高二数学上学期期末试卷(文科含解析)
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高二数学上学期期末试卷(文科含解析)
数学试卷(文科)
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )
A.所有不能被2整除的整数都是偶数
B.所有能被2整除的整数都不是偶数
C.存在一个不能被2整除的整数是偶数
D.存在一个能被2整除的整数不是偶数
3.已知椭圆 上的点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一焦点的距离为( )
A.2 B.3 C.5 D.7
4.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A.(￢p)∨(￢q) B.p∨(￢q) C.(￢p)∧(￢q) D.p∨q
5.若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线的斜率为( )
A.±2 B. C. D.
6.曲线 在点M( ，0)处的切线的斜率为( )
A. B. C. D.
7.若椭圆 (a>b>0)的焦点与双曲线 的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线ay=bx2的焦点坐标为( )
A.( ，0) B.( ，0) C.(0， ) D.(0， )
8.设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A.若|z1|=|z2|，则
B.若 ，则
C.若|z1|=|z2|，则
D.若|z1﹣z2|=0，则
9.已知命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )
A.否命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是减函数，则m>1”是真命题
B.逆命题“若m≤1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数”是假命题
C.逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是减函数”是真命题
D.逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不是增函数”是真命题
10.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )
A.充分条件 B.必要条件
C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件
11.设a>0，f(x)=ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为，则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为( )
A. B. C. D.
12.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f(x1)=x1
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设复数 ，那么z• 等于 .
14.f(x)=x3﹣3x2+2在区间上的最大值是 .
15.函数f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4，则f(1)= .
16.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(A在y轴左侧)，则 = .
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知z是复数，z+2i和 均为实数(i为虚数单位).
(Ⅰ)求复数z;
(Ⅱ)求 的模.
18.已知集合A={x|(ax﹣1)(ax+2)≤0}，集合B={x|﹣2≤x≤4}.若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
19.设椭圆的方程为 ，点O为坐标原点，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点M在线段AB上且满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为 .
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设点C为椭圆的下顶点，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.
20.设函数 ，其中a为实数.
(1)已知函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值;
(2)已知不等式f′(x)>x2﹣x﹣a+1对任意a∈(0，+∞)都成立，求实数x的取值范围.
21.已知椭圆C1： 的离心率为 ，且椭圆上点到椭圆C1左焦点距离的最小值为 ﹣1.
(1)求C1的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程.
22.已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)(其中常数a∈R).
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当x∈(0，1)时，f(x)<0，求实数a的取值范围.
高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】先根据mn>0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆;这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn>0，即可得到结论.
【解答】解：当mn>0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，
例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆;或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆;
故前者不是后者的充分条件;
当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn>0;
由上可得：“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件.
故选B.
2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )
A.所有不能被2整除的整数都是偶数
B.所有能被2整除的整数都不是偶数
C.存在一个不能被2整除的整数是偶数
D.存在一个能被2整除的整数不是偶数
【考点】命题的否定.
【分析】根据已知我们可得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应该是一个特称命题，根据全称命题的否定方法，我们易得到结论.
【解答】解：命题“所有能被2整除的数都是偶数”是一个全称命题
其否定一定是一个特称命题，故排除A，B
结合全称命题的否定方法，我们易得
命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应为
“存在一个能被2整除的整数不是偶数”
故选：D
3.已知椭圆 上的点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一焦点的距离为( )
A.2 B.3 C.5 D.7
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由椭圆方程找出a的值，根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，把a的值代入即可求出常数的值得到P到两焦点的距离之和，由P到一个焦点的距离为7，求出P到另一焦点的距离即可.
【解答】解：由椭圆 ，得a=5，
则2a=10，且点P到椭圆一焦点的距离为7，
由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣3=10﹣7=3.
故选B
4.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A.(￢p)∨(￢q) B.p∨(￢q) C.(￢p)∧(￢q) D.p∨q
【考点】四种命题间的逆否关系.
【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示.
【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，
q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，
命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括
“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”
或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”
或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况.
所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(￢p)V(￢q).
故选A.
5.若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线的斜率为( )
A.±2 B. C. D.
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】由双曲线 的离心率为 ，可得 ，解得 即可.
【解答】解：∵双曲线 的离心率为 ，∴ ，解得 .
∴其渐近线的斜率为 .
故选：B.
6.曲线 在点M( ，0)处的切线的斜率为( )
A. B. C. D.
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】先求出导函数，然后根据导数的几何意义求出函数f(x)在x= 处的导数，从而求出切线的斜率.
【解答】解：∵
∴y'=
=
y'|x= = |x= =
故选B.
7.若椭圆 (a>b>0)的焦点与双曲线 的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线ay=bx2的焦点坐标为( )
A.( ，0) B.( ，0) C.(0， ) D.(0， )
【考点】双曲线的简单性质;椭圆的简单性质;抛物线的简单性质.
【分析】根据椭圆 (a>b>0)的焦点与双曲线 的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，得到a，b的关系式;再将抛物线ay=bx2的方程化为标准方程后，根据抛物线的性质，即可得到其焦点坐标.
