高三年级理科上册数学考试试卷题
理科和文科的数学是不一样的，理科的更加难一点，小编今天下面就给大家整理高三数学，不会的就来看看吧
高三年级数学考试试卷题
参考公式：球的表面积公式 球的体积公式
第Ⅰ卷(选择题满分60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卷的相应区域答题.)
1.设集合 ， ，则 等于
A. B. C. D.
2.已知复数 ，则 的实部为
A. -1 B. 0 C. 1 D. 3
3.函数 ) 的部分图象如图所示，为了得到 的图象，只需将 的图象
A. 向右平移 个单位 B.向右平移 个单位
C.向左平移 个单位 D.向左平移 个单位
4. 直线 轴的交点为 ,点 把圆 的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5. 某校高三(6)班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，则还有一个同学的学号应为
A. 27 B. 26 C. 25 D. 24
6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. B.
C. D.
7. 在 展开式中，含 的项的系数是
A. 36 B. 24 C. -36 D. -24
8. 已知 ，则 的最小值是
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9. 已知实数 满足 ，则 的取值范围是
A. B. C. D.
10.已知双曲线 的左、右焦点分别 ，以线段 为直径的圆与双曲线 在第一象限交于点 ，且 ,则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
11. 定义域为 的函数 满足 ，则不等式 的解为
A. B. C. D.
12.如图，在 中， ， , 为
上一点，且满足 ，若 的
面积为 ，则 的最小值为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题满分90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请在答题卷的相应区域答题.)
13.已知 ，则 .
14.已知 ，则 .
15.执行下图的程序框图，则输出的 .
16.已知三棱锥 均为等边三角形，二面角 的平面角为60°，则三棱锥外接球的表面积是.
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答题卷的相应区域答题.)
17.(本小题满分12分)
已知数列 .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)记 为数列 的前 项和，求数列 的前 项和 .
18.(本小题满分12分)
2015年11月27日至28日，中共中央扶贫开发工作会议在北京召开，为确保到2020年所有贫困地区和贫困人口一道迈入全面小康社会. 黄山市深入学习贯彻习近平总书记关于扶贫开发工作的重要论述及系列指示精神，认真落实省委、省政府一系列决策部署，精准扶贫、精准施策，各项政策措施落到实处，脱贫攻坚各项工作顺利推进，成效明显.贫困户杨老汉就是扶贫政策受益人之一.据了解，为了帮助杨老汉早日脱贫，负责杨老汉家的扶贫队长、扶贫副队长和帮扶责任人经常到他家走访,其中扶贫队长每天到杨老汉家走访的概率为
,扶贫副队长每天到杨老汉家走访的概率为 ,帮扶责任人每天到杨老汉家走访的概率为 .
(Ⅰ)求帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率;
(Ⅱ)设扶贫队长、副队长、帮扶责任人三人某天到杨老汉家走访的人数为X,求X的分布列;
(Ⅲ)杨老汉对三位帮扶人员非常满意，他对别人说:“他家平均每天至少有1人走访”.请问：他说的是真的吗?
19.(本小题满分12分)
如图1，平面四边形 中， , , , ，将三角形 沿 翻折到三角形 的位置，如图2，平面 平面 ， 为 中点.
(Ⅰ)求证： ;
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值.
20.(本小题满分12分)
已知点 在抛物线 上，且 到抛物线焦点的距离为 . 直线 与抛物线交于 两点，且线段 的中点为 .
(Ⅰ)求直线 的方程.
(Ⅱ)点 是直线 上的动点，求 的最小值.
21.(本小题满分12分)
已知函数 .
(Ⅰ)设 是 的极值点，求 的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下， 在定义域内恒成立，求 的取值范围;
(Ⅲ)当 时，证明：
考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4―4：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系 ，以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线
过点 ，且倾斜角为 ，圆 的极坐标方程为 .
(Ⅰ)求圆 的普通方程和直线 的参数方程;
(Ⅱ)设直线 与圆 交于M、N两点，求 的值.
23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数
(Ⅰ)若 的解集;
(Ⅱ)若函数 有三个零点，求实数 的取值范围.
黄山市2019届高中毕业班第一次质量检测
高三数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.C 2.B 3.B 4.A 5. A 6. B 7. D 8. D 9.A 10.A 11.C 12.B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 14. 15. 11 16.
