高考数学函数的单调性与最值复习试题（带答案）
考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。下面是学习啦小编为大家整理的高考数学函数的单调性与最值复习试题，希望对大家有所帮助!
高考数学函数的单调性与最值复习试题及答案解析
一、选择题
1.(2013•宣城月考)下列四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是( )
A.y=log2x B.y=x
C.y=-12x D.y=1x
D [y=log2x在(0，+∞)上为增函数;
y=x 在(0，+∞)上是增函数;
y=12x在(0，+∞)上是减函数，
y=-12x在(0，+∞)上是增函数;
y=1x在(0，+∞)上是减函数，
故y=1x在(0，1)上是减函数.故选D.]
2.若函数f(x)=4x2-mx+5在[-2，+∞)上递增，在(-∞，-2]上递减，则f(1)=( )
A.-7 B.1
C.17 D.25
D [依题意，知函数图象的对称轴为x=--m8=m8=-2，即 m=-16，从而f(x)=4x2+16x+5，f(1)=4+16+5=25.]
3.(2014•佛山月考)若函数y=ax与y=-bx在(0，+∞)上都是减函数，则y=ax2+bx在(0，+∞)上是( )
A.增函数 B.减函数
C.先增后减 D.先减后增
B [∵y=ax与y=-bx在(0，+∞)上都是减函数，
∴a<0，b<0，
∴y=ax2+bx的对称轴方程x=-b2a<0，
∴y=ax2+bx在(0，+∞)上为减函数.]
4.“函数f(x)在[a，b]上为单调函数”是“函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
A [若函数f(x)在[a，b]上为单调递增(减)函数，则在[a，b]上一定存在最小(大)值f(a)，最大(小)值f(b).所以充分性满足;反之，不一定成立，如二次函数f(x)=x2-2x+3在[0，2]存在最大值和最小值，但该函数在[0，2]不具有单调性，所以必要性不满足，即“函数f(x)在[a，b]上单调”是“函数f(x)在
[a，b]上有最大值和最小值”的充分不必要条件.]
5.设函数f(x)定义在实数集上，f(2-x)=f(x)，且当x≥1时，f(x)=ln x，则有 ( )
A.f(13)<f(2)<f(12)
B.f(12)<f(2)<f(13)
C.f(12)<f(13)<f(2)
D.f(2)<f(12)<f(13)
C [由f(2-x)=f(x)可知f(x)的图象关于直线x=1对称，当x≥1时，f(x)=ln x，可知当x≥1时f(x)为增函数，所以当x<1时f(x)为减函数，因为|12-1|<|13-1|<|2-1|，所以f(12)<f(13)<f(2).故选C.]
6.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)在[a，b]上有( )
A.最小值f(a) B.最大值f(b)
C.最小值f(b) D.最大值fa+b2
C [∵f(x)是定义在R上的函数，且f(x+y)=f(x)+f(y)，
∴f(0)=0，令y=-x，则有f(x)+f(-x)=f(0)=0.
∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是R上的奇函数.
设x1<x2，则x1-x2<0，
∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)>0.
∴f(x)在R上是减函数.
∴f(x)在[a，b]有最小值f(b).]
7.设函数f(x)定义在实数集上，f(2-x)=f(x)，且当x≥1时，f(x)=ln x，则有( )
A.f13<f(2)<f12
B.f12<f(2)<f13
C.f12<f13<f(2)
D.f(2)<f12<f13
C [由f(2-x)=f(x)可知，f(x)的图象关于直线x=1对称，当x≥1时，f(x)=ln x，可知当x≥1时f(x)为增函数，所以当x<1时f(x)为减函数，因为12-1<13-1<|2-1|，所以f12<f13<f(2).]
8.(2014•黄冈模拟)已知函数y=1-x+x+3的最大值为M，最小值为m，则mM的值为( )
A.14 B.12
C.22 D.32
C [显然函数的定义域是[-3，1]且y≥0，故y2=4+2(1-x)(x+3)=4+2-x2-2x+3=4+2-(x+1)2+4，根据根式内的二次函数，可得4≤y2≤8，故2≤y≤22，即m=2，M=22，所以mM=22.]
二、填空题
9.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是________.
解析 y=-(x-3)|x|
=-x2+3x，x>0，x2-3x，x≤0.
作出该函数的图象，
观察图象知递增区间为0，32.
答案 0，32
10.若f(x)=ax+1x+2在区间(-2，+∞)上是增函数，则a的取值范围是________.
解析 设x1>x2>-2，则f(x1)>f(x2)，
而f(x1)-f(x2)=ax1+1x1+2-ax2+1x2+2
=2ax1+x2-2ax2-x1(x1+2)(x2+2)
=(x1-x2)(2a-1)(x1+2)(x2+2)>0，
则2a-1>0.得a>12.
答案 12，+∞
三、解答题
11.已知f(x)=xx-a(x≠a).
(1)若a=-2，试证f(x)在(-∞，-2)内单调递增;
(2)若a>0且f(x)在(1，+∞)内单调递减，求a的取值范围.
解析 (1)证明：设x1<x2<-2，
则f(x1)-f(x2)=x1x1+2-x2x2+2=2(x1-x2)(x1+2)(x2+2).
∵(x1+2)(x2+2)>0，x1-x2<0，
∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(-∞，-2)内单调递增.
(2)设1<x1<x2，则
f(x1)-f(x2)=x1x1-a-x2x2-a=a(x2-x1)(x1-a)(x2-a).
∵a>0，x2-x1>0，
∴要使f(x1)-f(x2)>0，
只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立，
∴a≤1.
综上所述，a的取值范围为(0，1].
12.已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1，若a，b∈[-1，1]，
a+b≠0时，有f(a)+f(b)a+b>0成立.
(1)判断f(x)在[-1，1]上的单调性，并证明;
(2)解不等式：f(x+12)
(3)若f(x)≤m2-2am+1对所有的a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围.
解析 (1)任取x1，x2∈[-1，1]，且x1
则-x2∈[-1，1]，
∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)
=f(x1)+f(-x2)x1+(-x2)•(x1-x2)，
由已知得f(x1)+f(-x2)x1+(-x2)>0，x1-x2<0，
∴f(x1)-f(x2)<0，
即f(x1)
∴f(x)在[-1，1]上单调递增.
(2)∵f(x)在[-1，1]上单调递增，
∴x+12<1x-1，-1≤x+12≤1，-1≤1x-1≤1.
解得-32≤x<-1.
(3)∵f(1)=1，f(x)在[-1，1]上单调递增.
∴在[-1，1]上，f(x)≤1.
问题转化为m2-2am+1≥1，
即m2-2am≥0，对a∈[-1，1]成立.
设g(a)=-2m•a+m2≥0.
①若m=0，则g(a)=0≥0，对a∈[-1，1]恒成立.
②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[-1，1]恒成立，必须g(-1)≥0且g(1)≥0，
∴m≤-2，或m≥2.
∴m的取值范围是m=0或m≥2或m≤-2.
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