太原市2016-2017学年高二期末文理科数学试卷
高二的期末考试是高二期间最重要的考试，下面学习啦的小编将为大家带来高二期末数学试卷的分析，希望能够帮助到大家。
太原市2016-2017学年高二期末理科数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.命题“若x2，则x1”的逆否命题是( )
A.若x2，则x1 B.若x2，则x1 C.若x1，则x2 D.若x1，则x2
2.抛物线y2=8x的准线方程是( )
A.x=2 B.y=2 C.x=﹣2 D.y=﹣2
3.已知空间向量=(0，1，1)，=(﹣1，0，1)，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.焦点在x轴上，且渐近线方程为y=2x的双曲线的方程是( )
A.x2﹣=1 B.=1 C.=1 D.y2﹣=1
5.已知两条直线a，b和平面α，若bα，则ab是aα的( )
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
6.已知椭圆C经过点(1，0)，(0，2)，则椭圆C的标准方程为( )
A.x2=1 B.y2=1 C.x2=1 D.y2=1
7.已知椭圆=1(0b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与椭圆相交于不同的两点A，B，那么ABF1的周长( )
A.是定值4
B.是定值8
C.不是定值，与直线l的倾斜角大小有关
D.不是定值，与b取值大小有关
8.如图，在四面体ABCD中，=，点M在AB上，且AM=AB，点N是CD的中点，则=( )
A. B. C. D.
9.对于双曲线C1：=1和C2：=1，给出下列四个结论：
(1)离心率相等;(2)渐近线相同;(3)没有公共点;(4)焦距相等，其中正确的结论是( )
A.(1)(2)(4) B.(1)(3)(4) C.(2)(3)(4) D.(2)(4)
10.已知=(1，2，3)，=(2，1，2)，=(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为( )
A. B. C. D.
11.与圆x2y2=1及圆x2y2﹣8x12=0都外切的圆的圆心在( )
A.一个椭圆上 B.双曲线的一支上
C.一条抛物线上 D.一个圆上
12.已知p：“x∈[1，2，x2﹣a0”，q：“x∈R”，使得x22ax+2﹣a=0，那么命题“pq”为真命题的充要条件是( )
A.a﹣2或a=1 B.a﹣2或1a≤2 C.a1 D.﹣2a≤1
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13.(4分)双曲线x2﹣y2=1的离心率为 .
14.(4分)命题“若x|≠3，则x3”的真假为 .(填“真”或“假”)
15.(4分)椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1|=4，F1PF2的大小为 .
16.(4分)如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影O为AC的中点，A1O=2，ABBC，AB=BC=点P在线段A1B上，且cosPAO=，则直线AP与平面A1AC所成角的正弦值为 .
三、解答题：本大题共7小题，共48分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.(8分)已知命题p：x∈R，x|+x≥0;q：关于x的方程x2mx+1=0有实数根.
(1)写出命题p的否定，并判断命题p的否定的真假;
(2)若命题“pq”为假命题，求实数m的取值范围.
18.(10分)已知空间四点A(2，0，0)，B(0，2，1)，C(1，1，1)，D(﹣1，m，n).
(1)若ABCD，求实数m，n的值;
(2)若mn=1，且直线AB和CD所成角的余弦值为，求实数m的值.
19.(10分)已知抛物线y2=2px(p0)上一点M(1，y)到焦点F的距离为.
(1)求p的值;
(2)若圆(x﹣a)2y2=1与抛物线C有四个不同的公共点，求实数a的取值范围.
20.(10分)如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC平面ABC，ACB=45°，BC=2，AB=2.
(1)求AC的长;
(2)若PC=，点M在侧棱PB上，且，当λ为何值时，二面角B﹣AC﹣M的大小为30°.
21.如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC平面ABC，PAC=30°，ACB=45°，BC=2，PAAB.
(1)求PC的长;
(2)若点M在侧棱PB上，且，当λ为何值时，二面角B﹣AC﹣M的大小为30°.
22.(10分)已知椭圆E：=1(ab>0)的离心率为，右焦点为F，椭圆与y轴的正半轴交于点B，且BF|=.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若斜率为1的直线l经过点(1，0)，与椭圆E相交于不同的两点M，N，在椭圆E上是否存在点P，使得PMN的面积为，请说明理由.
