集合的有关概念(2)
A组 专项基础训练
(时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1. (2012·广东)设集合U={1,2,3,4,5,6}，M={1,2,4}，则∁UM等于()
A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6}
答案 C
解析 ∵U={1,2,3,4,5,6}，M={1,2,4}，∴∁UM={3,5,6}.
2. (2011·课标全国)已知集合M={0,1,2,3,4}，N={1,3,5}，P=M∩N，则P的子集共有()
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
答案 B
解析 ∵M={0,1,2,3,4}，N={1,3,5}，∴M∩N={1,3}.
∴M∩N的子集共有22=4个.
3. (2012·山东)已知全集U={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3}，B={2,4}，则(∁UA)∪B为 ()
A.{1,2,4} B.{2,3,4}
C.{0,2,4} D.{0,2,3,4}
答案 C
解析 ∵∁UA={0,4}，B={2,4}，∴(∁UA)∪B={0,2,4}.
4. 已知集合M={x|x-1x≥0，x∈R}，N={y|y=3x2+1，x∈R}，则M∩N等于 ()
A.∅ B.{x|x≥1}
C.{x|x>1} D.{x|x≥1或x<0}
答案 C
解析 由x-1x≥0，得x(x-1)≥0，x≠1，
∴x>1或x≤0，∴M={x|x>1或x≤0}，N={y|y≥1}，
M∩N={x|x>1}.
二、填空题(每小题5分，共15分)
5. 已知集合A={1,3，a}，B={1，a2-a+1}，且B⊆A，则a=__________.
答案 -1或2
解析 由a2-a+1=3，得a=-1或a=2，经检验符合.由a2-a+1=a，得a=1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去.故a=-1或2.
6. 已知集合A={(0,1)，(1,1)，(-1，2)}，B={(x，y)|x+y-1=0，x，y∈Z}，则A∩B=_________.
答案 {(0,1)，(-1,2)}
解析 A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x+y-1=0上的所有点组成的集合，代入验证即可.
7. (2012·天津)已知集合A={x∈R||x+2|<3}，集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0}，且A∩B=
(-1，n)，则m=________，n=________.
答案 -11
解析 A={x|-5
B={x|(x-m)(x-2)<0}，所以m=-1，n=1.
三、解答题(共22分)
8. (10分)已知集合A={x|x2-2x-3≤0}，B={x|x2-2mx+m2-4≤0，x∈R，m∈R}.
(1)若A∩B=[0,3]，求实数m的值;
(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围.
解 由已知得A={x|-1≤x≤3}，
B={x|m-2≤x≤m+2}.
(1)∵A∩B=[0,3]，∴m+2≥3.m-2=0，∴m=2.
(2)∁RB={x|x
∴m-2>3或m+2<-1，即m>5或m<-3.
9. (12分)设符号@是数集A中的一种运算：如果对于任意的x，y∈A，都有x@y=xy∈A，则称运算@对集合A是封闭的.设A={x|x=m+n，m、n∈Z}，判断A对通常的实数的乘法运算是否封闭?
解 设x=m1+n1，y=m2+n2，那么xy=(m1+n1)×(m2+n2)=(m1n2+m2n1)+m1m2+2n1n2.
令m=m1m2+2n1n2，n=m1n2+m2n1，则xy=m+n，
由于m1，n1，m2，n2∈R，所以m，n∈R.
故A对通常的实数的乘法运算是封闭的.
B组 专项能力提升
(时间：25分钟，满分：43分)
一、选择题(每小题5分，共15分)
1. (2012·湖北)已知集合A={x|x2-3x+2=0，x∈R}，B={x|0
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 D
解析 用列举法表示集合A，B，根据集合关系求出集合C的个数.
由x2-3x+2=0得x=1或x=2，∴A={1,2}.
由题意知B={1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}.
2. (2011·安徽)设集合A={1,2,3,4,5,6}，B={4,5,6,7,8}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是 ()
A.57 B.56 C.49 D.8
答案 B
解析 由S⊆A知S是A的子集，又∵A={1,2,3,4,5,6}，∴满足条件S⊆A的S共有26=64(种)可能.又∵S∩B≠∅，B={4,5,6,7,8}，∴S中必含4,5,6中至少一个元素，而在满足S⊆A的所有子集S中，不含4,5,6的子集共有23=8(种)，∴满足题意的集合S的可能个数为64-8=56.
3. (2011·湖北)已知U={y|y=log2x，x>1}，P={y|y=x1，x>2}，则∁UP等于()
A.，+∞1 B.21
C.(0，+∞) D.(-∞，0]∪，+∞1
答案 A
解析 ∵U={y|y=log2x，x>1}={y|y>0}，
P={y|y=x1，x>2}={y|0
∴∁UP={y|y≥21}=，+∞1.
二、填空题(每小题5分，共15分)
4. (2012·陕西改编)集合M={x|lg x>0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=____________.
答案 (1,2]
解析 M={x|lg x>0}={x|x>1}，
N={x|x2≤4}={x|-2≤x≤2}，
∴M∩N={x|x>1}∩{x|-2≤x≤2}={x|1
5. 已知M={(x，y)|x-2y-3=a+1}，N={(x，y)|(a2-1)x+(a-1)y=15}，若M∩N=∅，则a的值为____________.
答案 1，-1，25，-4
解析 集合M表示挖去点(2,3)的直线，集合N表示一条直线，因此由M∩N=∅知，点(2,3)在集合N所表示的直线上或两直线平行，由此求得a的值为1，-1，25，-4.
6. 设A={x||x|≤3}，B={y|y=-x2+t}，若A∩B=∅，则实数t的取值范围是__________.
答案 (-∞，-3)
解析 A={x|-3≤x≤3}，B={y|y≤t}，
由A∩B=∅知，t<-3.
三、解答题
7. (13分)已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0}，B={y|y=21x2-x+25，0≤x≤3}.
(1)若A∩B=∅，求a的取值范围;
(2)当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时，求(∁RA)∩B.
解 A={y|y
(1)当A∩B=∅时，a≤2，a2+1≥4，
∴≤a≤2或a≤-.
(2)由x2+1≥ax，得x2-ax+1≥0，
依题意Δ=a2-4≤0，∴-2≤a≤2.
∴a的最小值为-2.
当a=-2时，A={y|y<-2或y>5}.
∴∁RA={y|-2≤y≤5}，∴(∁RA)∩B={y|2≤y≤4}.
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