【解答】解：∵椭圆 (a>b>0)的焦点与双曲线 的焦点恰好是一个正方形的四个顶点
∴2a2﹣2b2=a2+b2，即a2=3b2， = .
抛物线ay=bx2的方程可化为：x2= y，即x2= y，
其焦点坐标为：(0， ).
故选D.
8.设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A.若|z1|=|z2|，则
B.若 ，则
C.若|z1|=|z2|，则
D.若|z1﹣z2|=0，则
【考点】复数代数形式的乘除运算;命题的真假判断与应用.
【分析】利用特例判断A的正误;复数的基本运算判断B的正误;复数的运算法则判断C的正误;利用复数的模的运算法则判断D的正误.
【解答】解：若|z1|=|z2|，例如|1|=|i|，显然 不正确，A错误.
B，C，D满足复数的运算法则，
故选：A.
9.已知命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )
A.否命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是减函数，则m>1”是真命题
B.逆命题“若m≤1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数”是假命题
C.逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是减函数”是真命题
D.逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不是增函数”是真命题
【考点】四种命题间的逆否关系.
【分析】先利用导数知识，确定原命题为真命题，从而逆否命题为真命题，即可得到结论.
【解答】解：∵f(x)=ex﹣mx，∴f′(x)=ex﹣m
∵函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数
∴ex﹣m≥0在(0，+∞)上恒成立
∴m≤ex在(0，+∞)上恒成立
∴m≤1
∴命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数，则m≤1”，是真命题，
∴逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不是增函数”是真命题
∵m≤1时，f′(x)=ex﹣m≥0在(0，+∞)上不恒成立，即函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不一定是增函数，∴逆命题“若m≤1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数”是真命题，即B不正确
故选D.
10.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )
A.充分条件 B.必要条件
C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件.
【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，
根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.
所以“好货”⇒“不便宜”，
所以“不便宜”是“好货”的必要条件，
故选B
11.设a>0，f(x)=ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为，则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为( )
A. B. C. D.
【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系.
【分析】先由导数的几何意义，得到x0的范围，再求出其到对称轴的范围.
【解答】解：∵过P(x0，f(x0))的切线的倾斜角的取值范围是，
∴f′(x0)=2ax0+b∈，
∴P到曲线y=f(x)对称轴x=﹣ 的距离d=x0﹣(﹣ )=x0+
∴x0∈[ ， ].∴d=x0+ ∈.
故选：B.
12.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f(x1)=x1
A.3 B.4 C.5 D.6
【考点】利用导数研究函数的极值;根的存在性及根的个数判断.
【分析】由函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′(x)=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b>0.而方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的△1=△>0，可知此方程有两解且f(x)=x1或x2.再分别讨论利用平移变换即可解出方程f(x)=x1或f(x)=x2解得个数.
【解答】解：∵函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，
∴f′(x)=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，
∴△=4a2﹣12b>0.解得 = .
∵x1
∴ ， .
而方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的△1=△>0，
∴此方程有两解且f(x)=x1或x2.
不妨取0
①把y=f(x)向下平移x1个单位即可得到y=f(x)﹣x1的图象，
∵f(x1)=x1，可知方程f(x)=x1有两解.
②把y=f(x)向下平移x2个单位即可得到y=f(x)﹣x2的图象，∵f(x1)=x1，∴f(x1)﹣x2<0，可知方程f(x)=x2只有一解.
综上①②可知：方程f(x)=x1或f(x)=x2.只有3个实数解.即关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的只有3不同实根.
故选：A.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设复数 ，那么z• 等于 1 .
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接利用复数的代数形式的混合运算化简求解即可.
【解答】解：复数 ，那么z• = = =1.
故答案为：1.
14.f(x)=x3﹣3x2+2在区间上的最大值是 2 .
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】求出函数的导函数，令导函数为0，求出根，判断根是否在定义域内，判断根左右两边的导函数符号，求出最值.
【解答】解：f′(x)=3x2﹣6x=3x(x﹣2)
令f′(x)=0得x=0或x=2(舍)
当﹣1
所以当x=0时，函数取得极大值即最大值
所以f(x)的最大值为2
故答案为2
15.函数f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4，则f(1)= ﹣1 .
【考点】导数的运算.
【分析】先求出f′(1)的值，代入解析式计算即可.
【解答】解：∵f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4，
∴f′(x)= ﹣2f′(1)x+5，
∴f′(1)=6﹣2f′(1)，解得f′(1)=2.
∴f(x)=lnx﹣2x2+5x﹣4，∴f(1)=﹣1.
故答案为：﹣1.
16.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(A在y轴左侧)，则 = .
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】点斜式设出直线l的方程，代入抛物线方程，求出A，B两点的纵坐标，利用抛物线的定义得出 = ，即可得出结论.
【解答】解：设直线l的方程为：x=y﹣ ，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由x=y﹣ ，代入x2=2py，可得y2﹣3py+ p2=0，
∴y1= p，y2= p，
从而， = = .
故答案为： .
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知z是复数，z+2i和 均为实数(i为虚数单位).
(Ⅰ)求复数z;
(Ⅱ)求 的模.
【考点】复数求模;复数的基本概念.