23.已知椭圆E：=1(ab>0)的离心率为，过焦点垂直与x轴的直线被椭圆E截得的线段长为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)斜率为k的直线l经过原点，与椭圆E相交于不同的两点M，N，判断并说明在椭圆E上是否存在点P，使得PMN的面积为.
2016-2017学年山西省太原市高二(上)期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.命题“若x2，则x1”的逆否命题是( )
A.若x2，则x1 B.若x2，则x1 C.若x1，则x2 D.若x1，则x2
【分析】根据逆否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案.
【解答】解：命题“若x2，则x1”的逆否命题是“若x1，则x2”，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题.
2.(2017•和平区模拟)抛物线y2=8x的准线方程是( )
A.x=2 B.y=2 C.x=﹣2 D.y=﹣2
【分析】利用抛物线的准线方程求解即可.
【解答】解：抛物线y2=8x的准线方程是x=﹣=﹣2，
故选：C
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查.
3.已知空间向量=(0，1，1)，=(﹣1，0，1)，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
【分析】由已知中向量，，求出两个向量的模和数量积，代入夹角余弦公式，可得答案.
【解答】解：空间向量=(0，1，1)，=(﹣1，0，1)，
与的夹角θ满足，
cosθ===，
θ=，
故选：A
【点评】本题考查的知识点是向量的数量积运算，向量的夹角，向量的模，难度中档.
4.焦点在x轴上，且渐近线方程为y=2x的双曲线的方程是( )
A.x2﹣=1 B.=1 C.=1 D.y2﹣=1
【分析】利用焦点在x轴上，且渐近线方程为y=2x的双曲线的方程，结合选项，即可得出结论.
【解答】解：由题意，焦点在x轴上，且渐近线方程为y=2x的双曲线的方程是x2﹣=1，
故选A.
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，比较基础.
5.(2013•泉州二模)已知两条直线a，b和平面α，若bα，则ab是aα的( )
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【分析】我们先判断ab⇒a∥α与aα⇒a∥b的真假，然后利用充要条件的定义，我们易得到ab是aα的关系.
【解答】解：当bα是
若ab时，a与α的关系可能是aα，也可能是aα，即aα不一定成立，故ab⇒a∥α为假命题;
若aα时，a与b的关系可能是ab，也可能是a与b异面，即ab不一定成立，故aα⇒a∥b也为假命题;
故ab是aα的既不充分又不必要条件
故选D
【点评】本题考查的知识点是充要条件，直线与平面平行关系的判断，先判断ab⇒a∥α与aα⇒a∥b的真假，然后利用充要条件的定义得到结论是证明充要条件的常规方法，要求大家熟练掌握.
6.已知椭圆C经过点(1，0)，(0，2)，则椭圆C的标准方程为( )
A.x2=1 B.y2=1 C.x2=1 D.y2=1
【分析】椭圆C经过点(1，0)，(0，2)，则椭圆C的焦点在y轴上，设标准方程为=1(ab>0).即可得出.
【解答】解：椭圆C经过点(1，0)，(0，2)，
则椭圆C的焦点在y轴上，设标准方程为=1(ab>0).
则a=2，b=1.
椭圆C的标准方程为=1.
故选：C.
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
7.已知椭圆=1(0b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与椭圆相交于不同的两点A，B，那么ABF1的周长( )
A.是定值4
B.是定值8
C.不是定值，与直线l的倾斜角大小有关
D.不是定值，与b取值大小有关
【分析】由题意画出图形，可得ABF1的周长为4a，则答案可求.
【解答】解：如图，
椭圆=1(0b<2)，
椭圆的长轴长为2a=4，
ABF1的周长=4a=8.
故选：B.
【点评】本题考查椭圆的定义，考查数形结合的解题思想方法，是基础题.
8.如图，在四面体ABCD中，=，点M在AB上，且AM=AB，点N是CD的中点，则=( )
A. B. C. D.
【分析】由已知可得==++，进而得到答案.
【解答】解：点M在AB上，且AM=AB，点N是CD的中点，
=，=，
=+=++，
又=，
=，
故选：B.
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，向量的线性运算，难度中档.