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由 ，得 所以 …………3分
由累乘法得到 ，所以数列 的通项公式为 ………………6分
(Ⅱ) 由等差数列前n项和公式得： 所以
…………………………………………………………9分
数列 的前 项和
……12分
18. (本小题满分12分)
解：(Ⅰ)设帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的事件为A ;
∴帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率为 ……………………………………3分
(Ⅱ)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3. ………………………………4分
;
; ……8分
随机变量X的分布列为.
X 0 1 2 3
P
…………………………………9分
(Ⅲ) 所以
所以杨老汉说的是真的。 …………………………………………………………………12分
19.(本小题满分12分)
证明：(Ⅰ)由题意 为等边三角形，则 ，
在三角形 中， , ，由余弦定理可求得 ，
，即
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
平面 …………………………………………………3分
等边三角形 中， 为 中点，则 ，且
平面 ， …………………………………………………5分
(Ⅱ)以 为坐标原点， 分别为 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ……………………………………………7分
设 是平面 的法向量，则 ，
取 ……………………………………………9分
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . ……………………………12分
20. (本小题满分12分)
解：(Ⅰ)抛物线的准线方程为 ,抛物线方程为 ……2分
设 , …4分
直线 的方程为 即 …………………………………………6分
(Ⅱ) 都在直线 上，则 ，设
…8分
又
当 时， 的最小值为 …………………………………………………12分
21.(本小题满分12分)
解：(Ⅰ)∵ ，x=0是f(x)的极值点，∴ ，解得m=1.
经检验m=1 符合题意 ……………2分
(Ⅱ)由( Ι)可知，函数f(x)=ex-ln(x+1)+1，其定义域为(-1，+∞).
∵ ………………………………………………4分
设g(x)=ex(x+1)-1，则g′(x)=ex(x+1)+ex>0，所以g(x)在(-1，+∞)上为增函数，
又∵g(0)=0，所以当x>0时，g(x)>0，即f′(x)>0;当-1
所以f(x)在(-1，0)上为减函数;在(0，+∞)上为增函数;因此， 的最小值为
∵ 0在定义域内恒成立,即 ……………………………………………………………7分
(Ⅲ)证明：要证 ， .
设 , 即证
当m≤2，x∈(-m，+∞)时， ，故只需证明当m=2时， .
当m=2时，函数 在(-2，+∞)上为增函数，且 .
故 在(-2，+∞)上有唯一实数根 ，且 ∈(-1，0).
当 时， ，当 时， ,
从而当 时， 取得最小值. …………………………………………………10分
由 ，得 ， 故 .
综上，当m≤2时， 即 >m.………………………………………12分
22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
解：(Ⅰ)
(Ⅱ)将直线 的参数方程代入圆 的方程，得：
23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
解：(Ⅰ)
(Ⅱ)
高三数学上学期期末试卷理科生
第Ⅰ卷
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).
1.已知集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
2.已知复数 ( )，其中i为虚数单位，若 为实数，则 的值为( )
A. B. C. D.
3.已知 ，则下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
4.下图是某企业产值在2008年~2017年的年增量(即当年产值比前一年产值增加的量)统计图(单位：万元)，下列说法正确的是( )
A.2009年产值比2008年产值少
B.从2011年到2015年，产值年增量逐年减少
C.产值年增量的增量最大的是2017年
D.2016年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低
5.等比数列 的前 项和 ，若对任意正整数 等式 成立，则 的值为( )
A.-3 B.1 C.-3或1 D.1或3
6.已知 ABC中， ，延长BD交AC于E，则 ( )
A. B. C. D.
7.函数 的图象大致为( )
A. B.
C. D.
8.已知 是某球面上不共面的四点，且 ，则此球的体积为( )
A. B. C. D.
9.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，实轴长为2，渐近线方程为 ， ，点N在圆 上，则 的最小值为
A. B.2 C. D.3
10.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正 边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出 的值分别为( )
(参考数据： )
A. B.
C. D.
11.已知点P(-1，0)，设不垂直于x轴的直线l与抛物线
y 2=2x交于不同的两点A、B，若x轴是∠APB的角平分线，
则直线l一定过点( )
A.(，0) B.(1，0) C.(2，0) D.(-2，0)
12.设函数 ，其中 ，若仅存
在两个正整数 使得 ，则 的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
第II卷(非选择题)
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分).
13.若 的展开式中常数项为-12，则a=____.
14.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为____.
15.设数列 的前n项和为 ,若 且 (n≥2)则 的通项公式 _______.
16.如右图，正方体 中， 是 的中点， 是侧面 上的动点，且 //平面 ，则 与平面 所成角的正切值的最大值是_________.