【分析】(Ⅰ)设z=a+bi，分别代入z+2i和 ，化简后由虚部为0求得b，a的值，则复数z可求;
(Ⅱ)把z代入 ，利用复数代数形式的乘除运算化简，代入模的公式得答案.
【解答】解：(Ⅰ)设z=a+bi，∴z+2i=a+(b+2)i，
由a+(b+2)i为实数，可得b=﹣2，
又∵ 为实数，∴a=4，
则z=4﹣2i;
(Ⅱ) ，
∴ 的模为 .
18.已知集合A={x|(ax﹣1)(ax+2)≤0}，集合B={x|﹣2≤x≤4}.若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，转化为集合的关系进行求解.
【解答】解：(1)a>0时， ，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，
所以 ， ，检验 符合题意;┅┅┅┅┅┅┅
(2)a=0时，A=R，符合题意;┅┅┅┅┅┅┅
(3)a<0时， ，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，
所以 ， ，检验 不符合题意.
综上 .┅┅┅┅┅┅┅
19.设椭圆的方程为 ，点O为坐标原点，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点M在线段AB上且满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为 .
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设点C为椭圆的下顶点，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)通过题意，利用 =2 ，可得点M坐标，利用直线OM的斜率为 ，计算即得结论;
(2)通过中点坐标公式解得点N坐标，利用 ×( )=﹣1，即得结论.
【解答】(Ⅰ)解：设M(x，y)，已知A(a，0)，B(0，b)，由|BM|=2|MA|，
所以 =2 ，即(x﹣0，y﹣b)=2(a﹣x，0﹣y)，
解得x= a，y= b，即可得 ，┅┅┅┅┅┅┅
所以 ，所以椭圆离心率 ;┅┅┅┅┅┅┅
(Ⅱ)证明：因为C(0，﹣b)，所以N ，MN斜率为 ，┅┅┅┅┅┅┅
又AB斜率为 ，所以 ×( )=﹣1，所以MN⊥AB.┅┅┅┅┅┅┅
20.设函数 ，其中a为实数.
(1)已知函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值;
(2)已知不等式f′(x)>x2﹣x﹣a+1对任意a∈(0，+∞)都成立，求实数x的取值范围.
【考点】利用导数研究函数的极值.
【分析】(1)求出f′(x)，因为函数在x=1时取极值，得到f′(1)=0，代入求出a值即可;
(2)把f(x)的解析式代入到不等式中，化简得到 ，因为a>0，不等式恒成立即要 ，求出x的解集即可.
【解答】解：(1)f′(x)=ax2﹣3x+(a+1)
由于函数f(x)在x=1时取得极值，
所以f′(1)=0
即a﹣3+a+1=0，∴a=1
(2)由题设知：ax2﹣3x+(a+1)>x2﹣x﹣a+1
对任意a∈(0，+∞)都成立
即a(x2+2)﹣x2﹣2x>0
对任意a∈(0，+∞)都成立
于是 对任意a∈(0，+∞)都成立，
即 ∴﹣2≤x≤0
于是x的取值范围是{x|﹣2≤x≤0}.
21.已知椭圆C1： 的离心率为 ，且椭圆上点到椭圆C1左焦点距离的最小值为 ﹣1.
(1)求C1的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)运用椭圆的离心率和最小距离a﹣c，解方程可得a= ，c=1，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程;
(2)设出直线y=kx+m，联立椭圆和抛物线方程，运用判别式为0，解方程可得k，m，进而得到所求直线的方程.
【解答】解：(1)由题意可得e= = ，
由椭圆的性质可得，a﹣c= ﹣1，
解方程可得a= ，c=1，
则b= =1，
即有椭圆的方程为 +y2=1;
(2)直线l的斜率显然存在，可设直线l：y=kx+m，
由 ，可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0，
由直线和椭圆相切，可得△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)=0，
即为m2=1+2k2，①
由 ，可得k2x2+(2km﹣4)x+m2=0，
由直线和抛物线相切，可得△=(2km﹣4)2﹣4k2m2=0，
即为km=1，②
由①②可得 或 ，
即有直线l的方程为y= x+ 或y=﹣ x﹣ .
22.已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)(其中常数a∈R).
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当x∈(0，1)时，f(x)<0，求实数a的取值范围.
【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可;
(Ⅱ)根据(Ⅰ)通过讨论a的范围，确定出满足条件的a的范围即可.
【解答】解：(Ⅰ)f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)，(x>0)，
f′(x)=﹣ ，
①a<﹣ 时，0<﹣ <1，
令f′(x)<0，解得：x>1或0
∴f(x)在 递减，在 递增;
②﹣
∴f(x)在 递减，在 递增;
③ ，f′(x)=﹣ ≤0，f(x)在(0，1)，(1+∞)递减;
④a≥0时，2ax+1>0，令f′(x)>0，解得：0
∴f(x)在(0，1)递增，在(1，+∞)递减;
(Ⅱ)函数恒过(1，0)，由(Ⅰ)得：a≥﹣ 时，符合题意，
a<﹣ 时，
f(x)在(0，﹣ )递减，在 递增，不合题意，
故a≥﹣ .
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