 ,其中 ,动点 的轨迹所覆盖的面积为( )
A. B. C. D.
12. 已知函数 (x>2),若 恒成立,则整数k的最大值为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二.填空题 (本题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷中的横线上)
13.已知 则 。
14. 函数 的对称中心 , ,则数列 的前 项和是 。
15. 如图,矩形 的三个顶点 、 、 分别在函数 的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点 的纵坐标为 ,则点 的坐标为________.
16 . 函数 的定义域和值域均为 , 的导函数为 ,且满足 ,则
的取值范围是____________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知幂函数 经过点
(1)求 的值;
(2)是否存在实数 与 ,使得 在区间 上的值域为 ,若存在,求出 与 的值,
若不存在,说明理由.
18. (本小题满分12分)
已知函数
(1)求函数 的最小正周期与单调增区间;
(2)设集合 ,若 ,求实数 的取值范围
19. (本小题满分12分)
设数列 是公比大于 的等比数列, 是其前 项和,已知 ,且 构成等差数列
(1)求数列 的通项;
(2)令 求数列 的前 项和 .
20.(本小题满分12分)
已知 的内角 的对边分别为 ,且2acosC+c=2b.
(1)若点 在边 上,且 ,求 的面积;
(2)若 为锐角三角形,且 ,求 的取值范围。
21.(本小题满分12分)
已知函数 的图像过点 ,且在 处取得极值。
(1)若对任意 有 恒成立,求实数 的取值范围;
(2)当 ,试讨论函数 的零点个数.
22.(本小题满分12分)
已知函数 ( 为常数),曲线 在与 轴的交点A处的切线与 轴平行.
(1)求 的值及函数 的单调区间;
(2)若存在不相等的实数 使 成立,试比较 与 的大小.
高三数学(理科)参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A B D C D B C B C A B
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.
..............................................4分
..............................5分
................6分
.......................8分
解得
故存在 满足题意。....................10分
18.
.....................................................3分
函数 的最小正周期 ......................4分
由 得
函数 的单调递增区间为 .............6分
(2)由 即 ........7分
∵
当 时,不等式 恒成立
.................................................................8分
∵ .............................10分
..................................................................................12分
19.(1) 由已知得 .....................1分
设数列 的公比为 ,由 可得 又 , .........2分
所以 即 .解得 或 ...............4分
∵ ,∴ 故数列 的通项为 .................5分
(2) 由(1)得 . ..................6分
①...............................7分
②...................................................................8分
①-②得 .................................................11分
................................................................................12分
20.(1)2acosC+c=2b,由正弦定理,
得2sinAcosC+sinC=2sinB=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosAsinC,
∴sinC=2cosAsinC。
∵0
又0
又由 ,得 .................................................3分
∴由正弦定理可知 ,即
,............................................................4分
由余弦定理有 ,则 ....................................................5分
..............................................................6分
(2)由 知, ,得 ......................7分
又∵
, ...................................................................................8分
由正弦定理 ,
则 ............................................................................9分
,
由 为锐角三角形,则 ,得 ..............11分
,即 的取值范围为 ..................12分
21.(1)∵点 在函数 图像上,
∴ ,∴ . .......................................1分
∵ ,由题意 , ∴ .∴ . ......2分
∴ . 当 时, , 时, ,
∴ 在 为增函数, 为减函数. ..................4分
∵ . .........................5分
∴ ,即实数 的取值范围为 ..............6分
(2) 的定义域为 ,
∴ .∴ .......7分
令 ,得 .
增 极大 减 极小 增
而 ,............................9分
∴当 即 函数有3个零点.....10分
当 即 函数有2个零点......11分
当 即 函数有1个零点......12分
22.解:(1)由 ,
得 .且 与 轴交于A(0.0)................................1分
,所以 ,........................................................2分
所以 , .
由 >0,得x>ln 2..............................................................3分
所以函数 在区间(-∞,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+∞)上单调递增................5分
(2)证明:设x>ln 2,所以2ln 2-x
(2ln 2-x)=e(2ln 2-x)-2(2ln 2-x)-1
=4ex+2x-4ln 2-1.