三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求 的值;
(2)若 ，点 在线段 上， ， ,求 的面积.
18.如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB 平面BEC，BE EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点.
(1)求证： 平面 ;
(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.
19.为了改善市民的生活环境，信阳市决定对信阳市的1万家中小型化工企业进行污染情况摸排，并出台相应的整治措施.通过对这些企业的排污口水质，周边空气质量等的检验，把污染情况综合折算成标准分100分，发现信阳市的这些化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N(50，162)，分值越低，说明污染越严重;如果分值在[50，60]内，可以认为该企业治污水平基本达标.
(1)如图信阳市的某工业区所有被调查的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图，请计算这个工业区被调查的化工企业的污染情况标准分的平均值，并判断该工业区的化工企业的治污平均值水平是否基本达标;
(2)大量调査表明，如果污染企业继续生产，那么标准分低于18分的化工企业每月对周边造成的直接损失约为10万元，标准分在[18，34)内的化工企业每月对周边造成的直接损失约为4万元.长沙市决定关停80%的标准分低于18分的化工企业和60%的标准分在[18，34)内的化工企业，每月可减少的直接损失约有多少?
(附：若随机变量 ，则 ， ， )
20.已知椭圆 过点 ，且其中一个焦点的坐标为 .
(1)求椭圆 的方程;
(2)过椭圆 右焦点 的直线与椭圆交于两点 ，在 轴上是否存在点 ，使得 为定值?若存在，求出点 的坐标;若不存在，请说明理由.
21.设 是 在点 处的切线.
(1)求证： ;
(2)设 ，其中 .若 对 恒成立，求 的取值范围.
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，已知直线的参数方程为 (为参数)，点 的直角坐标为 .
(1)求直线和曲线 的普通方程;
(2)设直线和曲线 交于 两点，求 .
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数 .
(1)若不等式 恒成立，求实数 的最大值;
(2)当 ，函数 有零点，求实数 的取值范围.
参考答案
1.B 2.B 3.A 4.D
对 ，2009年产值比2008年产值多 万元，故 错误;
对 ，从2011年到2015年，产值年增量逐年增加，故 错误;
对 ，产值年增量的增量最大的不是2017年，故 错误;
对 ，因为增长率等于增长量除以上一年产值,由于上一年产值不确定，所以2016年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低， 对，故选D.
5.C设等比数列 的公比为 ，因为 ，所以 ，两式相减，有 ，而 ，所以 ，当 时，令 得 ，解得 ;当 时，令 得 ，解得 ，所以 或 ，
6.D取特殊三角形，令 ，则有 ，直线BD的方程为 ，化简得 ，令 ，解得 ，所以 ， ，故选D.
7.D因为 ，所以 为奇函数，不选A,C，
又因为 ，所以选D.
8.A因为 所以
因为 ，所以 为边长为1得正方体四个顶点，外接球半径为 ，
因此球的体积为 ，选A.
9.C因为 ，所以点M在双曲线C右支上，因为渐近线方程为 ，所以 圆 ，即 ，设圆心为 ,
则有 ，选C.
10.C在半径为 的圆内作出正 边形，分成 个小的等腰三角形，
每一个等腰三角形两腰是 ，顶角是 ，所以正 边形面积是 ，
当 时， ;当 时， ;
当 时， ;符合 ，输出 ，故选C.
11.B根据题意，直线的斜率不等于零，并且直线过的定点应该在x轴上，
设直线的方程为 ，与抛物线方程联立，消元得 ，
设 ，因为x轴是∠APB的角平分线，所以AP、BP的斜率互为相反数，所以 ，结合根与系数之间的关系，整理得出 ，
即 ， ，解得 ，所以过定点 ，
12.A令 因为仅存在两个正整数 使得 ，即仅有两个整数使得 ，令 ，解得 且当 ， ;当 ， 所以 且 ， 所以当 时， ，另一个满足条件的整数为2所以 ，代入解得 综上， 的取值范围为
13.-1因为 的展开式中常数项为 ，
14. 从图中可以发现，对应的圆锥的高是2，底面圆的半径是 ，
故剩余部分的底面的面积为 ，
所以该几何体的体积为 ，故答案是 .
15.
时，由 可得 化为 是公差为 ，首项为的等差数列， ， 时， ，又因为 ，故答案为 .
16. 设 分别为 边上的中点,则 四点共面，且平面 平面 ，又 面 ， 落在线段 上， 是 与平面 所成的角，
，设 的中点为,则当 与重合时 最小，此时 与平面 所成角的正切值有最大值为 ，故答案为 .