9.对于双曲线C1：=1和C2：=1，给出下列四个结论：
(1)离心率相等;(2)渐近线相同;(3)没有公共点;(4)焦距相等，其中正确的结论是( )
A.(1)(2)(4) B.(1)(3)(4) C.(2)(3)(4) D.(2)(4)
【分析】利用方程，分别计算离心率、渐近线、焦距，即可得出结论.
【解答】解：由题意，双曲线C1：=1，C2：=1，
(1)离心率分别为，;(2)渐近线相同，为y=x;(3)没有公共点;(4)焦距相等，为10，
故选C.
【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础.
10.已知=(1，2，3)，=(2，1，2)，=(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为( )
A. B. C. D.
【分析】可先设Q(x，y，z)，由点Q在直线OP上可得Q(λ，λ，2λ)，则由向量的数量积的坐标表示可得=2(3λ2﹣8λ5)，根据二次函数的性质可求，取得最小值时的λ，进而可求Q
【解答】解：设Q(x，y，z)
由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得，则有Q(λ，λ，2λ)
，
当=(1﹣λ)(2﹣λ)(2﹣λ)(1﹣λ)(3﹣2λ)(2﹣2λ)=2(3λ2﹣8λ5)
根据二次函数的性质可得当时，取得最小值此时Q
故选：C
【点评】本题主要考查了平面向量的共线定理的应用，解题的关键是由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得，进而有Q(λ，λ，2λ)，然后转化为关于λ的二次函数，根据二次函数知识求解最值，体现了转化思想在解题中的应用.
11.与圆x2y2=1及圆x2y2﹣8x12=0都外切的圆的圆心在( )
A.一个椭圆上 B.双曲线的一支上
C.一条抛物线上 D.一个圆上
【分析】设动圆P的半径为r，然后根据动圆与圆x2y2=1及圆x2y2﹣8x12=0都外切得PF|=2+r、PO|=1+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，问题解决.
【解答】解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2y2=1的圆心为O(0，0)，半径为1;圆x2y2﹣8x12=0的圆心为F(4，0)，半径为2.
依题意得PF|=2+r，PO|=1+r，则PF|﹣PO|=(2r)﹣(1r)=1FO|，所以点P的轨迹是双曲线的一支.
故选B.
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，考查双曲线的定义，属于基础题.
12.已知p：“x∈[1，2，x2﹣a0”，q：“x∈R”，使得x22ax+2﹣a=0，那么命题“pq”为真命题的充要条件是( )
A.a﹣2或a=1 B.a﹣2或1a≤2 C.a1 D.﹣2a≤1
【分析】p：“x∈[1，2，x2﹣a0”，可得a(x2)min.q：“x∈R”，使得x22ax+2﹣a=0，则0，解得a，即可得出命题“pq”为真命题的充要条件.
【解答】解：p：“x∈[1，2，x2﹣a0”，a≤(x2)min，a≤1.
q：“x∈R”，使得x22ax+2﹣a=0，则=4a2﹣4(2﹣a)0，解得a1，或a﹣2.
那么命题“pq”为真命题的充要条件是，解得a=1或a﹣2.
故选：A.
【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的判定、函数的性质、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13.(4分)双曲线x2﹣y2=1的离心率为 .
【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得a=1，b=1，结合双曲线的几何性质可得c的值，进而由离心率计算公式计算可得答案.
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣y2=1，变形可得﹣=1，
则a=1，b=1，
则有c==，
则其离心率e==，
故答案为：.
【点评】本题考查双曲线的几何性质，要从双曲线的标准方程分析得到a、b的值.
14.(4分)命题“若x|≠3，则x3”的真假为 真 .(填“真”或“假”)
【分析】若x|≠3，则x3且x﹣3，x≠3
【解答】解：若x|≠3，则x3且x﹣3，x≠3，
故答案为：真
【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题.
15.(4分)(2014•开封一模)椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1|=4，F1PF2的大小为 120° .
【分析】由PF1|+|PF2|=6，且PF1|=4，易得PF2|，再利用余弦定理，即可求得结论.
【解答】解：PF1|+|PF2|=2a=6，PF1|=4，
PF2|=6﹣PF1|=2.
在F1PF2中，cosF1PF2==﹣，
F1PF2=120°.
故答案为：120°
【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题.
