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集合的概念集合的定义是什么

小兰分享

  集合论的基础是由德国数学家 康托尔在19世纪70年代奠定的,经过一大批卓越的科学家半个世纪的努力,到20世纪20年代已确立了其在现代数学理论体系中的基础地位,可以说,现代数学各个分支的几乎所有成果都构筑在严格的集合理论上。集合的定义是什么?以下是学习啦小编为大家整理的关于集合的定义,欢迎大家前来阅读!

  集合的定义

  集合(简称集)是数学中一个基本概念,它是集合论的研究对象,集合论的基本理论直到19世纪才被创立。最简单的说法,即是在最原始的集合论——朴素集合论中的定义,集合就是“一堆东西”。集合里的“东西”,叫作元素。由一个或多个元素所构成的叫做集合。若x是集合A的元素,则记作x∈A。集合中的元素有三个特征:1.确定性(集合中的元素必须是确定的)2.互异性(集合中的元素互不相同。例如:集合A={1,a},则a不能等于1)3.无序性(集合中的元素没有先后之分。)

  集合的概念

  集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体,这些对象称为该集合的 元素。例如全中国人的集合,它的元素就是每一个中国人。我们通常用大写字母如A,B,S,T,...表示集合,而用小写字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。 若x是集合S的元素,则称x属于S,记为x∈S。若y不是集合S的元素,则称y不属于S,记为y∉S。一般的我们把含有有限个元素的集合叫做有限集,含无限个元素的集合叫做无限集。

  集合 中不同元素的数目称为集合 的 基数,记作card( )。当其为有限大时,集合 称为 有限集,反之则为无限集。

  有一类特殊的集合,它不包含任何元素,如 ,我们称之为 空集,记为 ∅。

  设S,T是两个集合,如果S的所有 元素都属于T ,即 , 其中符号 称为包含,即表示由左边的 命题可以推出右边的 命题,则称S是T的 子集,记为 。显然,对任何集合S ,都有 。

  如果S是T的一个子集,即 ,但在T中存在一个 元素 x不属于S ,即 ,则称S是T的一个 真子集。

  如果两个集合S和T的元素完全相同,则称S与T两个集合 相等,记为S=T 。显然我们有 其中符号 称为 当且仅当,表示左边的 命题与右边的 命题相互 蕴含,即两个命题 等价。

  并集定义:由所有属于集合 或属于集合 的元素所组成的集合,记作 ∪ (或 ∪ ),读作“ 并 ”(或“ 并 ”),即 ∪ ={ | ∈ ,或 ∈ }。并集越并越多。

  交集定义:由属于 且属于 的相同元素组成的集合,记作A∩B(或 ∩ ),读作“ 交 ”(或“ 交 ”),即 ∩ ={ | ∈ ,且 ∈ }。交集越交越少。

  若 包含 ,则 ∩ = , ∪ =

  相对补集定义:由属于 而不属于 的元素组成的集合,称为 关于 的相对补集,记作 - 或 \ ,即 - ={ | ∈ ,且 ∉ '}

  绝对补集定义: 关于全集合 的相对补集称作 的绝对补集,记作 '或∁u( )或~ 。· '= ; ‘=

  定义:设有集合 ,由集合 所有子集组成的 集合,称为集合 的幂集。

  定理:有限集 的 幂集的 基数等于2的 有限集 的 基数 次 幂。

  数学分析中,最常遇到的实数集的子集是 区间。

  设a,b(a

  集合表示法

  表示集合的方法通常有三种。

  列举法就是将集合的元素逐一列举出来的方式。例如,光学中的三原色可以用集合{红,绿,蓝}表示;由四个字母a,b,c,d组成的集合A可用A={a,b,c,d}表示,如此等等。

  列举法还包括尽管集合的元素无法一一列举,但可以将它们的变化规律表示出来的情况。如正整数集 和整数集 可以分别表示为 和 。

  {代表元素|满足的性质}

  设集合S是由具有某种性质P的元素全体所构成的,则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合:S={x|P(x)}

  例如,由2的平方根组成的集合B可表示为B={x|x =2}。

  而有理数集 和正实数集 则可以分别表示为 和 。

  N:非负整数集合或 自然数集合{0,1,2,3,…}

  N*或 N+:正整数集合{1,2,3,…}

  Z: 整数集合{…,-1,0,1,…}

  Q: 有理数集合

  Q+:正有理数集合

  Q-:负有理数集合

  R: 实数集合(包括有理数和无理数)

  R+:正实数集合

  R-:负实数集合

  C: 复数集合

  ∅:空集合(不含有任何元素的集合称为空集合,又叫空集)

  集合特性

  给定一个集合,任给一个元素,该元素或者属于或者不属于该集合,二者必居其一,不允许有模棱两可的情况出现。

  一个集合中,任何两个元素都认为是不相同的,即每个元素只能出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画,可以使用 多重集,其中的元素允许出现多次。

  一个集合中,每个元素的地位都是相同的,元素之间是无序的。集合上可以定义序关系,定义了序关系后,元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言,元素之间没有必然的序。(参见 序理论)

  交换律: ∩ = ∩ ∪ = ∪

  结合律: ∪( ∪ )=(A∪ )∪ ∩( ∩ =( ∩ ∩

  分配对偶律: ∩( ∪ )=( ∩ )∪( ∩ ) ∪( ∩ )=( ∪ )∩( ∪ )

  对偶律:( ∪ )^ = ^ ∩ ^ ( ∩ )^ = ^ ∪ ^

  同一律: ∪∅= ∩ =

  求补律: ∪ '= ∩ '=∅

  对合律: ''=

  等 幂律: ∪ = ∩ =

  零一律: ∪ = ∩ =

  吸收律: ∪( ∩ )= ∩( ∪ )=

  德·摩根律(反演律):( ∪ )'= '∩ ' ( ∩ )'= '∪ '

  德·摩根律:1.集合 与集合 的交集的 补集等于集合 的补集与集合 的补集的 并集; 2.集合 与集合 的并集的 补集等于集合 的补集与集合 的补集的交集。

  容斥原理(特殊情况):

  card( ∪ )=card( )+card( )-card( ∩ )

  card( ∪ ∪ )=card( )+card( )+card( )-card( ∩ )-card( ∩ )-card( ∩ )+card( ∩ ∩ )

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