令g(x)= (x)- (2ln 2-x)=ex-4ex-4x+4ln 2(x≥ln 2),
所以g′(x)=ex+4e-x-4≥0,
当且仅当x=ln 2时,等号成立,
所以g(x)= (x)- (2ln 2-x)在(ln 2,+∞)上单调递增....................8分
又g(ln 2)=0,所以当x>ln 2时,g(x)= (x)- (2ln 2-x)>g(ln 2)=0,
即 (x)> (2ln 2-x),不妨设x1
又因为 (x1)= (x2),所以 (x1)> (2ln 2-x2),...............................10分
由于x2>ln 2,所以2ln 2-x2
因为x1
所以x1<2ln 2-x2,
即x1+x2<2ln 2......................................................................................12分
上学期高三数学期中试卷理科
第I卷 选择题(共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. i是虚数单位,复数1-3i1-i=( )
A.2+i B.2-i C.-1+2i D.-1-2i
A.(-∞,-2] B.[-2,+∞) C.(-∞,2] D.[2,+∞)
3. 已知sinπ6-α=cos(π6+α),则cos2α=( )
A.1 B.-1 C. 12 D.0
4. 如图,在平行四边形ABCD中,E为DC边的中点,
且AB→=a,AD→=b,则BE→等于( )
A. 12b-a B. 12a-b
C.-12a+b D. 12b+a
5. 已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且(b-c)(sinB+sinC)=(a-3c)sinA,则角B的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
6. 已知平面向量a,b的夹角为2π3,且a•(a-b)=8,|a|=2,则|b|等于( )
A.3 B.23 C.3 D.4
7. 设p:∀x∈R,x2-4x+m>0;q:函数f(x)=-13x3+2x2-mx-1在R上是减函数,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8. 已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),
则f(-log35)的值为( )
A.4 B.-4 C.6 D.-6
9. 积分 =( )
A.2 B. -2 C. 4 D. 8
10. 函数f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R)ω>0,|φ|<π2的部分图象
如图所示,如果x1,x2∈-π6,π3,且f(x1)=f(x2),
则f(x1+x2)=( )
A.12 B.32 C.22 D.1
11. 已知 ,若 有两个零点,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
12. 已知函数 ,方程 在区间 上有两个不同的实数解 ,则 =( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)
13. 已知 , ,则 =________
14. 已知 ,则 =__________
15. 如图,在边长为2的正方形ABCD上,
E为边AB的中点,M点在边BC上移动,
当 最大时,CM的长度为_____
16.设函数 ,其中 ,若存在唯一的整数 ,使得 ,则 的取值范围是_______________
三、解答题(本大题共6小题,共70分,其中17题10分,其他各题12分)
17. 已知向量 =(cosx,sinx), =(3,-3).
(1)若 ,若已知x∈[0,π],求x的值;
(2)记f(x)= ,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x取值集合.
18. 已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)•(2a+b)=61.
(1)求a与b的夹角θ;若AB→=a,AC→=b,作△ABC,求△ABC的面积;
(2)求|a+b|和|a-b|
19. 在 中, 为锐角,角 所对的边分别为 ,且
(1)求 的值;(2)若 ,求 的值。
20. 已知锐角 中,角 所对边分别为 ,向量 , ,且
(1)求角B的大小;(2)如果 ,求 的周长 的范围。
21. 已知曲线 : ,直线
(1)求曲线 的普通方程和当 时直线 的普通方程;
(2)已知直线 交曲线 于点A,B,如果 恰好为线段 的中点,
求直线 的方程。
22. 已知函数 ,其中 为常数。
(1)当 时,求 的极值;
(2)讨论 的单调区间;
(3)当 时,存在 使得不等式 成立,
求 的取值范围。
高三(理科)数学答案
1. B 2. D 3. D 4. C 5.A 6.D 7. A 8. B 9. A 10. B 11. D 12. C
13. 14. 15. 16.
17. (1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,-3),a∥b,
所以-3cosx=3sinx.
若cosx=0,则sinx=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cosx≠0.
于是tanx=-33.又x∈[0,π],所以x=5π6.
(2)f(x)=a•b=(cosx,sinx)•(3,-3)=3cosx-3sinx=23cosx+π6.
当 时,f(x)最大值为 ;
当 时,f(x)最小值为 。
18. 解:(1)由(2a-3b)•(2a+b)=61,
得4|a|2-4a•b-3|b|2=61.
∵|a|=4,|b|=3,代入上式求得a•b=-6.
∴cosθ=a•b|a|•|b|=-64×3=-12.又θ∈[0°,180°],∴θ=120°.
∠BAC=θ=120°,
|AB→|=|a|=4,|AC→|=|b|=3,
∴S△ABC=12|AC→|•|AB→|•sin∠BAC=12×3×4×sin120°=33.
(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a•b+|b|2=
42+2×(-6)+32=13,
∴|a+b|=13.同理,|a-b|=a2-2a•b+b2=37.
19.(I)∵ 为锐角,
∴
∵
∴
(II)由(I)知 ,∴
由 得
,即
又∵
∴ ∴
∴
20.(1) 得
若 ,得 不满足方程,则
则 ,由于 ,则 ,所以
(2)由正弦定理得: ,则
,
由于 ,得
则 得
则 ,故
所以 周长范围为
21.(1)曲线 ;直线
(2)法1)设点 , ,则:
, 两式相减得:
由于 ,可得: ,故直线 方程为:
法2)参见选修4—4课本 第37页例2
22.(1) ,其中 得:
当 时, ;当 时,
所以 在 递增,在 递减。 的极大值为 ,无极小值。
(2)由已知函数的 的定义域为
当 时, ,则 在 单调递增;
当 时, 令 ,得: ;令 ,得:
则 在 单调递增,在 单调递减。
(3)由(2)可知:当 时, 在 单调递增,在 单调递减
当 时, 取得最大值 ,所以
所以 在 单调递减,在 单调递增;
的最小值为
函数 求导可得:
当 时,得: ;当 时,得:
所以 在 单调递增,在 单调递减
的最大值为
所以要存在 使得不等式 成立
即需: 得:
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