17.(1)因为 ，由正弦定理得：
即 ,
在 中， ，所以
，两边平方得：
由 ， ， 得
解得：
所以 的面积
18. 解法一：(Ⅰ)如图，取 的中点 ，连接 ， ，又G是BE的中点， ，
又F是CD中点， ，由四边形ABCD是矩形得， ，所以 .从而四边形 是平行四边形，所以 ，,又 ，所以 .
(Ⅱ)如图，在平面BEC内，过点B作 ,因为 .
又因为AB 平面BEC，所以AB BE，AB BQ
以B为原点，分别以 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1).因为AB 平面BEC，所以 为平面BEC的法向量，
设 为平面AEF的法向量.又
由 取 得 .
从而
所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为 .
解法二：(Ⅰ)如图，取 中点 ，连接 ， ，又 是 的中点，可知 ，
又 面 ， 面 ，所以 平面 .
在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得 .
又 面 ， 面 ，所以 面 .
又因为 ， 面 ， 面 ，
所以面 平面 ，因为 面 ，所以 平面 .
19. (Ⅰ)该工业区被调查的化工企业的污染情况标准分的平均值：
，
故该工业区的化工企业的治污平均值水平基本达标;
(Ⅱ)化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N(50，162)
标准分在[18，34)内的概率，
∴60%的标准分在[18，34)内的化工企业，每月可减少的直接损失为:
万元，
标准分低于18分的概率， ，
∴ 万元
故信阳市决定关停80%的标准分低于18分的化工企业和60%的标准分在[18，34)内的化工企业，每月可减少的直接损失约有
20. (1)由已知得 ，∴ ，则 的方程为 ;
(2)假设存在点 ,使得 为定值，
当直线的斜率不为 时，可设直线的方程为 ，
联立 , 得
设 ，则 ，
要使上式为定值, 即与 无关，应有
解得 ，此时
当直线的斜率为 时，不妨设 ，当 的坐标为 时
综上，存在点 使得 为定值.
21. (1)设 ，则 ，所以 .所以 .
令 . 满足 ，且 .
当 时， ，故 单调递减;
当 时， ，故 单调递增.
所以， .所以 .
(2)法一： 的定义域是 ，且 .
① 当 时，由(1)得 ，
所以 .
所以 在区间 上单调递增， 所以 恒成立，符合题意.
② 当 时，由 ，且 的导数 ，
所以 在区间 上单调递增. 因为 ，
于是存在 ，使得 .
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 ，此时 不会恒成立，不符合题意.
综上， 的取值范围是 .
法二：∵
∴
当
当
令 =
令 ,
故 ,故 ，
综上 .
22. (1)∵ρsin2α﹣2cosα=0，∴ρ2sin2α=4ρcosα，
∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x.
由 消去，得 .∴直线l的直角坐标方程为 .
(2)点M(1，0)在直线l上，
设直线l的参数方程 (t为参数)，A，B对应的参数为t1，t2.
将l的参数方程代入y2=4x，得 .
于是 ， .
∴ .
23. (Ⅰ) .
∵ ，
∴ 恒成立当且仅当 ，
∴ ，即实数 的最大值为1.
(Ⅱ)当 时，
∴ ，
∴ 或
∴ ，∴实数 的取值范围是 .
高三数学上学期期末试题参考
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数 的虚部是
A. B.2 C. D.
2.已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
3.已知命题 若 ，则 ;命题 、 是直线， 为平面，若 // , ，则 // .下列命题为真命题的是
A. B. C. D.
4.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 (单位：亿元)的折线图.
则下列结论中表述不正确的是
A.从2000年至2016年，该地区环境基础
设施投资额逐年增加;
B.2011年该地区环境基础设施的投资额比
2000年至2004年的投资总额还多;
C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ;
D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为 )建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型 ，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.
5. 函数 的图象大致为
6. 若 满足约束条件 ，则 的最小值为
A. 1 B.2 C.-2 D.-1
7.若 ， ， ，则 的大小关系为
A. B.
C. D.
8.若点 在抛物线 上，记抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线的另一交点为B，则
A. B. C. D.
9.某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，
则该几何体侧面积的最大值为
A. B. C. D.
10.已知在区间 上，函数 与函数 的图象交于点P，设点P在x轴上的射影为 ， 的横坐标为 ，则 的值为
A. B. C. D.
11.已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ，坐标原点O关于点 的对称点为P，点P到双曲线的渐近线距离为 ，过 的直线与双曲线C右支相交于M、N两点，若 ， 的周长为10，则双曲线C的离心率为
A. B.2 C. D.3
12. 如图，在三棱柱 中， 底面 ，∠ACB=90°，
为 上的动点，则 的最小值为
A. B. C.5 D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 的展开式中 的系数为_______;
14.若向量 、 不共线，且 ，则 _______;
15. 已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是 ;
16. 已知 ，则 .