16.(4分)如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影O为AC的中点，A1O=2，ABBC，AB=BC=点P在线段A1B上，且cosPAO=，则直线AP与平面A1AC所成角的正弦值为 .
【分析】取AA1的中点H，连结PO，PH，AN.则PH面AA1C，APO为直角三角形，且cosPAO=，得AP
PAH为直线AP与平面A1AC所成角，sinPAH=.
【解答】解：AB⊥BC，AB=BC=，AC=2，AO=1.
点A1在平面ABC内的射影O为AC的中点，A1O=2，ABBC，
AO，BO，A1O互相垂直，即面ABC，面AA1C，面A1OB互相垂直，
取AA1的中点H，连结PO，PH，AN.则PH面AA1C
APO为直角三角形，且cosPAO=，AP=，
PAH为直线AP与平面A1AC所成角，sinPAH=.
故答案为：
【点评】本题考查了空间角的求解，属于中档题.
三、解答题：本大题共7小题，共48分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.(8分)已知命题p：x∈R，x|+x≥0;q：关于x的方程x2mx+1=0有实数根.
(1)写出命题p的否定，并判断命题p的否定的真假;
(2)若命题“pq”为假命题，求实数m的取值范围.
【分析】(1)命题p的否定：存在x0R，x0|+x0<0.容易判断真假.
(2)命题p：x∈R，x|+x≥0是真命题;命题“pq”为假命题，可得q为假命题.因此关于x的方程x2mx+1=0没有实数根.因此0，解得m范围.
【解答】解：(1)命题p的否定：存在x0R，x0|+x0<0.是一个假命题.
(2)命题p：x∈R，x|+x≥0是真命题;命题“pq”为假命题，q为假命题.
因此关于x的方程x2mx+1=0没有实数根.=m2﹣40，解得﹣2m<2.
实数m的取值范围是(﹣2，2).
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、充要条件的判定、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
18.(10分)已知空间四点A(2，0，0)，B(0，2，1)，C(1，1，1)，D(﹣1，m，n).
(1)若ABCD，求实数m，n的值;
(2)若mn=1，且直线AB和CD所成角的余弦值为，求实数m的值.
【分析】(1)=(﹣2，2，1)，=(﹣2，m﹣1，n﹣1)，利用ABCD，即可求实数m，n的值;
(2)若mn=1，且直线AB和CD所成角的余弦值为，即=，即可求实数m的值.
【解答】解：(1)=(﹣2，2，1)，=(﹣2，m﹣1，n﹣1)，
AB∥CD，
m﹣1=2，n﹣1=1，
m=3，n=2;
(2)由题意，=，mn=1，
m=3.
【点评】本题考查空间角的计算，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.
19.(10分)已知抛物线y2=2px(p0)上一点M(1，y)到焦点F的距离为.
(1)求p的值;
(2)若圆(x﹣a)2y2=1与抛物线C有四个不同的公共点，求实数a的取值范围.
【分析】(1)根据抛物线的性质即可求出;
(2)联立方程组，根据题意可得，解得即可.
【解答】解：(1)抛物线y2=2px(p0)上一点M(1，y)到焦点F的距离为.
则1=，
解得p=，
(2)由(1)以及已知得，
即4x2(1﹣8a)x4a2﹣4=0有两个不相等的实数根，
则，
解得1a<，
则实数a的取值范围为(1，)
【点评】本题考查圆与抛物线的位置关系，考查学生分析转化问题的能力，考查计算能力，正确合理转化是关键.
20.(10分)如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC平面ABC，ACB=45°，BC=2，AB=2.
(1)求AC的长;
(2)若PC=，点M在侧棱PB上，且，当λ为何值时，二面角B﹣AC﹣M的大小为30°.
【分析】(1)由已知条件利用余弦定理，利能求出AC.
(2)以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ACM的一个法向量和平面ABC的一个法向量，利用向量法能求出当λ=1时，二面角B﹣AC﹣M的大小为30°.
【解答】解：：(1)在ABC中，
由余弦定理得AB2=BC2AC2﹣2BCAC×cos∠ACB，
得4=8AC2+﹣4AC，解得AC=2.
