2017高二数学第二次月考卷及参考答案(2)
三、解答题(本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.解：不妨设p为真，要使得不等式恒成立
只需, 又∵当时， ∴………3分
不妨设q为真，要使得不等式有解
只需，即 ……………..6分
∵假，且“”为假命题, 故 q真p假 …………7分
所以 ∴实数a的取值范围为…………10分
18.解：(Ⅰ)众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于 ………2分
设图中虚线所对应的车速为，则中位数的估计值，解得中位数的估计值………………………5分
(Ⅱ)从图中可知，车速在的车辆数为：(辆)，
车速在的车辆数为：(辆)………………………7分
设车速在的车辆设为，车速在的车辆设为，则所有基本
事件有：
共15种 …………………………………10分
其中车速在的车辆恰有一辆的事件有：
共8种
所以，车速的车辆辆………………………12分
19. 解 (1)(a，b)共有(1，-1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，-1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，-1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，15种情况.………函数y=f(x)有零点，Δ=b2-4a≥0，
有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6种情况
所以函数y=f(x)有零点的概率为=……………………………………(2)函数y=f(x)的对称轴为x=，
在区间[1，+∞]上是增函数，则有≤1，即b-2a≤0……………………因此有(1，-1)，(1,1)，(1,2)，(2，-1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，-1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共13种情况满足条件，
所以函数y=f(x)在区间[1，+∞]上是增函数的概率为…………………-=1.
由椭圆+=1，求得两焦点为(-2,0)，(2,0)，
∴对于双曲线C：c=2………………………………………2分
又y=x为双曲线C的一条渐近线，
∴=，解得a2=1，b2=3，
∴双曲线C的方程为x2-=1………………………………5分
(2)解 将y=kx-2代入y2=8x中变形整理得：
k2x2-(4k+8)x+4=0，
由，得k>-1且k≠0…………………………8分
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意得：x1+x2==4⇒k2=k+2⇒k2-k-2=0.
解得：k=2或k=-1(舍去)，………………………………………10分
由弦长公式得：
|AB|=·=×=2……………………………….12分
21.解:(1)由准线方程为可设抛物线C的方程
求得 …………2分
故所求的抛物线C的方程为： ………………4分
(2) 依题意可设过P的直线l方程为：(m)， …………6分
设
由得：
依题意可知，且 ………………8分
原点落在以为直径的圆上。∴
即
解得：即 为常数，∴ 原题得证 ………………12分
(说明：直线l方程也可设为：y=k(x-)，但需加入对斜率不存在情况的讨论，否则扣1分)
22.解 (1)设椭圆C的方程为+=1 (a>b>0).
抛物线方程可化为x2=4y，其焦点为(0,1)，
则椭圆C的一个顶点为(0,1)，即b=1.
由e===.
得a2=5，所以椭圆C的标准方程为+y2=1………………………………4分
(2)易求出椭圆C的右焦点F(2,0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，显然直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=k(x-2)，代入方程+y2=1，
得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0………………………………………6分
∴x1+x2=，x1x2=...............................7分
又=(x1，y1-y0)，=(x2，y2-y0)，=(x1-2，y1)，=(x2-2，y2).
∵=m，=n，
∴m=，n=，………………………………………9分
∴m+n=，
又2x1x2-2(x1+x2)==-，…………………10分
4-2(x1+x2)+x1x2=4-+=，………………………11分
∴m+n=10………………………………………………….12分
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