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答.
(一)必考题：共60分
17.(12分)
已知数列 的前n项和为 ，且满足 ， .
(1)求数列 的通项公式;
(2)若等差数列 的前n项和为 ，且 ， ，求数列 的前 项和 .
18.(12分)
如图，在三棱锥P-ABC中，正三角形PAC所在平面与等腰三角形
ABC所在平面互相垂直，AB=BC，O是AC中点，OH⊥PC于H.
(1)证明：PC⊥平面BOH;
(2)若 ，求二面角A-BH-O的余弦值.
19.(12分)
某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试;方式二：周六一天培训4小时，周日测试.公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训，甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第一、二周达标的员工评为优秀.
第一周 第二周 第三周 第四周
甲组 20 25 10 5
乙组 8 16 20 16
(1)在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率;
(2)每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率.
(i)设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为 、 ，求 、 的分布列，若选平均受训时间少的，则公司应选哪种培训方式?
(ii)按(i)中所选方式从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率.
20.(12分)
已知椭圆 : 的上顶点为A,以A为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y轴的交点分别为 、 .
(1)求椭圆 的方程;
(2)设不经过点A的直线 与椭圆 交于P、Q两点，且 ,试探究直线 是否过定点?若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由.
21.(12分)
已知函数 ( ， ).
(1)讨论函数 的单调性;
(2)当 时， ，求k的取值范围.
(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)
已知曲线C的参数方程为 (t为参数)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线 、 相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点(不同于点O)，且 的倾斜角为锐角 .
(1)求曲线C和射线 的极坐标方程;
(2)求△OAB的面积的最小值，并求此时 的值.
23. [选修4 5：不等式选讲] (10分)
已知函数 ，
(1)当a=2时，求不等式 的解集;
(2)当 时不等式 恒成立，求 的取值范围.
(理科)参考答案
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数.
一、选择题
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C B D A D A D C B B C
解析：8.依题意易得 ， ，由抛物线的定义得 ，联立直线AF的方程与抛物线的方程消去y得 ，得 , 则 ,故 .
9. 由三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r，母线的长为 ，则 ，又S侧= (当且仅当 时“=”成立)
10. 依题意得
.
11. 依题意得点P ， ，由双曲线的定义得 周长为 ，由此得 ， ，故 .
12. 由题设知△ 为等腰直角三角形，又 平面 ，
故∠ =90°，将二面角 沿 展开成平面图形，
得四边形 如图示，由此， 要取得最小值，当且
仅当 三点共线，由题设知∠ ,
由余弦定理得 .
二、填空题
题序 13 14 15 16
答案 224 3
解析：
15. 因函数 为增函数，且为奇函数， ， ，
解得 .【学生填 或 或 都给满分】
16. 依题意可得 ,其最小正周期 ,且 故
三、解答题
17.解：(1)当 时， ，----------------------------------------------------------------------------1分
由 得 ( )，
两式相减得 ，又 ，
∴ ( )， ------------------------------------------------------------------------------3分
又 ，∴ ( )， --------------------------------------------------------4分
显然 ， ，即数列 是首项为3、公比为3的等比数列，
∴ ; --------------------------------------------------------------------------------6分
(2)设数列 的公差为d，则有 ，由 得 ，解得 ，--------8分∴ ， --------------------------------------------------------------------9分
又 --------------------------------------------10分
∴
.--------------------------------------------------------------------12分
18.解：(1)∵AB=BC，O是AC中点，
∴ BO⊥AC，---------------------------------------------1分
又平面PAC⊥平面ABC，
且 平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
∴ BO⊥平面PAC，-------------------------------------3分
∴ BO⊥PC，又OH⊥PC，BO∩OH=O，
∴ PC⊥平面BOH;------------------------------------5分
(2)易知PO⊥AC，又BO⊥平面PAC，
如图，以O为原点，OB所在的直线为x轴，建立空间直角
坐标系O - xyz，由 易知 ，OC=2，
， ，
∴ ， ， ， ，
， ， ， -----------------------------------7分
设平面ABH的法向量为 ，
则 ， ∴ ，取x=2，得 ，----------------------9分
由(1)知 是平面BHO的法向量，易知 ，------10分
设二面角A-BH-O的大小为 ，显然 为锐角，
则 ，
∴ 二面角A-BH-O的余弦值为 .------------------------------------------------------------12分
【其它解法请参照给分】
19.解：(1)甲组60人中有45人优秀，任选两人，
恰有一人优秀的概率为 ;--------------------------------------------3分
(2)(i) 的分布列为
5 10 15 20
P
