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高考数学必修四模块综合检测题(含答案)

文娟分享

  考试是检测学生学习效果的重要手段和方法,考前需要做好各方面的知识储备。下面是学习啦小编为大家整理的高考数学必修四模块综合检测题,请认真复习!

  高考数学必修四模块综合检测题及答案解析

  一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

  1.(2013•江西高考)若sin α2=33,则cos α=(  )

  A.-23          B.-13

  C.13 D.23

  【解析】 cos α=1-2sin2α2=1-2×332=1-23=13.

  【答案】 C

  2.已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线,那么a•b的值为(  )

  A.1 B.2

  C.3 D.4

  【解析】 a+b=(3,k+2),∵a+b与a共线,

  ∴k+2-3k=0,得k=1.

  ∴a•b=(1,1)•(2,2)=4.

  【答案】 D

  3.sin(x+27°)cos(18°-x)+sin(18°-x)cos(x+27°)=(  )

  A.12 B.-12

  C.-22 D.22

  【解析】 原式=sin[(x+27°)+(18°-x)]=sin 45°=22.

  【答案】 D

  4.下列各向量中,与a=(3,2)垂直的是(  )

  A.(3,-2) B.(2,3)

  C.(-4,6) D.(-3,2)

  【解析】 因为(3,2)•(-4,6)=3×(-4)+2×6=0,

  所以选C.

  【答案】 C

  5.若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于(  )

  A.-π4 B.π6

  C.π4 D.3π4

  【解析】 2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3),

  a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3),

  (2a+b)•(a-b)=9,

  |2a+b|=32,|a-b|=3.

  设所求两向量夹角为α,则cos α=932×3=22,

  ∴α=π4.

  【答案】 C

  6.若α是第四象限的角,则π-α是(  )

  A.第一象限的角 B.第二象限的角

  C.第三象限的角 D.第四象限的角

  【解析】 ∵2kπ+3π2<α<2kπ+2π(k∈Z),

  ∴-2kπ-3π2>-α>-2kπ-2π(k∈Z).

  ∴-2kπ-π2>π-α>-2kπ-π(k∈Z).故应选C.

  【答案】 C

  7.在△ABC中,若sin Acos B<0,则此三角形必是(  )

  A.锐角三角形 B.任意三角形

  C.直角三角形 D.钝角三角形

  【解析】 ∵sin Acos B<0,A、B为△ABC内角,

  ∴sin A>0,cos B<0.

  因此π2<B<π,则△ABC为钝角三角形.

  【答案】 D

  8.若实数x满足log2x=3+2cos θ,则|x-2|+|x-33|等于(  )

  A.35-2x B.31

  C.2x-35 D.2x-35或35-2x

  【解析】 ∵-2≤2cos θ≤2,

  ∴1≤3+2cos θ≤5,

  即1≤log2x≤5,

  ∴2≤x≤32

  ∴|x-2|+|x-33|=x-2+33-x=31.

  【答案】 B

  9.已知△ABC和点M满足MA→+MB→+MC→=0.若存在实数m使得AB→+AC→=mAM→成立,则m=(  )

  A.2 B.3

  C.4 D.5

  【解析】 ∵MA→+MB→+MC→=0.

  ∴M为△ABC的重心.

  连接AM并延长交BC于D,则D为BC的中点.

  ∴AM→=23AD→.

  又AD→=12(AB→+AC→),

  ∴AM→=13(AB→+AC→),即AB→+AC→=3AM→,比较得m=3.

  【答案】 B

  10.(2013•山东高考)函数y=xcos x+sin x的图象大致为(  )

  【解析】 当x=π2时,y=1>0,排除C.

  当x=-π2时,y=-1,排除B;或利用y=xcos x+sin x为奇函数,图象关于原点对称,排除B.

  当x=π时,y=-π<0,排除A.故选D.

  【答案】 D

  二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,将答案填在题中的横线上)

  11.若tan α=3,则sin 2αcos2α的值等于________.