(2)PC⊥平面ABC，PAAB，AB⊥AC，
以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，2，)，
点M在侧棱PB上，且=，
M(，，)，
设平面ACM的一个法向量为=(x，y，z)，
则，取z=1，得=(﹣，0，1)，
平面ABC的一个法向量=(0，0，1)，
二面角B﹣AC﹣M的大小为30°，
cos30°===，
解得λ=1或λ=﹣1(舍)，
当λ=1时，二面角B﹣AC﹣M的大小为30°.
【点评】本题考查线段长的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.
21.如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC平面ABC，PAC=30°，ACB=45°，BC=2，PAAB.
(1)求PC的长;
(2)若点M在侧棱PB上，且，当λ为何值时，二面角B﹣AC﹣M的大小为30°.
【分析】(1)以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PC.
(2)求出平面ACM的一个法向量和平面ABC的一个法向量，利用向量法能求出当λ=1时，二面角B﹣AC﹣M的大小为30°.
【解答】解：(1)PC⊥平面ABC，PAAB，AB⊥AC，
以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
PA⊥AB，=0，
()•()==0，
PC⊥平面ABC，•=0，=0，
﹣|•||cos∠ACB+||2=0，
即﹣，
解得AC=2，
在Rt中，PC=ACsin30°=.
(2)B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，2，)，
点M在侧棱PB上，且，
M(，，)，
设平面ACM的一个法向量为=(x，y，z)，
则，取z=1，得=(﹣)，
平面ABC的一个法向量=(0，0，1)，
二面角B﹣AC﹣M的大小为30°，
cos30°==，
解得λ=1或λ=﹣1(舍)，
当λ=1时，二面角B﹣AC﹣M的大小为30°.
【点评】本题考查线段长的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.
22.(10分)已知椭圆E：=1(ab>0)的离心率为，右焦点为F，椭圆与y轴的正半轴交于点B，且BF|=.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若斜率为1的直线l经过点(1，0)，与椭圆E相交于不同的两点M，N，在椭圆E上是否存在点P，使得PMN的面积为，请说明理由.
【分析】(1)由题意求得a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求;
(2)设出P点坐标及直线l的方程，由PMN的面积为求得点P到直线l的距离为1，再设出过点P与直线l平行的直线l1：y=xm.与椭圆方程联立，由判别式等于0求得m值，再结合两平行线间的距离公式求出l与l1之间的距离，与1比较得答案.
【解答】解：(1)由题意，，得c=1，b2=a2﹣c2=1.
则椭圆E的方程为：;
(2)存在.
设点P(x，y)，直线l的方程为y=x﹣1.
由，得M(0，﹣1)，N()，
则MN|=.
则点P到直线l的距离为.
设过点P与直线l平行的直线l1：y=xm.
联立，得3x24mx+2m2﹣2=0.
由=16m2﹣12(2m2﹣2)=0，解得m=.
当m=时，l与l1之间的距离为1;
当m=﹣时，l与l1之间的距离为1.
则在椭圆E上存在点P，使得PMN的面积为.
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，属中档题.
23.已知椭圆E：=1(ab>0)的离心率为，过焦点垂直与x轴的直线被椭圆E截得的线段长为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)斜率为k的直线l经过原点，与椭圆E相交于不同的两点M，N，判断并说明在椭圆E上是否存在点P，使得PMN的面积为.
【分析】(1)由题意求得a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求;
(2)设出P点坐标及直线l的方程，由PMN的面积为求得点P到直线l的距离为1，再设出过点P与直线l平行的直线l1：y=xm.与椭圆方程联立，由判别式等于0求得m值，再结合两平行线间的距离公式求出l与l1之间的距离，与1比较得答案.
【解答】解：(1)由题意，，得c=1，b2=a2﹣c2=1.
则椭圆E的方程为：;
(2)存在.
设点P(x，y)，直线l的方程为y=x﹣1.
由，得M(0，﹣1)，N()，
则MN|=.
则点P到直线l的距离为.
设过点P与直线l平行的直线l1：y=xm.
联立，得3x24mx+2m2﹣2=0.
由=16m2﹣12(2m2﹣2)=0，解得m=.
当m=时，l与l1之间的距离为1;
当m=﹣时，l与l1之间的距离为1.
则在椭圆E上存在点P，使得PMN的面积为.
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，属中档题.
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