，----------------------------------------------6分
的分布列为
4 8 12 26
P
，
∵ ，∴公司应选培训方式一;----------------------------------------------------9分
(ii)按培训方式一，从公司任选一人，其优秀的概率为 ，
则从公司任选两人，恰有一人优秀的概率为 .-------------------------12分
20. 解：(1)依题意知点A的坐标为 ，则以点A圆心，以 为半径的圆的方程为:
，------------------------------------------------------------------------------------1分
令 得 ，由圆A与y轴的交点分别为 、
可得 ，解得 ，-------------------------------------------------------3分
故所求椭圆 的方程为 .----------------------------------------------------------------4分
(2)解法1：由 得 ，可知PA的斜率存在且不为0，
设直线 ---------------① 则 -------------②----------------------6分
将①代入椭圆方程并整理得 ，可得 ，
则 ，-------------------------------------------------------------------------------------------------8分
类似地可得 ，----------------------------------------------------------9分
由直线方程的两点式可得：直线 的方程为 ，------------------------------11分
即直线 过定点，该定点的坐标为 .---------------------------------------------------------12分
【解法2：若直线l垂直于x轴，则AP不垂直于AQ，不合题意，
可知l的斜率存在，又l不过点(0,1)，设l的方程为 ，
又设点 ，则 ,
由 得 ，
由 ，消去y得 ，----------------------------6分
，当 即 时，
-------① ---------②-----------------------------------------7分
又 ， ，--------------------------8分
于是有 ，-----------③---------------------9分
将①②代入③得
整理得： ,--------------------------------------------------------------------------------------11分
满足 ，这时直线 的方程为 ，直线 过定点 .------------------12分】
(21)解：(1) .--------------------------1分
①若 ，当 时， ， 在 上单调递增;
当 时， ， 在 上单调递减.----------------------3分
②若 ，当 时， ， 在 上单调递减;
当 时， ， 在 上单调递增.
∴当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减;
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.-------------------5分
(2) ( )，
当 时，上不等式成立，满足题设条件;-----------------------------------------------------6分
当 时， ，等价于 ，
设 ，则 ，
设 ( )，则 ，
∴ 在 上单调递减，得 .-------------------------------------9分
①当 ，即 时，得 ， ，
∴ 在 上单调递减，得 ，满足题设条件;--------------------10分
②当 ，即 时， ，而 ，
∴ ， ，又 单调递减，
∴当 ， ，得 ，
∴ 在 上单调递增，得 ，不满足题设条件;
综上所述， 或 .--------------------------------------------------------------------------12分
22. 解：(1)由曲线C的参数方程，得普通方程为 ，
由 ， ，得 ，
所以曲线C的极坐标方程为 ，[或 ] ---------------------------3分
的极坐标方程为 ; --------------------------------------------------------------------5分
(2)依题意设 ，则由(1)可得 ，
同理得 ，即 ，-------------------------------------------------7分
∴
∵ ∴ ，∴ ， -----------------9分
△OAB的面积的最小值为16，此时 ，
得 ，∴ . --------------------------------------------------------------------------10分
23.解：(1)①当 时， ，
解得 ，---------------------------------------------------------------------------------------------1分
②当 时， ，
解得 ，----------------------------------------------------------------------------------------2分
③当 时，
解得 ，----------------------------------------------------------------------------------------------3分
综上知，不等式 的解集为 .-----------------------------------5分
(2)解法1：当 时， ，---------------6分
设 ，则 ， 恒成立，
只需 ， -------------------------------------------------------------------------------------8分
即 ，解得 ----------------------------------------------------------------------10分
【解法2：当 时， ，------------------------------------------------6分
，即 ，即 ----------------------------------7分
①当 时，上式恒成立， ;-----------------------------------------------------------8分
②当 时，得 恒成立，
只需 ，
综上知， . --------------------------------------------------------------------------------10分】
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