  【解析】 sin 2αcos2α=2sin αcos αcos2α=2tan α=2×3=6.

  【答案】 6

  12.(2012•江西高考)设单位向量m=(x,y),b=(2,-1).若m⊥b,则|x+2y|=________.

  【解析】 设单位向量m=(x,y),则x2+y2=1,若m⊥b,则m•b=0,即2x-y=0,解得x2=15,所以|x|=55,|x+2y|=5|x|=5.

  【答案】 5

  13.要得到函数y=3cos(2x-π2)的图像,可以将函数y=3sin(2x-π4)的图像沿x轴向____平移____个单位.

  【解析】 y=3sin(2x-π4)――→向左平移π8y=3sin 2x=3cos(2x-π2).

  【答案】 左 π8

  14.已知向量OA→=(k,12),OB→=(4,5),OC→=(10,k),若A、B、C三点共线,则实数k=________.

  【解析】 AB→=(4-k,-7),BC→=(6,k-5),

  ∵A,B,C三点共线,∴AB→∥BC→,

  ∴(4-k)(k-5)-(-7)×6=0,

  即k=-2或11.

  【答案】 -2或11

  图1

  15.如右图,在平面斜坐标系xOy中,∠xOy=60°,平面上任一点P在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的:若OP→=xe1+ye2(其中e1,e2分别为与x轴,y轴方向相同的单位向量),则P点的斜坐标为(x,y).若P点的斜坐标为(3,-4),则点P到原点O的距离|PO|=________.

  【解析】 由点的斜坐标的定义可知OP→=3e1-4e2,

  ∵OP→2=9e21-24e1•e2+16e22

  =9|e1|2-24|e1||e2|×cos 60°+16|e2|2

  =9-24×12+16=13.

  ∴|OP→|2=13,即|OP→|=13.

  故点P到原点O的距离|PO|=13.

  【答案】 13

  三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

  16.(本小题满分12分)(1)已知|a|=4,|b|=3,且(a+2b)•(a-3b)=0,求a•b;

  (2)已知a与b的夹角为120°,且|a|=4,|b|=2.如果a+kb与5a+b互相垂直,求实数k的值.

  【解】 (1)∵(a+2b)•(a-3b)

  =a2-a•b-6b2

  =|a|2-a•b-6|b|2

  =16-a•b-54=0,

  ∴a•b=-38.

  (2)由题意a•b=|a|•|b|•cos 120°

  =4×2×(-12)=-4.

  ∵(a+kb)⊥(5a+b),

  ∴(a+kb)•(5a+b)=0,

  即5a2+(5k+1)a•b+kb2=0,

  ∴5|a|2+(5k+1)•(-4)+k•|b|2=0.

  ∴5×16-(20k+4)+4k=0,∴k=194.

  17.(本小题满分12分)已知平面直角坐标系内的Rt△ABC,∠A=90°,A(-2,-1),C(2,5),向量BC→上的单位向量a=(513,-1213),P在CB上,且CP→=λCB→.

  (1)求点B坐标;

  (2)当AP分别为三角形的中线、高线时,求λ的值及对应中点、垂足的坐标.

  【解】 (1)设B(x,y),CB→=(x-2,y-5).

  又CB→=λa,

  ∴(x-2,y-5)=λ(513,-1213).故x=2+513λ,y=5-1213λ,

  ∴B(2+513λ,5-1213λ).

  AB→=(4+513λ,6-1213λ),AC→=(4,6).

  由AB→•AC→=(4+513λ,6-1213λ)•(4,6)=0,得λ=13.

  故点B(7,-7).

  (2)若P是BC的中点,则CP→=12CB→,

  ∴λ=12,此时,点P的坐标为(2+72,5-72),即(92,-1).

  若AP是BC边的高,则AP→⊥CB→.

  ∴(AC→+CP→)•CB→=0,

  即AC→•CB→+λCB→•CB→=0.

  又CB→=(5,-12),

  代入上式有(4,6)•(5,-12)+λ(5,-12)•(5,-12)=0.

  解之,得λ=413.

  设此时点P(m,n).

  ∵CP→=λCB→,即CP→=413CB→,

  ∴(m-2,n-5)=413(5,-12).

  ∴m-2=413×5,n-5=413×-12,

  即m=4613,n=1713.

  ∴P(4613,1713).

  图2

  18.(本小题满分12分)如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为π3的扇形,C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积.

  【解】 在直角三角形OBC中,OB=cos α,BC=sin α,

  在直角三角形OAD中,DAOA=tan 60°=3,

  所以OA=33DA=33sin α,

  AB=OB-OA=cos α-33sin α.

  设矩形ABCD的面积为S,则

  S=AB•BC=(cos α-33sin α)sin α

  =sin αcos α-33sin2α

  =12sin 2α-36(1-cos 2α)

  =12sin 2α+36cos 2α-36

  =13(32sin 2α+12cos 2α)-36

  =13sin(2α+π6)-36.

  因为0<α<π3,

  所以当2α+π6=π2,

  即α=π6时,S最大=13-36=36.

  因此,当α=π6时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为36.

  19.(本小题满分13分)(2012•湖南高考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0<φ<π2)的部分图像如图所示.

  图3

  (1)求函数f(x)的解析式;

  (2)求函数g(x)=f(x-π12)-f(x+π12)的单调递增区间.

  【解】 (1)由题设图像知,周期T=2(11π12-5π12)=π,

  所以ω=2πT=2.

  因为点(5π12,0)在函数图像上,所以Asin(2×5π12+φ)=0,

  即sin(5π6+φ)=0.

  又因为0<φ<π2,

  所以5π6<5π6+φ<4π3.

  从而5π6+φ=π,即φ=π6.

  又点(0,1)在函数图像上,所以Asin π6=1,解得A=2.

  故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+π6).

  (2)g(x)=2sin[2(x-π12)+π6]-2sin[2(x+π12)+π6]

  =2sin 2x-2sin(2x+π3)=2sin 2x-2(12sin 2x+32cos 2x)=sin 2x-3cos 2x=2sin(2x-π3).

  由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,得kπ-π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z.

  所以函数g(x)的单调递增区间是[kπ-π12,kπ+5π12],k∈Z.

  20.(本小题满分12分)(2013•湖南高考)已知函数f(x)=cos x•cosx-π3.

  (1)求f2π3的值;

  (2)求使f(x)<14成立的x的取值集合.

  【解】 (1)f2π3=cos2π3•cosπ3

  =-cosπ3•cosπ3

  =-122=-14.

  (2)f(x)=cos xcosx-π3

  =cos x•12cos x+32sin x

  =12cos2 x+32sin xcos x

  =14(1+cos 2x)+34sin 2x

  =12cos2x-π3+14.

  f(x)<14等价于12cos2x-π3+14<14,

  即cos2x-π3<0.

  于是2kπ+π2<2x-π3<2kπ+3π2,k∈Z.解得kπ+5π12<x<kπ+11π12,k∈Z.

  故使f(x)<14成立的x的取值集合为

  {x|kπ+5π12<x<kπ+11π12,k∈Z}.

  21.(本小题满分13分)(2012•北京高考)已知函数f(x)=sin x-cos xsin 2xsin x.

  (1)求f(x)的定义域及最小正周期;

  (2)求f(x)的单调递增区间.

  【解】 (1)由sin x≠0得x≠kx(k∈Z),

  故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}.

  因为f(x)=sin x-cos xsin 2xsin x

  =2cos x(sin x-cos x)

  =sin 2x-cos 2x-1

  =2sin(2x-π4)-1,

  所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.

  (2)函数y=sin x的单调递增区间为[2kπ-π2,2kπ+π2](k∈Z).

  由2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2,x≠kπ(k∈Z),

  得kπ-π8≤x≤kx+3π8,x≠kx(k∈Z).

  所以f(x)的单调递增区间为[kπ-π8,kπ)和(kπ,kπ+3π8](k∈Z).
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